双容水箱系统的建模、仿真与控制.doc

自 动 控 制 毕 业 设 计

双容水箱系统的建模、仿真与控制

2015年 7月23日

摘 要
自动控制课程设计是自动化专业基础课程《自动控制原理》和《现代控制理论》的配套实践环节，对于深入理解经典控制理论和现代控制理论中的概念、原理和方法具有重要意义。本次课程设计以过程控制实验室双容水箱系统作为研究对象，开展了机理建模、实验建模、系统模拟、控制系统分析与综合、控制系统仿真等多方面的工作。
课程设计过程中，首先进行了任务I即经典控制部分的工作，主要从系统模型辨识、采集卡采集、PID算法的控制、串联校正进行性能指标的优化、滞后控制等方面进行了设计。然后，又进行了任务II即现代控制部分的工作，主要从系统模型的串并联实现、能控能观标准型实现、状态反馈设计、状态观测器设计、降维观测器设计等方面进行了深入的研究。最后选做部分单级倒立摆的内容，并对整个课程设计做了总结。

关键词：自动控制；课程设计；PID控制；根轨迹；极点配置；MATLAB；数据采集；经典控制；现代控制。

目 录
第1章 引言 1
1.1 课程设计的意义与目的 1
1.2 课程设计的主要内容 1
1.3 课程设计的团队分工说明 2
第2章 双容水箱系统的建模与模拟 3
2.1 二阶水箱介绍 3
2.2 二阶水箱液位对象机理模型的建立 3
2.3 通过实验方法辨识系统的数学模型的建立 7
2.3.1 用试验建模（黑箱）方法辨识被控对象数学模型 7
2.3.2 通过仿真分析模型辨识的效果 8
2.4 物理系统模拟 9
第3章 双容水箱控制系统的构建与测试 11
3.1 数据采集卡与数据通讯 11
3.2 构建系统并进行开环对象测试 12
第4章 双容水箱的控制与仿真分析——经典控制部分 14
4.1采用纯比例控制 14
4.2采用比例积分控制 17
4.3采用PID控制 21
4.4串联校正环节 24
4.5采样周期影响及滞后系统控制性能分析 28
第5章 双容水箱的控制与仿真分析——现代控制部分 31
5.1状态空间模型的建立 31
5.2状态空间模型的分析 33
5.3状态反馈控制器的设计 34
5.4状态观测器的设计 37
5.5基于状态观测的反馈控制器设计 43
第6章 基于状态空间模型单级倒立摆控制系统设计 48
6.1 单级倒立摆系统介绍 48
6.2 状态空间模型的建立 49
6.3 能控能观性、稳定性的分析 52
第7章 总结 53
7.1 课程设计过程的任务总结与经验收获 53
7.2 课程设计中的不足和问题分析 53
7.3 对课程设计的建议 53
参考文献 54
附 录 55
附录A：组员个人总结（一） 55
附录B：组员个人总结（二） 57

第1章 引言
1.1 课程设计的意义与目的
自动控制课程设计是自动化专业基础课程《自动控制原理》和《现代控制理论》的配套实践环节，对于深入理解经典控制理论和现代控制理论中的概念、原理和方法具有重要意义。
在平时的学习中，我们只是停留在理论学习的层面上，对一些知识点没有直观深刻的了解。通过这次课程设计，我们能够对之前学过的知识进行更进一步的理解与应用，我们之前学过的知识得到巩固。不仅如此，对于我们进行软件仿真和编写程序同样具有很好的指引作用，锻炼了我们这方面的能力。
总之，本次课程设计对于我们深入理解经典控制理论和现代控制理论中的概念、原理和方法具有重要意义，本次课程设计涉及了《自动控制原理》、《现代控制理论》、《控制系统仿真》、《系统辨识》等课程内容，将本专业的各项内容有机融合在了一起，增加了我们的专业知识的储备，提高了我们的学习能力。
1.2 课程设计的主要内容
任务I 经典控制部分
二阶水箱液位对象机理模型的建立；
通过实验方法辨识系统的数学模型的建立；
二阶水箱系统的物理模拟；
数据采集卡与数据通讯；
开环对象特性测试；
比例系数变换对系统闭环性能的影响；
比例积分控制器对控制性能的影响；
PID控制器对控制性能的影响；
串联校正环节的设计与分析；
采样周期影响分析、滞后系统控制性能分析；
任务Ⅱ 现代控制部分
状态空间模型模型的建立、分析；
状态反馈控制器的设计；
状态观测器的设计；
基于状态观测的反馈控制器设计；
1.3 课程设计的团队分工说明
我们团队选取了16号水箱装置进行分析设计，具体分工如下所示。
xxx：各部分的参数计算、编程实现及实际电路仿真。
xxx：电路的设计与各环节仿真运行结果分析，撰写报告。

