二维混凝土骨料随机生成与投放算法及程序.pdf

第 3 2卷第 1期 2 0 1 5年 3月 土木工程与管理学报 J o u rna l o f C i v i l E n g i n e e r i n g a n d Ma n a g e me n t Vo 1 3 2 No 1 Ma r 2 01 5 二维混凝 土骨料 随机 生成 与投放算法及 程序 任志刚， 徐彬， 李培鹏， 徐长武 ( 武汉理工大学土木工程与建筑学院， 湖北武汉4 3 0 0 7 0 ) 摘要： 混凝土细观结构的多相性、 不均匀性很大程度上控制了其细观尺度上的损伤演变机制及宏观尺度上的 力学特性。粗骨料是混凝土的重要组成部分， 其几何模型是开展混凝土细观力学研究的基础。建立一个能反 映实际混凝土级配、 含量等信息的粗骨料几何模型， 对混凝土细观结构数值模拟有重要意义。本文提出了基于 实数解的椭圆形随机骨料干涉判断方法和基于圆形骨料边延拓的凸多边形随机骨料生成方法， 进而得到圆形、 椭圆形与凸多边形 3种不同形状的二维全级配混凝土骨料随机生成与投放算法 ， 编制了界面友好的交互式程 序。数值算例显示了 3种不同形状的二级配、 三级配与四级配混凝土骨料的生成与投放效果。结果显示， 该算 法提高了骨料的随机生成与投放效率 ， 改进了程序的可执行性。 关键词： 混凝土骨料 ； 级配； 随机生成； 投放 ； 数值模拟 中图分类号： T U 5 2 8 0 1 文献标识码： A 文章编号： 2 0 9 5 - 0 9 8 5 ( 2 0 1 5 ) 0 1 00 0 1 -06 Al g o r i t hm a n d Pr o g r a m f o r Ra n do m Ge ne r a t i o n a nd Di s t ribu t i o n o f Two - d i me n s i o na l Co n c r e t e Ag g r e g a t e s REN Zh i ga n g，XU Bi n，L I Pe i - pe n g，XU Ch an g- Wi t ( S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e ri n g a n d A r c h i t e c t u r e ， Wu h a n U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ，Wu h a n 4 3 0 0 7 0 ， C h i n a ) Abs t r a c t ：Th e muh i p h a s e a n d a s y mme t r y o f t h e c o n c r e t e me s o s t r u c t u r e s i g n i fic a n t l y a f f e c t t h e d a ma g e e v o l u t i o n me c h a ni s m i n t h e me s o s c a l e a n d t he me c h a n i c al c h a r a c t e ris t i c s i n t h e ma c r o S C a l e Co a r s e a g g r e g a t e i s a n i mp o r t a n t c o mp o n e n t o f c o n c r e t e ，a n d i t s g e o me t ri c mo d e l i s t h e b a s i s f o r me s o s c o p i c me c h a ni c s r e s e a r c h i n c o n c r e t e Bu i l d i n g a c o a r s e a g gr e g a t e g e o me t ric mo de l whi c h c o u l d r e f l e c t t h e gra d a t i o n a n d c o n t e n t i n t h e p r a c t i c al c o n c r e t e i s o f g r e a t s i g n i fi c a n c e t o t h e me s o s t r u c t u r e n u me ric a l s i mu l a t i o n o f c o n c r e t e Ba s e d o n t he r e a l n umb e r s o l u t i o n s o