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第四节 微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．
一、 供需均衡的价格调整模型
在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S及需求量D与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为
S=a1+b1P, D=a-bP,

其中a1,b1,a,b均为常数，且b1＞0,b＞0；P为实际价格．
供需均衡的静态模型为

显然，静态模型的均衡价格为
Pe=．
对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras）假设：超额需求［D(P)-S(P)］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t时刻价格的变化率与超额需求D-S成正比，即
=k(D-S)，于是瓦尔拉假设下的动态模型为

整理上述模型得
=l(Pe-P),
其中l=k(b+b1)＞0,这个方程的通解为
P(t)=Pe+Ce-lt．
假设初始价格为P(0)=P0,代入上式得，C=P0-Pe,于是动态价格调整模型的解为
P(t)=Pe+(P0-Pe)·e-lt，
由于l＞0，故
=Pe．
这表明，随着时间的不断延续，实际价格P(t)将逐渐趋于均衡价格Pe．
二、 索洛(Solow)新古典经济增长模型
设Y(t)表示时刻t的国民收入，K(t)表示时刻t的资本存量，L(t)表示时刻t的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：

其中s为储蓄率(s＞0)，l为劳动力增长率(l＞0)，L0表示初始劳动力(L0＞0)，r=称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K=rL两边对t求导，并利用=lL，有
．
又由模型中的方程可得
=sLf(r1),
于是有
+lr=sf(r,1)． (10-4-1)
取生产函数为柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)函数，即
f(K,L)=A0KaL1-a＝A0Lra，
其中A0＞0，0＜a＜1均为常数．
易知f(r,1)=A0ra，将其代入(10-4-1)式中得
+lr=sA0ra． (10-4-2)
方程两边同除以ra，便有
r-a+lr1-a=sA0．
令r1-a=z,则=(1-a)l-a ,上述方程可变为
+(1-a)lz=sA0(1-a)．
这是关于z的一阶非齐次线性方程，其通解为
z=Ce-l(1-a)t+ (C为任意常数)．
以z=r1-a代入后整理得
r(t)=．
当t=0时，若r(0)=r0,则有
C=r01-a－A0．
于是有
r(t)= ．
因此， ．
事实上，我们在(10-4-2)式中，令=0,可得其均衡值re=.
三、 新产品的推广模型
设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N-x(t)也成正比，于是有
=kx(N-x)， (10-4-3)
其中k为比例系数，分离变量积分，可以解得
x(t)= (10-4-4)
方程(10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线．
由
=
以及
=，
当x(t*)＜N时，则有＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)=时，=0;当x(t*)＞时，＜0；当x(t*)＜时，＞0．即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．
国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．
习题10-4
1． 某公司办公用品的月平均成本C与公司雇员人数x有如下关系：
C′=C2e-x-2C
且C(0)=1,求C(x)．
2． 设R=R(t)为小汽车的运行成本，S=S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：
R′=, S′=-bS,
其中a,b为正的已知常数，若R(0)=0,S(0)=S0(购买成本)，求R(t)与S(t)．
3． 设D=D(t)为国民债务，Y=Y(t)为国民收入，它们满足如下的关系：
D′=aY+b, Y′=gY
其中a,b,g为正已知常数．
(1) 若D(0)=D0,Y(0)=Y0,求D(t)和Y(t);
(2) 求极限．
4． 设C=C(t)为t时刻的消费水平，I=I(t)为t时刻的投资水平，Y=Y(t)为t时刻的国民收入，它们满足下列方程

(1) 设Y(0)=Y0，求Y(t),C(t),I(t);
(2) 求极限
5． 某养殖场在一池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼5000条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y是时间t的函数y=y(t)，实验表明，其变化率与池内鱼数y和池内还能容纳的鱼数(5000-y)的乘积成正比，若开始放养的鱼为400条，两个月后池塘内鱼的数量为550条，求放养半年
后池塘内鱼的条数．

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