第2章 双容水箱系统的建模与模拟
2.1二阶水箱介绍
过程实验室GK06是由两个水箱和一个调节器构成的，上下两个水箱由阀门控制开度，入口流量由调节阀的开度所决定，被控变量是下水箱的液位。
在本次课程设计中，首先选取GK06装置中的1#水箱和2#水箱串联组成的液位控制系统，选取控制变量为变频泵的频率，被控变量为2#水箱的液位。针对上述系统首先建立被控对象模型，然后使用控制系统实验箱搭建电路，模拟水箱液位控制系统的被控对象，最后针对搭建的模拟对象设计控制系统，满足控制要求。

图1-1 双容水箱装置流程图 图1-2 控制流程图

2.2二阶水箱液位对象机理模型的建立

（用机理建模（白箱）方法建立系统机理模型，对机理模型进行线性化）
从MainFrm.cpp里面找到本组的数据：
控制作用为，控制调节阀的开度，从而影响第1个水箱的液位和第2个水箱的液位。已知两个水箱的截面积是、，控制作用和调节阀管道上的流量之间的关系为：
（2-1）
其中，k1=10 ，k2=1.9 ，k3=1.65 上水箱=11.282951 下水箱13.223070
根据物料平衡，列写关系表达式：
（2-2）

将（1）带入（2），得
（2-3）
线性模型仿真
对状态方程进行增量化，并在工作点处进行线性化
a. 先求出稳态时的关系式
考虑到：
（2-4）
（2-5）
（2-6）
则（4）和（5）式带入（6）有

（2-7）
b． 将（5）带入（3），进而对微分方程中的各变量用相应的增量代替，有
（2-8）
即：
（2-9）
c．为了将上述微分方程(10)进行线性化，
将在处展开成Taylor级数，只取到线性项：
（2-10）
同理，将在处展开成Taylor级数，只取到线性项：
（2-11）
将（2-11）和（2-10）代入（2-9），则：
（2-12）
d．最后得到线性化的微分方程
由（2-7）和（2-12），有：
（2-13）
令： =0.0752398， =0.08815403 ；
写成矩阵的形式：
（2-14）
其中 注：、计算时要10

此时，

2.3通过实验方法辨识系统的数学模型的建立

2.3.1用试验建模（黑箱）方法辨识被控对象数学模型

图2-1 二阶水箱的仿真模型
初始稳定 30% ：13.223070 =1153s
加阶跃后稳定 35% ：17.980470 =2296s
，

， s ， s
， s ，s

即 （2-15）

2.3.2通过仿真分析模型辨识的效果

图2-2 simulink仿真模型

图2-3 仿真图像
由图像可得，理论与实测的曲线基本一致，可知仿真效果较为理想。

误差分析：
①此系统实际并非绝对的线性系统，而是在平衡点附近局部线性化所得的结果，因此，此处可能导致二者的误差；
②在机理建模中对、进行了泰勒级数展开而舍去了高阶导数项，对传递函数的准确性产生了一定的影响；
③由于在实验过程中读数，计算精度的问题也导致理论与实验辨识所建的传递函数存在一定的误差；
④实验中所用的二阶水箱仿真模型本身可能存在一定的误差。
2.4物理系统模拟
根据建立的二阶水箱液位对象模型，在计算机自动控制实验箱上利用电阻、电容、放大器的元件模拟二阶水箱液位对象。
已知