f e l l i pt i c e q u a t i o n s，a n e w i n t e rfe r e n c e j u d g m e n t m e t h o d o f e l l i p t i c a l c o n c r e t e a g g r e g a t e s w a s s u g g e s t e d ， a n d t h e g e n e r a t i o n m e t h o d o f c o n v e x p o l y g o n a l c o n c r e t e a g g r e g a t e s wa s i mp r o v e d wi t h t h e me t h o d o f c i r c u l a r a g g r e g a t e b o u n d a ry e x t e n s i o n， t h e n t h e mo d i f i e d a l g o rit h ms for t wo - d i me n s i o na l f u l l g r a d e d a g gre g a t e r a n d o m g e ne r a t i o n a n d d i s t ri b u t i o n we r e p r o p o s e d w i t h t h r e e d i f f e r e n t s h a p e s o f c i r c l e ， e l l i p s e a n d c o n v e x p o l y g o n Co r r e s p o n d i n g l y， a us e r - f rie n d l y i n t e r a c t i v e p r o g r a m wa s p r e s e n t e d Th e n u me ric a l e x a mp l e s d e mo n s t r a t e d t h e g e ne r a t i o n a nd d i s t rib u t i o n e f f e c t o f t wo g r a d e d， t h r e e g r a d e d a nd f o u r g r a d e d a g g r e g a t e s wi t h t h e t h r e e s h a p e s；t he r e s u l t s s h o w t ha t t h e mo d i fie d a l g o rit h ms c o u l d i n c r e a s e t h e r a n d o m g e n e r a t i o n a n d d i s t ri b u t i o n e f fi c i e n c y o f t h e t w o - d i me n s i o n a l c o n c r e t e a g g r e g a t e s ，me a n wh i l e t h e pr o gra m e x e c u t i o n p e rfo r ma n c e wo u l d b e i mp r o v e d Ke y wo r d s：c o n c r e t e a g g r e g a t e s ；gra d a t i o n；r a n d o m g e n e r a t i o n；d i s t rib u t i o n；n u me ric a l s i mu l a t i o n 在细观尺度 上 ， 混凝 土是 由粗骨料、 水 泥砂 质复合材料。在外力作用下 ， 混凝土细观结构 的 浆、 骨料 一 砂浆界面层及裂纹等组成的多相非均 多相性、 不均匀性很大程度上控制了其细观尺度 收稿 日期 ： 2 0 1 4 - 0 9 - 0 1 修 回日期 ： 2 0 1 4 1 1 1 2 作者简介： 任志刚( 1 9 7 4 ) ， 男， 湖北鄂州人， 教授， 博士， 研究方向为新型结构与新材料结构( w h u t r e n 1 6 3 c o m ) 基金项目： 中央高校基本科研业务费专项资金资助项 目( 2 0 1 1 1 1 -0 0 4 ) 2 土木工程与管理学报 2 0 1 5年 上的损伤机制及宏观尺度上的力学特性。 目前 ， 对数值混凝土力学性能的研究主要依靠宏观数值 模型和细观数值模型两种方法 。宏观数值模型能 较好地模拟混凝土材料 的均匀性 ， 但难 以反映出 实际材料的非均匀性 ， 也难以捕捉局部材料破坏 的随机性 J 。