Ornstein-Uhlenbeck投资模型下相关索赔的鲁棒最优再保险投资策略.pdf

Robust optimal reinsurance-investment strategy with correlated claims forOrnstein-Uhlenbeck investment modelWANG Jie，WANG Xiulian（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）Abstract：The robust optimal reinsurance-investment problem with correlated claims under the Ornstein-Uhlenbeck（OU）investment model is considered on the basis of general diffusion model.The loss-dependent premium principle is taken and it isassumed that the insurance company makes both risk-free and risky investments while purchasing proportional reinsurance.Under the objective of maximizing the expected utility from final wealth，combined with the ambiguity aversion of investors，theexplicit solutions for the robust optimal reinsurance-investment strategy and the optimal value function are obtained usingstochastic optimal control method.The influences ofcorrelated claims and robustness on the optimal strategy are studied throughnumerical examples.Keywords：Ornstein-Uhlenbeck process；correlated claims；ambiguity aversion；reinsurance-investmentstrategyOrnstein-Uhlenbeck 投资模型下相关索赔的鲁棒最优再保险投资策略王婕，王秀莲（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）摘要：在一般扩散模型的基础上研究 Ornstein-Uhlenbeck（OU）投资模型下相关索赔的鲁棒最优再保险投资问题.采用损失相关保费准则，假设保险公司在购买比例再保险的同时进行无风险投资和风险投资.在最大化终端财富期望效用的目标下，结合决策者的模糊厌恶情况，利用随机最优控制方法，得到了鲁棒最优再保险投资策略和最优值函数的显式解.通过数值算例研究相关索赔及模型的鲁棒性对最优策略的影响.关键词：Ornstein-Uhlenbeck 过程；相关索赔；模糊厌恶；再保险投资策略中图分类号：O211.67文献标志码：A文章编号：1671-1114（2023）03-0001-07收稿日期：2021-12-02基金项目：国家自然科学基金资助项目（11401436）；天津市教委科研基金资助项目（JW1714）第一作者：王婕（1997），女，硕士研究生.通信作者：王秀莲（1965），女，副教授，主要从事概率统计及其应用方面的研究.E-mail：.第 43 卷第 3 期2023 年 5 月天 津 师 范 大 学 学 报（自 然 科 学 版）Journal of Tianjin Normal University（Natural Science Edition）Vol.43 No.3May 2023doi：10.19638/j.issn1671-1114.20230301保险公司购买再保险可以有效分散巨额索赔风险，而投资可以使保险公司实现财富价值最大化.因此，不同目标下再保险和投资的最优策略问题得到许多学者关注1-6.文献7-8的实证研究表明，未来索赔和历史索赔存在相关性，但如何正确描述其相关性仍未解决.文献9首次引入外推偏差研究相关索赔，认为投资者应基于市场过去的价格变化预测未来的价格变化.文献10-11将相关索赔应用于保险市场，得到值函数的解和最优再保险策略，但没有考虑风险资产投资.文献12在此基础上加入无风险和风险资产投资，得到了稳健最优再保险投资策略，并指出相关索赔可以有效提高保险公司的财富价值.较多文献以几何布朗运动刻画风险资产的价格过程，其收益率和波动率均为常数或确定性函数，不能有效反映市场的波动性和状态.基于此，文献13采用 Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程刻画股票的瞬时收益率，研究了指数效用和对数效用情况下的最优投资策略；文献14研究了最大化终端财富指数效用下的最优再保险投资策略；文献15研究了均值-方差准则下的最优再保险投资策略.