可画出仿真实验电路图2-4

图2-4 仿真实验电路图
所得模拟电路图所对应的传递函数为
（2-16）
原系统传递函数为
为了缩短仿真时间，这里将、缩小10倍，

取C=10uF ，则=1.1 =1+100，此时

取=10uF ，则=540 =510+10+10+10，
此时

取 此时
由实际箱上电路取得: （2-17）
所得电路传递函数为：
（2-18）

58

第3章 双容水箱控制系统的构建与测试
3.1 数据采集卡与数据通讯
首先检测NI USB-6008数据采集卡的功能，一定注意将采集卡命名为Dev1。
使用的接口必须和程序中定义的接口一致。

图3-1 NI USB-6008数据采集卡

其次是OPC通讯技术构建。第一次运行时，点击“Register”,进行OPC 服务器注册。

图3-2 OPC 服务器注册
可以通过OPC Client.exe软件导入采集卡各接口变量，以观测其值的变化，并可以通过对端口写值来实现电容的放电。
3.2 构建系统并进行开环对象测试
a) 按照图2-6中电路图在实验箱上连接电路，其中电阻和电容按照（2-17）选取，接好采集卡，运行软件，得到图3-3；

图3-3 无滤波图像

b) 在电路上最后输出时用一个电容进行滤波改善其性能，得到滤波后的图像；
图3-4 加滤波后的图像

c) 滤波后图像与理论图像对比如图3-5。
理论的传递函数是（2-18）：
编写程序如下，附在OPCjk.m文件中

hold on;
num=0.9166667*1.0588235;
den=conv([11 1],[5.4 1]);
step(num,den,100);
grid;

图3-5 滤波后图像与理论图像对比

结论：
1）由图像可得，未加滤波电路前，图像毛刺较多，加入滤波电路后，得到明显改善。
2）通过传递函数得到的理论曲线与通过电路连接得到的曲线基本一致，可得电阻电容的选取是恰当的，仿真效果较好。

第4章 双容水箱的控制与仿真分析——经典控制部分
4.1采用纯比例控制
4.1.1 分析闭环控制系统随比例系数变化控制性能指标（超调量，上升时间，调节时间， 稳态误差等）的变化。
分析：
由G的传递函数 （4-1）
可得加入比例调节器后系统闭环传递函数为
（4-2）
与标准形式比较：
（43）
由此可得：
（4-4）
令，得临界阻尼
当时，，为过阻尼
当时，，为欠阻尼
取不同的值，分别得到下面的图像：

图4-1 =0.5 图4-2 =1.166

图4-3 =3 图4-4 =10
读图4-1到4-4得到纯比例控制性能指标的数据，如表4-1
表4-1纯比例控制性能指标
实际
理论

过阻尼
0.5
16.3

17.6
21.5
24.2
——
——
0.3337
0.327
0.6663
0.673
临界阻尼
1.166
12.3
12.5
16.1
17.2

——
——
0.5375
0.531
0.4625
0.469
欠阻尼
3
6.7
6.7
19.1
20.5
10.92%
13.08%
0.7464
0.7464
0.2536
0.2536
10
4.2
3.2
22.4
18.8
29.10%
33.05%
0.9094
0.9094
0.0906
0.0906

结论：
由表4-1可得，随着的增大，上升时间逐渐减小，系统响应变快，但是系统超调量增大，系统振荡加剧，对系统稳定性造成破坏；调节时间在临界阻尼时最小；随着增大，系统输出的终值越来越大，越接近1，稳态误差越小。因此应取适当值。
越大，系统响应越快，只要有微小的差距，误差就会随时间累积，最后，导致
实际曲线和理论曲线在时间上的较大差距；仿真开始的时刻初始电压通常并不为零，而是有一个初值，而理论曲线都是以零开始的，这也造成实际曲线与理论曲线的误差。

