线性代数总结——在化工中的应用案例.pdf

钱假代照总辂克莱姆法则线性方程组行歹U式第二章第三章矩阵的初等变换矩阵矩阵的秩蚓量组的线性相关性二向量组的秩句量、向量组与 线性方程组引例研究在CC2和H2。存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。1|口 PWZ再1I I三2 求原子矩阵的秩。卜帏刖a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0 的一套即确定一组完整的独立反应组彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题1、用舞阵对物质进行表示。例1：由三种元素H,C和O组成的 三种物质CO2,珥0和H2cO3的混 合物，写出其原子矩阵形式的表示 式。彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题在对物质和物质间的反应进行表示时，假定给定n个原子的总和，由这些原子构成所 讨论的分子。用Bj表示相应于每个原子（用j 标记）的排列有序的数和，它由0和1构成，其 本质即原子的符号。于是，由这些原子组成的 Aj物质的分子向量可表示为：n 其中4是Ai分子中Bj原子的数目。称具有整 系数4的向量式（1 为分子式或分子。彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题若记B=则式AAB?A A=(3)即KJ LANJ（21）可写成矩阵乘法的形式,B Bn(4)彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.1化学计量矩阵与化学平衡问题或写成原子矩阵A=0B(5)其中月表示由数片组成的Nx矩阵 称其为原子矩阵。彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题例1：由三种元素H,C和O组成的三种物质CO2,H2O和H2c。3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。co2 1-“印二H2cHCO101213022原子矩阵为0 1 22 0 12 1 3B=彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题2、用彼枝变间对物质介物质间的 友应进行衰赤。例2：求含有物质。2,H2O和H2c。3 的子空间的维数，基底和坐标彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题解:co2 1 ro1 20 11 3HCOB=H2O=2H2CO.2初等行变换-o 00 12 02 1213010210俵喉代剧第九章应把工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题0 0 0 0 0 0A A A故其秩为r()=2彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题后 2 20=+2 昆12100+2010即原子矩阵中第三列四可用第一列A和第二列A 线性表示，故含有物质CO2，H2O和H2cO3的子空 间的维数等于2.彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.1化学计量矩阵与化学平衡问题由于所以202210011012HC即H2CO.)2 1(CO2)0101(+；0)H20=2H2CO3 J 12彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题所以，可将结构片断+；。和C+2O作为由物质CO2,H2O和H2c。3构成的子空间的基底。第一个 片断可写为;。，第二个片断可写为CQ,在 该子空间的基底中，分子（向量）的总和可表示为CO.0H2O=1H2cO3101H2OCO.1俵喉代剧第九章应把工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题3、用择阵对化学女位方程殂进行 袤 r o例3：写出由四种物质CH4,CH2O,。2和Hz。所组成的集合的一套化学计 量系数。彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题定理如果分子4=1,2,的原子矩阵P的秩为m,则这些分子必处于m维的空间Rm 中。彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题向量空间区11包括了所有可能的由原子可，也，,一 构成的物质。例如，碳氢化合物就可看作是由两类 元素氢和碳构成的，即某空间区中的子集合 H 4(z-=i,2,二所以，重要的问题是确定一子空 间Rm，而子集合二一二 处于子空间Rm中。OZ1 定理 如果分子4=12,的原子矩阵6的秩为 m,则这些分子必处于m维的空间Rm中。彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题如果0=相，则不失一般性，可设矩阵后的 前m列线性无关，并用它们表示其余的(nm)列。用用四，表示矩阵后的相应列商量,叫加花 I n U U 口 IIIII 口&+1=m+l,lA+。刃+1,2。2+邛mBn=%/1+%2乃2+n;其中是相应的线性无关向量线性组合的 系数。系数矩阵为：彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题1 0 00 1 00 0 0 ,二二若用J表示由线性无关的列向量外&二二二 所组成的矩阵，不难证明P=Ja二1二二二(6)二二物质分子的矩阵形式为/=方二二二(7)(6)式代入(7),得 A=paB(8)彼喉代殿 第九章在把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题即 A=BB_(9)子空间的基底其中列向量B的元素是式(4)中列向量B 的元素的线性组合。因为通过它们表示所有 的分子A,则它们就组成了子空间Rm的基底,其中包括所研究的分子二一彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题对于处在子空间Rm中的物质集合4(%=1,2,二_；利用式(1)(4)总可以 选择m个线性无关的元素万八它们构成了 该子空间的基底.此时原子矩阵万表示该 基底里的物质的和，而万一 的秩为m(m个线性无关的行和列)。