从细观角度 出发 ， 能更好地揭示混 凝土中裂纹的形成 、 发展和破坏过程 ， 并能为混凝 土材料细观结构优化设计提供指导。 粗骨料是混凝土的骨架 ， 其形状 、 体积率 、 级 配等对混凝土的宏观力学性能有重要影 响。所以 在进行混凝土细观结构数值模拟之前 ， 有必要建 立一个能反映真实情况下的粗骨料几何模型。目 前 ， 国内外许多学者对此进行 了相关 研究 。Wi t t ma n n等 建立了角度 和边数都随机选择的多棱 角无规则骨料模型 ， 对混凝土数值模 型研究起 到 很大的推动作用。杜成斌 J 、 孙立 国 对一次性 形成的同级基骨料进行随机延拓 ， 提 出了平面二 维 、 空间三维任意形状混凝土骨料的模拟方法 ， 有 效地提高了高含量粗骨料 的投放效率。C a b a l l e r o 等 提出实体三维空 间内先 随机布点表征 骨料 颗粒中心位置 ， 再基 于点延拓形成骨料 的建模方 法 ， 将模 型推 广至 三维 情况 。L a t h a m等 利 用 3 D激光探测与测距技术建立了真实碎石、 砾石骨 料形状库 ， 以此作 为数值 分 析 的基 础。宋 晓刚 等 提出基于随机游走的混凝土多边形骨料投 放数值模拟方法 ， 可以模拟混凝土在浇筑和振捣 过程中的运动情况 ， 但该方法不适用 于骨料含量 较少的情况 。宋来忠等 ， m 基于参数 曲线的 自由 变形技术 ， 将骨料及黏结界面的轮廓线用确定的、 形式统一的参数方程予 以表示 ， 建立混凝土随机 参数化骨料数学模 型， 并利用相关软件建立有限 元 网格模型进行数值加载试验。D u等 利用 x r a y断层摄影术重建了真实 的三维混凝土细观模 型 ， 得到了具有真实内部特征的混凝土数值试件 。 通过改进已有算法， 拟实现圆形、 椭圆形、 凸 多边形等 3种骨料 的随机生成与投放 ， 据此编制 二维混凝土骨料随机生成与投放程序 ， 为后续深 入开展混凝土细观力学数值模拟奠定基础。 1 算法基础 混凝土级配理论主要有两种 ： 连续级配和间 断级配。良好的连续级配是按照一定 的粒径比及 其含量形成一个连续 的级配曲线。2 0世纪初 ， 由 美国科学家富勒 ( F u l l e r W B) 提出来的最大密实 度级配 曲线 ( 即富勒 曲线 ) 为 目前 常见的三维理 想级配曲线。采用该最大密实度级配曲线所确定 的级配浇筑的混凝土可以产生最优化的结构密度 和强度 。其表达式为 ： oo侄 式中： D。 为筛孔直径 ； D 为最大骨料粒径 ； P为 通过筛孔 骨料的质量百分 比。 2 0世纪初 ， Wa l r a v e n J C的研究工作表明： 基 于富勒公式， 可将三维骨料级配 曲线转化 为二维 骨料级配曲线 ， 并且试件截 面内任意点具有骨料 粒径 D D。 的概率 为 P 。 ( D D。 ) 。采用富勒 曲 线平面转化公式( 即瓦拉文公式) ， 使二维混凝土 骨料几何模型的数值模拟成为现实。用累积分布 函数来代表在混凝土中位于一个内截面上任一点 具有粒径 DD 。 的概率 ： P c ( 。 6 5 ( ) D O 4 -0 , 0 1 2 ( D o ， 6 - 0 0 叫 m 一 0 05 3 8 +0 0 0 2 5 ( 2 ) 式 中： D为骨料代表粒径 ； P 为骨料 ( 包括粗骨料 和细骨料) 体积 占混凝 土总体积 的百分 比， 一般 取 P k = 0 7 5 。 对于具有确定 尸 的混凝土拌合物 ， 即可根据 公式( 2 ) 计算不同筛孔直径 D n 下二维平面上任 一 点具有直径 DD 。 的概率 ， 并且可以近似得到 骨料粒径 DD 的概率分布曲线图。 1 1 圆形骨料随机生成与投放算法 确定 圆形骨料二维随机生成与投放 的参数有 3个 ： 圆形骨料 的半径 、 圆心坐标 ( ， Y ) 。具体生 成与投放步骤为 ： ( 1 ) 根据 P k 、 试件宽 、 试件高 、每种骨料的代表粒径 D， 确定每种骨料的颗粒 数 ； ( 2 ) 用 =WR a n d ( 1 ) 、 Y =H R a nd ( 1 ) 确 定圆心坐标 ， 使其 满足 0 5 D W一0 5 D 、 0 5 D y H一 0 5 D ， 其 中 Y c i 为第 i 个骨料 的圆心坐标 ； D 为第 i 个 骨料 的代表粒径 ； R a n d ( 1 ) 为( 0 ， 1 ) 均匀分布的随机数 ， 以下同； ( 3 ) 骨料 干涉 0 断 ： ( 。 一 ) 一 ( Y 。 - y ， ) 叼 ( 0 5 D + 0 5 D ， ) ( i ， J =1 ， 2， ， n ， i ) ， 其 中 叼为骨料影 响范围系数 ， 取为 1 0 5 。