4.1.2 使用Matlab中SISOTOOLS进行仿真分析
画出取不同值时的仿真曲线以及根轨迹图和波特图如下：

图4-5 0.5 根轨迹及波特图

图4-6 1.166 根轨迹及波特图

图4-7 3 根轨迹及波特图

图4-8 10 根轨迹及波特图

结论：
随着KP增大，极点实部不变，虚部离实轴越远。

4.2采用比例积分控制
4.2.1 分析PI控制器参数变化对系统性能影响
由G的传递函数 （4-1）

可得加入比例积分调节器后，系统闭环传递函数为
（4-5）
（4-6）
由此可得，系统特征方程为：
（4-7）
由劳斯判据，列劳斯表：
59.4
16.4
0

由纯比例控制中，当时，拟合最好，所以这里取。
则>0
所以，当时，为临界稳定状态，可得下图：

图4-9 2 图4-10 2.7

图4-11 5 图4-12 10

读图4-9到4-12得到比例积分控制性能指标的数据，如表4-2
表4-2比例积分控制性能指标
实际
理论

过阻尼
3
2
4.7
——
325.6
——
84.2%
——
1
——
0
——
临界阻尼
2.7
4.6
——
245.1
——

82.7%
——
1
——
0
——
欠阻尼
5
5.3
5.3
60.2
73.8
50.6%
55%
1
1
0
0
10
6.8
6.6
23.1
34.8
22%
27%
1
1
0
0
结论：
在过阻尼和临界阻尼时，理论图像不是收敛的，没有这些性能指标。欠阻尼时，Ti越大，上升时间越大，调节时间越小，超调量越小，响应越快，终值为1，无稳态误差。
实际曲线，在相同的Kp下，积分时间Ti越大，调节时间越小，超调量越小。积分时间Ti越小，积分作用越强，系统越容易消除余差，但是系统的振荡会加剧，甚至使理想响应曲线发散。

4.2.2 使用Matlab中SISOTOOLS进行仿真分析，对比实际控制效果与仿真效果的差异
画出Kp=3,Ti取不同值时的仿真曲线以及根轨迹图和波特图如下：

图4-13 2 根轨迹及波特图

图4-14 2.7 根轨迹及波特图

图4-15 5 根轨迹及波特图

图4-16 10 根轨迹及波特图
由图像可知，用SISOTOOLS工具得出的PI控制器获得的响应曲线与实际的仿真曲线比较一致，根据曲线可以看出该控制器的控制效果比较好，超调量不大，响应速度较快。
由根轨迹图形可看出Ti取值较小时，系统存在s域右半平面的极点，系统是不稳定的，随着积分时间的增加，系统的开环极点向左平面靠拢，系统稳定。

4.3采用PID控制
分析PID控制器对控制性能的影响。
选取PID控制中曲线拟合较好的、值，使5.5，改变,可得如下图像：

图4-17 0.1 图4-18 1

图4-19 10 图4-20 30

结论：
保持Kp和Ti不变，改变Td，当Td较小时，理论PID控制的各项参数与实际PID控制误差较小，在误差允许范围之内理论与实际曲线相吻合；当Td较大时，微分作用过强，引起震荡，偏差较大，另外由于饱和非线性的影响，实际曲线与理论曲线有较大的差别。
PID控制是P、I、D控制的综合，综合了三者的优点：快速响应，稳态误差较小，动态性能较好，D控制是影响系统的动态性能，随着Td的增大，微分作用增强，超调量减小，但调节时间增加，可取适当的Td值来综合两者的要求。