现设P 的前m行线性无关，则m十1,m十2,，M 行可用前m行的线性组合表示，得到(Mm)个方程俵喉代剧第九章应把工中的应用实例6.1化学计量矩阵与化学平衡问题m+1Zi-amiAi=0(10)m+1aMiAi=I ZT彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题式 10 的形式与一般化学反应方程组是一致的，故 可将方程组。0）作为物质（反应物）4,4,；的集合上的化学反应方程组。显然，表示原子蚯隰 的行之间的线性关系的齐次方程的最小数目为 M1 m,其中M是所研究体系中反应物4的数目，m是二 它的原子矩阵的秩。把这些方程进行相互组合，可 得到该反应物集合上的任何化学反应的方程，所以,对于描写M个反应物体系中的化学反应所必须的最 小反应数目为（Mm。彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题对于规则反应有：抻=0（11 其中i是参加反应物加的序号，k是反应的序号。对给定体 系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式所以该体系中所有反应总和的矩阵为(12)化学计量矩阵(13)彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题引入参加反应物质（分子）的列向量A率 r，4（14 A=：L L 卡于是式 11 写成akTA=0（15 或者对所有的反应写为a/=0借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即一A=BBn aj/3B=G 或初5=0彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题于是在独立原子组合条件下可得到akTfi=0(17)初二0(18)所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于 他的线性方程组(17),这个方程组完全符合众所 周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应 式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子 数及电荷数.彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题例3：写出由四种物质CH4,CH2O,。2和 耳。所组成的集合的一套化学计量系数。解:A 二CH4CH2。B=QHCH2OO原子矩阵写为4 1 02 1 10 0 22 0 1俵喉代剧第九章应把工中的应用实例6.1化学计量矩阵与化学平衡问题求得=3,应。由式(18),所以存在一个独立的化学反 写出方程组4 1 02 1 10 0 22 0 1=0彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题即:4%+22+2+2a4=0二0a2+2a3+a4=0解该方程组得：(22=a4=(2p a3=(21 ax所以对上述物质的体系，独立反应具有%C4+。12 CH2O-axH2O-0的形式，即 CH4+O.=CH2O+H2O2彼喉代殿 第九章杰化工中的应用实例6.1化学计量矩阵与化学平衡问题对于规则反应有：工。抻=。（6）其中i是参加反应物加的序号，k是反应的序号。对给定体 系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式(7)所以该体系中所有反应总和的矩阵。为化学计量矩阵彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题引入参加反应物质（分子）的列向量A一4一,4 4于是式（6 写成=0（10 或者对所有的反应写为=ozPPPFff n 借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即 a 3B=0 a/3B=0彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题于是在独立原子组合条件下可得到%7分=0(12)幼=0(13)所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于 他的线性方程组(12),这个方程组完全符合众所 周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应 式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子 数及电荷数.彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.1Gibbs化学计量规则设n为出现在反应物组成里的各种原子（元素）及电荷的数目；M为反应物质的数 目；K是给定体系反应的数目，当MNii时,原子矩阵 MXn阶）的秩是mWn（或当 MWn时，mM）。当化学计量矩阵 KXM阶）的秩为Q时，则有QM-m 19 若在中仅包含独立反应，则上式取 等号，式 19 称为Gibbs化学计量规则。一彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题按照Gibbs规则，可以确定体系中最大可 能的独立反应的数目。当然它不涉及诸如体 系中全部可能的独立反应是否发生？若它们 不是都能发生，那么它们应在什么条件下才 能发生等问题。但是，Gibbs规则非常深刻 的描写了化学计量式的特性。彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题A原子矩阵的秩决定了反应混合物的独立 组分数，而独立组分数在研究化学平衡问题 时是很重要的。A化学计量矩lia的最大秩数Q决定了该体系 中能够进行反应的独立反应数o二一二一一二 一般地，总是可以在给定体系中选择Q种：物质，这些物质完全决定体系的反应；它们 还可以作为描述体系动力学方程的独立变量。彼喉代殿 第九章应把工中的应用实例 6.1小辖：化身材量舞阵却化身不衡冏敢 -f V 本节要点：1、理解原子矩阵的概念，能够写出物质分子的矩阵形式2、掌握物质线性空间的维数、基底和坐标的概念及其性质。3、理解化学计量矩阵的概念，能够写出化学反应方程组的向 量形式（线性方程组）H，并正确求解。4、在此基础上，进一步加深对线性代数的全面理解。匚U 彳、铜则刎胴 2、化学计量矩阵及其计算 J对物质向量空间及其线性变换的深入理解