B a z a n t 等 认为混凝土 等一些多相复合材料的骨料颗粒虽可随机地排列 在一起 ， 但颗粒 问相互接触 的机会很小 。因而取 骨料影响范 围系数 叼为 1 0 5 ， 在此范围内， 其他 骨料不能进入 。( 4 ) 存储圆形骨料生成与投放参 数 ， 绘制 圆形骨料的生成与投放图。 第 1 期 任志刚等： 二维混凝土骨料随机生成与投放算法及程序 。3 各级配 圆形 骨料投 放 图如 图 1 ， 其 中 P = 0 7 5 ， 图 1 ( a ) 试件尺寸为 1 5 0 m m x 1 5 0 m m， 图 1 ( b ) 试件尺寸为 2 5 0 mm 2 5 0 mm， 图 1 ( e ) 试 件 尺寸为 5 0 0 mm5 0 0 m m。 ( a ) 二 级配 ( b ) 三级配 ( C )四级 配 图 1 各级配圆形混凝土骨料 的随机生成与投放 1 2 椭 圆形骨料随机生成与投放算法 椭 圆形骨料的生成 与投放参数有 5个 ： 骨料 粒径 、 椭圆形短半轴与长半轴的 比率 椭圆圆心 坐标 ( ， Y ) 、 椭 圆长轴相对于整体坐标 系 轴正 方向的旋转角度 O L ( 以弧度表示 ) 。具体生成与投 放步骤为 ： ( 1 ) 根据 P 试件宽 、 试件高 日、 每种 骨料的代表粒径 D( 为椭圆长轴尺寸 ) ， 确定每种 骨料的投放面积 S=( P 。 P ) 。IS 为每一种 骨料的投放总面积 ， A为试件 的截面积 ， 即 A=W 日； ( 2 ) 用 ：WR a n d ( 1 ) 、 Y =HR a n d ( 1 ) 确定椭 圆形圆心坐标 ， 使其满足 0 5 D 。 W一 0 5 D 、 0 5 D Y 一0 5 D ， 其 中 。 、 Y 为第 i 个骨料的圆心坐标 ， D 为第 i 个骨料的代表粒径 ( 即椭 圆长轴尺寸 ) ； ( 3 ) 确定椭 圆形短半轴与长 半轴 的比率 。 =a+bR a n d( 1 ) ， R a n d ( 1 ) ( 0 ， 1 ) ， 使 的取值范 围为( a ， b ) ， 用 以控制椭 圆 形骨料的形状 ； ( 4) 确定椭 圆长轴相对于整体坐 标系 轴正方向的旋转角度 O L 。由于椭圆形骨料 的对称性 ， =1 T x R a n d ( 1 ) ， ( 0， ) ； ( 5 ) 骨料 干涉判断； ( 6 ) 确定骨料投放面积 ， 存储椭 圆形骨 料的 5个参数 ， 绘制椭 圆形骨料 的生成与投放图。 国内外研究者 采用 了多 种骨料干 涉判断方 法。高巧红等 1 利用两椭圆的代数条件来判断 二者之间的关系， 但若精度选取不 当， 利用该方法 会造成一定 的误差。宋来忠等 利用椭 圆参 数 方程把计算点到椭圆距离问题化为一个求最值的 问题 ， 并用搜 索法得到近似解。但每次投放新骨 料均需计算点到所有 已投放骨料的距 离， 从 而降 低了效率。 本文采取的方法如下 ： 首先 ， 在以 D 为直径 的圆范围内， 搜索已投放的椭圆形骨料 ， 排除圆外 的其他骨料 。目的在 于缩小干涉骨料判断范 围， 减少判断次数。其次 ， 按照上述 5个参数 ， 得到整 体坐标系下两椭 圆的符号表达式 印 与 印： ： 一 二 ! ! ! 二 ! 一 f D 2) 。 ( 。 1 ) s i n o t 1 一( y Y 。 1 ) C O S O t 1 ( 1 D1 2 ) ( 3 ) b T 。 n ( x-x 2 ) c o s o z ： +( y- Y e 2 ) s i n o t 2 2 一 ( D， 2) ( 4 ) ( x 2 D 2 2 ) 一 通过两椭圆方程是否存在实数解来判断两椭 圆是否干涉。若无实数解 ， 进一步判断两椭 圆之 间是否发生包含关系。 判断包含关系时 ， 采用 Mo n t e C a r l o 模拟 的近 似方法。先判断两椭圆粒 径大小 ， 以粒径较大椭 圆的长轴为边长绘正方形。按照一定 的密度划分 正方形 ， 形成网格 ， 如图 2所示。通过判断两椭 圆 内部 的点坐标是否重叠来 评判两椭 圆包含与否。 当然 ， 划分 网格的密度大小需根据较小椭 圆粒径 的大小而做出选择。由于椭圆粒径较大 ， 若发生 包含 的情况 ， 点的数量不会很多 ， 也不会发生存储 空间不足 的情况 ， 所以该方法运行速度较快 ， 正确 率也较上述文献方法高。 图2 椭圆形骨料包含判断 采用以上方法 ， 各级配椭 圆形骨料投放情况 如图 3 ， 其 中 P =0 7 5 ， 图 3 ( a ) 试件 尺寸为 1 5 0 mm1 5 0 m m， 图 3 ( b ) 试件尺 寸为 2 5 0 m m2 5 0 mm， 图 3 ( C ) 试件尺寸为 5 0 0 mm 5 0 0 m m。 