图4-21 0.1 根轨迹及波特图

图4-22 1 根轨迹及波特图

图4-23 10 根轨迹及波特图

图4-24 30 根轨迹及波特图

结论：
随着Td的增大，微分作用增强，能够提高系统的响应速度，超前调节，抑制过渡过程的最大动态偏差，同时具备比例积分的特点。

4.4串联校正环节
已知：
未加入校正前的响应曲线如下图所示，此时Kp=1

图4-25 传函曲线和根轨迹及波特图

由图像可知，系统的幅值裕度和相角裕度都满足条件，所以系统的稳定性较好。
上升时间=13.2s，调节时间=17.8s，系统的动态性能也不错，但系统的稳态误差太大，为0.5076，所以必须通过增大系统的开环增益来进行系统校正，以减小稳态误差。
设定稳态误差校正目标为小于10%，取=10
图4-26 传函曲线和根轨迹及波特图
由图像可知，改变开环增益之后，稳态误差变为了0.0938<10%，实现了校正目标，但是系统的相角稳定裕度变为了39.7度，截止频率变为了0.378。为了改善系统性能，此时应采用串联超前校正，增大相角稳定裕度。

未校正前系统性能如下表，
表4-3 未校正前系统性能

相角稳定裕度
3.3
18.7
33.91%
0.0938
0.378
39.7

1) 未校正系统的波特图如上面所示，要求校正系统的相位裕量为不小于40度，所以我们可取
2) 根据相位裕量的要求确定超前校正网络的相位超前角

3) 由下式得到

4) 因此超前校正装置在处的幅值为，据此，在未校正系统的开环对数幅值为。读图可得到，对应的是这一频率，就是校正后系统的截止频率
5) 确定超前系统

6）加入校正环节：

通过simulink搭建电路模型如下：
图4-27 simulink搭建的电路模型

可得原始理论系统、校正后系统、校正后加饱和环节后系统的图像：

图4-28 原始理论系统、校正后系统、校正后加饱和环节后系统的曲线

由图像知，校正后系统的稳态误差得到很大改善，加入了饱和环节后系统滞后。
其闭环曲线和波特图如下：
图4-29 校正加饱和后的闭环曲线和根轨迹，波特图
可得下表
表4-4 加饱和环节后系统性能

相角稳定裕度
2.89
15.69
27.91%
9.39%
0.336
54.2
将校正环节应用于实际模拟系统，观测实际系统仿真图像如下：

图4-30 实际系统仿真
结论：校正后的系统，其动态性能指标都能达到要求。尤其是稳态误差得到了改善，而且加入了饱和环节后，与实际电路系统进行对比，可以发现其拟合度很高。

4.5采样周期影响分析、滞后系统控制性能分析
1） 取采样周期分别为0.2s，2s，6s，10s，通过电路仿真得到如下图像:

图4-31 不同采样周期下的仿真图像
结论：
采样周期T越大，系统响应超调量越大，稳定性越差，振荡增强，甚至离散。
2） 纯滞后环节PID
A) 取1s，Simulink仿真电路如下：

图4-32 Simulink仿真电路

改变了延时时间delay time=0s，1s，3s，5s，可得下列图像：

图4-33 delay time=0s 图4-34 delay time=1s

图4-35 delay time=3s 图4-36 delay time=5s

B) 与实际电路对比

图4-37 delay time=0s 图4-38 delay time=1s
图4-39 delay time=3s 图4-40 delay time=5s

结论：
加入纯延时后，上升时间不变，但延时时间越长，系统响应超调量越大，系统的稳定性变差，系统振荡增强，甚至使系统变得不稳定，但是系统稳定时其稳态值是一定的。
第5章 双容水箱的控制与仿真分析——现代控制部分
5.1 状态空间模型的建立
建立系统的串联实现和并联实现，在matlab中绘制模拟结构图
系统的传递函数： （5-1）