在现实的金融市场中，由于信息缺乏以及模型参数估计的各种误差，决策者很难得到唯一确定的概率模型，这天 津 师 范 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 5 月类问题称为“模型的不确定性”问题，也称为鲁棒性问题.文献16在文献1的基础上研究了金融市场模型的模糊性问题.文献17在文献14的基础上考虑了模型不确定性，得到模型的不确定性会给模糊厌恶者带来效用损失.本文同时考虑相关索赔和 OU 投资模型，在最大化终端财富期望效用的目标下，研究鲁棒最优再保险投资问题.利用动态规划原理得到了值函数满足的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，进而得到值函数及最优再保险投资策略的显式解.最后通过数值算例考察相关参数对最优策略的影响.1模型描述设（，t，P）为完备的概率空间，其中：t，0tT为由一个复合 Poisson 过程L（t），t0和 3 个一维标准布朗运动Wi（t），t0（i=1、2、3）生成的信息流，包含时刻 t 之前的所有信息；P 为完备的概率测度.假设投资在有限时间区间0，T内是可交易的，T为最终交易时间，并且允许连续交易，不涉及交易成本和税收，所有资产都是无限可分的.1.1保险公司财富过程采用经典的 Cramr-Lundberg 风险模型刻画保险公司的财富过程 X（t），即X（t）=x+ct-N（t）i=1移Yi（1）式中：xR 为初始盈余；c 为保费率；L（t）=N（t）i=1移Yi为复合 Poisson 过程，且 L（0）=0；N（t），t0为强度 0的齐次Poisson 过程，表示截止时刻 t 的理赔次数；Yi为第 i次的理赔额.设Yii0为独立同分布的随机变量，与N（t），t0相互独立，Yi具有有限的一阶矩 1=E（Yi）和二阶矩 2=E（Yi2）.索赔过程 L（t）可以被近似为带漂移的布朗运动，即dL（t）=1dt-2姨dW1（t）0tT（2）采用以下外推偏差衡量相关索赔v（t）=t0乙e-(t-s)dL（s-ds）0 0 为保险人的安全负荷，e-t1为预期索赔的加权平均值.为确保历史索赔的加权平均值是有限的，假设|v（t）|M，0tT，M 为正常数.对式（3）求导数得dv（t）=-v（t）dt+dL（t）（4）应用损失相关保费准则将式（2）改写为dL（t）=（e-t1+v（t）dt-2姨dW1（t）（5）将式（5）带入式（4）得dv（t）=e-t1dt-2姨dW1（t）（6）假设保险公司通过购买比例再保险规避一定的风险，设 q（t）0，1为购买比例再保险后时刻 t 的风险自留比例.当索赔发生时，保险公司的赔付额为q（t）Yi，再保险公司的赔付额为（1-q（t）Yi.假设再保险公司也按损失相关保费准则收取再保费，再保费率 c1=（1+2）（1-q（t）（e-t1+v（t），其中：2 0为再保险人的安全负荷，满足 2 1.保险公司在时刻 t 的盈余满足随机微分方程dXtq=（c-c1）dt-q（t）dL（t）=（1+1）（e-t1+v（t）-（1+2）（1-q（t）（e-t1+v（t）dt-q（t）（e-t1+v（t）dt-2姨dW1（t）=（e-t1+v（t）（1-2+q（t）2）dt+q（t）2姨dW1（t）（7）式中：Xtq为考虑再保险后的财富过程，X0q=x.1.2金融市场假设保险公司投资 2 种金融资产：无风险资产（债券）和风险资产（股票）.债券的价格过程为dP1（t）=rP1（t）dt（8）其中 r 0 为无风险利率.采用 OU 过程刻画股票价格的收益率，股票的价格过程满足dP2（t）=P2（t）（a+m（t）dt+bdW2（t）dm（t）=m（t）dt+dW3（tt）（9）式中：t0，T；a 和 b 均为正常数，分别为股票价格的漂移率和波动率，假设 a r，a+m（t）r；、为常数；标准布朗运动 W2（t）和 W3（t）的相关系数为，即cov（W2（t），W3（t）=t.当 m（t）0 时，表示股市正处于“牛市”，当 m（t）0 对（t，w）0，T 几乎处处成立；（3）i（t）满足 Novikov 条件EP3i=1移12T0乙i2（t）dd?t （t）构成的集合记为.由式（9）和式（10）可知模糊性来自布朗运动 Wi（t），因此 i（t）与 Wi（t）相关，i=1、2、3.定义（t）=exp乙d3i=1移乙乙-t0乙i（s）dWi（s）-12t0乙i2（s）ds乙乙乙?设测度 Q 满足dQdPr=（t），并令dWiQ（t）=dWi（t）+i（t）dti=1、2、3（11）由 Girsanov 定理可知 WiQ（t）在测度 Q 下为标准布朗运动.W1Q（t）与 W2Q（t）、W3Q（t）互相独立，W2Q（t）、W3Q（t）仍存在相关性，满足 cov（W2Q（t），W3Q（t）=t.