1 3 凸多边形骨料随机生成与投放算法 人工碎石骨料几乎为凸多面体， 所以在二维 情况下用凸多边形模拟碎石骨料。一般 以三角形 或 四边形为基骨料 ， 建立 以面积为标度的骨料侵 4 土木工程与管理学报 2 0 1 5年 ( a ) 二 级 配 ( b ) 三 级 配 ( c )四级 配 图3 各级配椭圆形混凝土骨料的随机生成与投放 入判断 准则 和 凸多 边 形 骨料 生 成 方 法。孙 立 国 j 、 马怀发等 改进上述方法 ： 首先投放 圆形 骨料 ， 在圆周上取一定数量 的点围成 多边形基骨 料 ， 再 以多边形较长边为直径向外半 圆延拓。用 圆心坐标确定凸多边形在平面内的位置 ， 用 圆形 骨料的面积控制基骨料延拓的面积。该方法可以 快速确定骨料位置 ， 且可控制骨料 的颗粒数。但 是 由于随机数的不确定性 ， 该延拓的方法在实际 操作 中有一定 的困难。同时 ， 因未控制延拓点 的 范围， 延拓点可能 已超 过该骨料粒径范围的最大 值 ， 使骨料级配发生一定的变化。 本文改进上述方法 ， 在圆形骨料 的基础上 ， 采 用边延拓的方法生成 凸多边形骨料。具体生成与 投放步骤如下 ： ( 1 ) 根据 P 、 试件宽 、 试件高 、 每种骨料 的代表粒径 D， 确定每种骨料 的投放面积 ， 并以此 确定骨料颗粒数。根据马怀发等 按照骨料切 面几何图形面积等效 的原则 ， 将瓦拉文公式推广 应用于确定二维混凝土试件截面凸多边形骨料分 布。所以， 基于圆形骨料推导 的瓦拉文公式也可 以用于确定 凸多边形骨料面积 。 ( 2 ) 随机生成 边形基骨料 。以圆心到基骨 料顶点的射线与 轴正方 向的夹角为参数 ， 随机 生成 n个角度 ( 以弧度表示 ) ， =2 ,r r r a n d ( 1 ， n ) ， 并将 角度排序 ， 以逆时针方 向对凸多边形顶 点进行编号。根据角度 、 圆心坐标 ( ， Y ) 及圆半 径 ， 可求得 边形基骨料顶点坐标值。此外 ， 令圆 心在凸多边形 内部 ， 可使基骨料面积相对较大， 并 利于面积延拓 。 ( 3 ) 基骨料延拓。任意一个 n边形 凸骨料均 可分割成 n个三角形 ， 其中以上述圆心为各个三 角形 的其 中一顶点 ， 如图 4所示。 5 6 土木工程与管理学报 2 0 1 5年 3 结 语 混凝土骨料随机生成与投放算法是开展混凝 土细观力学数值模拟研究的基础。本文在传统算 法的基础上 ， 采用实数解法改进了椭圆形骨料干 涉判断方法 ； 同时基于圆形骨料生成算法 ， 运用边 延拓法改进了凸多边形骨料生成算法 。进而综合 提出圆形 、 椭圆形、 凸多边形 3种形状 的二维混凝 土骨料的随机生成与投放改进算法 ， 编制 了界面 友好的交互式混凝土骨料随机生 成与投放程序。 算例显示 ， 改进算法提高 了程序的执行效率。该 算法虽只针对二维混凝土骨料 ， 但亦可移植至三 维情况下 ， 同时程序所储存 的几何信息 ， 亦便于后 期进行有限元网格划分和导人大型通用有限元程 序开展数值模拟分析。这是本文后续将要进行 的 研究工作。 参考文献 李建波，林皋，陈健云随机凹凸型骨料在混凝 土细观数值模型中配置算法研究 J 大连理工大 学学报 ， 2 o 0 8 ， 4 8 ( 6 ) ： 8 6 9 - 8 7 4 W i t t ma nn F H Ro e l f s t r a P ES a d ou k i H S i mu l a t i o n a n d a n a l y s i s o f c o mp o s i t e s t r u c t u r e s J Ma t e ri a l S c i e n c e a n d E n g i n e e ri n g ，1 9 8 5 ， 6 8 ( 2 ) ： 2 3 9 - 2 4 8 杜成斌， 孙立国任意形状混凝土骨料的数值模拟 及其应用 J 水利学报， 2 0 0 6 ， 3 7 ( 6 ) ： 6 6 2 - 6 6 7 孙立国三级配( 全级配) 混凝土骨料形状数值模 拟及其应用 D 南京：河海大学， 2 0 0 5 C a r a b e l l o A ，C a r o l I ，L o p e z C M A me s o l e v e l印 一 p r o a c h t o t h e 3 D n u me ri c a l a n aly s i s o f c r a c k i n g a n d f r a c t u r e o f c o n c r e t e ma t e r i a l s l J 1 F a t i g u e a n d F r