串、并联模拟及理论传函结构图：

图5-1 串、并联模拟及理论传函结构图

仿真结果：

图5-2 串、并联仿真结果

与之前通过实际电路得到的电路仿真结果图5-3对比，

图5-3 实际电路得到的仿真结果
结论：
可知系统的串联实现、并联实现、理论曲线实际电路系统进行仿真的结果是一致的。

5.2 状态空间模型的分析
5.2.1以系统的串联实现为基础，用matlab分析系统的能控能观性和稳定性
A） 能控能观性判断
由系统的串联形式模拟结构图可得状态矩阵：
A=[-0.185185 0.196078;0 -0.090909]
B=[0;0.083333]
C=[1 0]
D=[0]
在命令窗口输入上述矩阵后，输入以下指令：
M=ctrb(A,B)
d1=rank(M)
N=obsv(A,C)
d2=rank(N)
可得d1=2,d2=2.即系统的完全能控且完全能观。
B） 稳定性判断
利用eig函数：[v,d]=eig(A)
可得状态矩阵A的特征值为-0.1852，-0.0909，均具有负实部，满足平衡状态渐进稳定的充要条件，所以系统稳定。

5.2.2 系统的能控标准型和能观标准型
由传递函数 （5-2）
可得系统的能控标准型和能观标准型
能控标准I型
（5-3）

能观标准II型
（5-4）
53 状态反馈控制器的设计
极点配置：
由要求可得 （5-5）
所以求得主导极点：
可得极点矩阵为 P=[-0.175+j*0.2389,-0.175-j*0.2389]
在命令窗口输入以下语句，
A=[-0.185185 0.196078;0 -0.090909]
B=[0;0.083333]
P=[-0.175+j*0.2389,-0.175-j*0.2389]
K=place(A,B,P)
得K=[3.4993 0.8869]

以此设计状态反馈控制器：

图5-4 状态反馈控制器电路
仿真图像如下：

图5-5状态反馈控制器图像

注意：
加入状态反馈之后，系统的稳态输出会大大的衰减，因此，必须对系统的输入进行放大补偿，以使得输出曲线的稳态值与理论计算的相一致。
由计算可得Gain1=0.9166667*1.0588235/0.1865=5.2

电路图如下:

图5-6 改变增益后的电路图

仿真图像如下：

图5-7 改变增益后的仿真图

与实际电路对比：

图5-8 实际电路和理论曲线对比

结论：
1.由图像可知，通过仿真得到的电路图像和实际电路图像基本一致。通过读图，可以得到加入状态反馈控制器的电路的超调量，，满足要求。
2.实际电路中加入状态反馈之后，实际曲线和理论曲线仍有一定的误差。经过分析，理论曲线与实际电路响应曲线不重合有多种原因：
①采集卡输出电压限幅（0-5v），以及所建立的电路传递函数与实际参数有一定差距造成的。
②实际电路中电阻电容值和标称值存在一定的误差。
③在计算时有效位数的选取等。
3.要消除稳态误差，可以选取数值更加精确的电阻电容；计算时多取几位有效位数；或自己动手焊一个参数比较准确的电路板，减少实验箱上其余用不到的器件对实验的影响等。

5.4 状态观测器的设计
1）.全维观测器
a) 全维观测器的反馈矩阵
已知
即

在命令窗口输入以下语句
A=[-0.185185 0.196078;0 -0.090909]
C=[1 0]
P=[-2,-2]
G=(acker (,,P))’
得G=[3.7239 18.5876]

b) 在Simulink中搭建全维观测器模拟电路

图5-9 全维观测器模拟电路

仿真结果如下：

图5-10 Simulink仿真原系统和观测器状态和输出图像

编写程序，通过电路获取原系统和观测器状态和输出的图像，发现其基本吻合。

图5-11 电路原系统和观测器状态和输出图像

理论曲线与实际电路响应曲线不重合有多种原因：
①采集卡输出电压限幅（0-5v），以及所建立的电路传递函数与实际参数有一定差距造成的。
②实际电路中电阻电容值和标称值存在一定的误差。
③在计算时有效位数的选取等。

2.降维观测器
已知

经检验，系统完全能观，故存在状态观测器，且rank C=1，则必存在线性变换,
取
，，
所以
;

因为，所以需要设计一个一维状态观测器
配置极点：

得：
代入式：

得：

得观测器仿真电路图如下：

图5-12 观测器仿真电路图
P=-2时原系统和降维观测器观测到的仿真模拟图像如下：

图5-13 P=-2时的图像

我们又采集了当取P=-1和P=-4时的图像（P=-1时两曲线重合）：

图5-14 P=-1时的图像

图5-15 P=-4时的图像

通过电路获得理论曲线和降维观测器的曲线，如下图所示：

图5-16 P=-2时电路获取理论与实际的图像

结论：
1.由Simulink仿真图像可以发现，原系统和降维观测器观测到的图像重合度很高，而且当P的取值越靠近虚轴，其波形的波动越小，稳定性越好。

2.由电路图像可知，其曲线和理论曲线基本一致，但实际曲线存在毛刺。
3.存在毛刺理论曲线与实际电路响应曲线不重合有多种原因：
①采集卡输出电压限幅（0-5v），以及所建立的电路传递函数与实际参数有一定差距造成的。
②实际电路中电阻电容值和标称值存在一定的误差。
③在计算时有效位数的选取等。

5.5 基于状态观测的反馈控制器设计
假设系统状态不可观测，设计基于状态观测的反馈控制器，进行Matlab仿真分析。在实际电路控制中实现上述方案，并进行对比分析。

1. 基于全维观测器的反馈控制器
在Simulink中搭建的模拟结构图如下所示：

图5-17 基于全维观测的反馈控制器电路图

仿真结果如下：

图5-18 仿真得到的原系统和控制后的系统输出曲线

通过电路得到原系统和控制后的系统输出曲线：

图5-19 电路得到的原系统和控制后的系统输出曲线

结论：
1.通过Simulink仿真得到的原系统和控制后的系统输出曲线完全重合，可知基于状态观测的反馈控制效果比较好。
2.通过电路得到的原系统和控制后的系统输出曲线有一些偏差，可能的原因是：
①采集卡输出电压限幅（0-5v），以及所建立的电路传递函数与实际参数有一定差距造成的。
②实际电路中电阻电容值和标称值存在一定的误差。
③在计算时有效位数的选取等。

2. 基于降维观测器的反馈控制器
在Simulink中搭建的模拟结构图如下所示：

图5-20 基于降维观测的反馈控制器电路图

仿真结果如下（红色曲线是不加反馈控制的降维观测器状态曲线）：

图5-21 仿真得到的原系统和控制后的系统状态曲线

图5-22 电路得到的原系统和控制后的系统状态曲线

结论：
1.通过Simulink仿真得到的原系统和控制后的系统输出曲线完全重合，可知基于降维观测的反馈控制效果比较好。
2.经过降维观测后的反馈控制和不加反馈控制的降维观测器状态曲线相比，其上升时间大大缩短，动态性能得到改善。
3.通过电路得到的原系统和控制后的系统输出曲线有一些偏差，可能的原因是：
①采集卡输出电压限幅（0-5v），以及所建立的电路传递函数与实际参数有一定差距造成的。
②实际电路中电阻电容值和标称值存在一定的误差。
③在计算时有效位数的选取等。
第6章 基于状态空间模型单级倒立摆控制系统设计
6.1 单级倒立摆系统介绍
倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，是控制理论的典型研究对象。如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远意义。 
单级倒立摆系统的原理图，如下图所示。

假设已知摆的长度为2L，质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u，相对参考系差生的位移s。若不给小车实施控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是个不稳定的系统。控制的目的是通过控制力u的变化，使小车在水平方向上运动，达到设定的位置，并将倒置摆保持在垂直位置上。

已知单级倒立摆的各项数据如下所示：

6.2 状态空间模型的建立
1. 查阅文献，建立单级倒立摆的状态空间数学模型。取状态变量 。测试系统的开环特性。

1） 受力分析
设N和P为小车与单摆相互作用力的水平和垂直方向的分量。则：
水平方向：
（6-1）

垂直方向：
（6-2）

2） 状态方程
，近似处理：，，，线形化两个运动方程如下：
（6-3）

对上式进行拉氏变换，得到