a c t ar e o f En g i n e e rin g Ma t e rials a nd S t ruc t ur e s ，2 0 06，29 ( 1 2)： 9 7 9 9 9 1 L a t h a m J P ，M u j i z a A， G a r c i a X，e t a1 T h r e e d i me n s i o n al pa r t i c l e s h a p e a c q u i s i t i on a n d u s e o f s h a pe l i b r a r y f o r D EM a n d F EM DE M s i mu l a t i o n l J 1 Mi n - e r al s E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 8 ， 2 1 ( 1 1 ) ： 7 9 7 8 0 5 7 宋晓刚， 杨智春混凝土多边形骨料投放的随机游 走算法 J 应用力学学报，2 0 0 9 ， 2 6( 4 ) ：8 0 8 8l 1 8 宋 晓刚 ， 杨智 春一种新的混凝土 圆形骨料投 放数 值模拟方法 J 工程力学，2 0 1 0 ，2 7( 1 ) ：1 5 4 1 59 9 宋来忠 ， 姜袁 ， 彭刚混凝土随机参数化骨料 模型及加载的数值模拟 J 水利学报， 2 0 1 0 ， 4 1 ( 1 0)：1 2 41 1 2 4 7 1 O 宋来忠，沈涛， 余波混凝土二维参数化骨料 模型的创建方法 J 工程力学， 2 0 1 3 ， 3 0 ( 1 0 ) ： 5 1 3 1 1 D u C B， J i a n g S Y， Q i n W， e t a1 N u me ri c a l a n a l y s i s o f c o n c r e t e c o mp o s i t e s a t t h e me s o s c ale b a s e d o n 3 D r e c o n s t r u c t i o n t e c h n o l o g y o f X r a y C T i m a g e s J C o mp u t e r Mo d e l i n g i n E n g i n e e ri n g a n d S c i e n c e s ， 2 0 l 1 ， 8 1 ( 3 _ 4 ) ： 2 2 9 2 4 7 1 2 Wa l r a v e n J C，R e i n h a r d t H WT h e o r y a n d e x p e ri me n t s o n t h e me c h a n i c a l b e h a v i o r o f c r a c k s i n p l a i n a n d r e i n f o r c e d c o n c r e t e s u b j e c t e d t o s h e a r l o a d i n g J H e r o n ， 1 9 8 1 ， 2 6 ( 1 A) ： 2 6 - 3 5 1 3 钟根全，李丽娟，刘锋 ， 等混凝土二维随机骨 料的数值模拟 J 混凝土， 2 0 0 8 ，( 9 ) ： 7 0 7 3 1 4 B a z a n t Z P ， T a b b a r a M R，K a z e m i M T ，e t a 1 R a n d o m p a r t i c l e mo d e l f o r f r a c t u r e o f a g g r e g a t e o r fi b e r c o m p o s i t e s J J o u r n al of E n gi n e e ri n g Me c h a n i c s ， A S C E， 1 9 9 0 ， 1 1 6 ( 8 ) ：1 6 8 6 - 1 7 0 5 1 5 高巧红，关振群，顾元宪， 等混凝土骨料有限元 模型自动生成方法 J 大连理工大学学报， 2 0 0 6 ， 4 6 ( 5 ) ： 6 4 1 - 6 4 6 1 6 宋来忠，王乾峰，彭刚， 等具有大量椭圆随机 分布区域的数值模拟及应用 J 计算力学学报， 2 0 1 2 ， 2 9 ( 5 ) ： 6 6 2 -66 7 1 7 马怀发 ， 芈书贞，陈厚群一种混凝土随机凸多边 形骨料模型生成方法 J 中国水利水电科学研究 院学报 ， 2 0 0 6 ， 4 ( 3 ) ：1 9 6 - 2 0 1 J 1j jj l 2 3 4 5 6 rL r h rl r L rL