将式（11）代入式（10），得到在测度 Q 下盈余满足的随机微分方程dXtu，Q=rXtu+（a+m（t）-r-b2（t）（t）+（e-t1+v（t）（1-2+q（t）2）-q（t）1（t）2姨dt+q（t）2姨dW1Q（t）+（t）bdW2Q（t）（12）由式（12）可见，引入模糊性只改变了财富过程的漂移项，并没有改变方差项.在测度 Q 下，式（6）和式（9）分别改写为dvQ（t）=（e-t1+2姨1（t）dt-2姨dW1Q（t）（13）dmQ（t）=（m（t）-3（t）dt+dW3Q（t）（14）Q 和 P 的相对熵为KL（QP）=EQln（t）=EQ乙乙3i=1移乙乙-t0乙i（s）dWiQ（s）+12t0乙i2（s）ds乙乙乙乙=EQ乙乙3i=1移t0乙12t0乙i2（s）ds乙乙且有 dKL（QP）=3i=1移12i2（t）dt.当考虑最优策略时，由于选用了替代模型，则会带来惩罚.定义罚函数为（t，Xtu，v（t），m（t），（t）=3i=1移i2（t）2i（t，Xtu，v（t），m（t）（15）式中 i（t，Xtu，v（t），m（t）为模糊偏好函数，i=1、2、3.罚函数与相对熵密切相关，KL（QP）越大，罚函数越大.i（t，Xtu，v（t），m（t）越大，表明保险公司对于参考模型 P 越不信任，而更趋向于选用替代模型 Q.定义再保险投资策略 u（t）=（t），q（t），t0，T称为可行策略，如果（1）坌t0，T，（t），q（t）为t循序可测的；（2）EQt，x，v，m乙dT0乙q2（t）+2（t）dt乙?0，U（x）0 为风险厌恶系数.定义模糊偏好函数为i（t，x，v，m）=-iV（t，x，v，m）i=1、2、3（19）式中：i 0 为模糊厌恶系数，i（t，x，v，m）0.当 i=0 时，表示保险人不考虑模型的模糊性，即保险人是模糊风险中性的；当 i+时，表示保险人对模糊风险极度厌恶（对应最坏情形），将完全不考虑参考模型而选用替代模型，此时式（15）对应的罚函数将消失.定理 2对于鲁棒最优控制问题（16），最优比例再保险和最优投资策略分别为q*（t）=（e-t1+v）2-2Gv（+1）2er(T-t)（+1）0*（t）=a+m-r+bGmb2er(T-t)（+2）?（20）相应的值函数为V（t，x，v，m）=-1exp-xer(T-t)+G（t，v，m）（21）最优控制策略为1*（t）=2姨1Gv+qer(T-tt?)2*（t）=b2er(T-t)3*（t）=-3Gm?（22）式中：G、Gv、Gm由式（31）、式（32）、式（36）式（40）给出.证明设值函数的形式为H（t，x，v，m）=-1exp-xer(T-t)+G（t，v，m）（23）其中 G（t，v，m）满足边界条件 G（T，v，m）=0.由式（23）可得Ht（t，x，v，m）=H（rxer(T-t)+Gt）Hx（t，x，v，m）=-Her(T-t)Hv（t，x，v，m）=HGvHm（t，x，v，m）=HGmHxx（t，x，v，m）=2He2r(T-t)Hvv（t，x，v，m）=H（Gv2+Gvv）Hmm（t，x，v，m）=H（Gm2+Gmm）Hxv（t，x，v，m）=-HGver(T-t)Hxm（t，x，v，m）=-HGmer(T-t?)（24）对某个固定策略 u（t）=（q（t），（t），将式（18）展开得supuinf乙?Ht（t，x，v，m）+rx+（a+m-r-b2）+（e-t1+v）（1-2+q2）-q22姨 Hx（t，x，v，m）+12（q22+2b2）Hxx（t，x，v，m）+（e-t1+2姨1）Hv（t，x，v，m）+1222Hvv（t，x，v，m）+（m-3）Hm（t，x，v，m）+122Hmm（t，x，v，m）-q2Hxv（t，x，v，m）+bHxm（t，x，v，m）-1221H（t，x，v，m）-2222H（t，x，v，m）-3223H（t，x，v，m）乙乙=0（25）根据一阶最优条件可得 i（t）的最小值为赞1（t）=2姨1（Hv-qHx）H赞2（t）=-b2HxH赞3（t）=-3HmH?（26）将式（23）和式（24）代入式（26），可得4第 43 卷第 3 期（35.1）（35.2）（35.3）（35.4）（35.5）1*（t）=2姨1Gv+qer(T-tt?)2*（t）=b2er(T-t)3*（t）=-3Gm?（27）将式（23）、式（24）和式（27）代入式（25），再除以 H（t，x，v，m），由于 H（t，x，v，m）0，最优策略 u*（t）=（q*（t），*（t）由取上确界变为取下确界，因此有Gt-（e-t1+v）（1-2）er(T-t)+e-t1Gv+1222（Gv2+Gvv）+mGm+122（Gm2+Gmm）+122Gv22+32Gm22+infq乙?122e2r(T-t)（+1）q2+（e-t1+v）2（-er(T-t)）+2Gver(T-t)+12Gver(T-t)q乙乙+inf乙?12b2e2r(T-t)（+2）2+（-er(T-t)）（a+m-r+bGm）乙乙=0（28）根据一阶最优条件，可得 q（t）和 （t）的最小值为q赞（t）=（e-t1+v）2-2Gv（+1）2er(T-t)（+1）*（t）=赞（t）=a+m-r+bGmb2er(T-t)（+2）?（29）若q赞（t）0，则 q*（t）=q赞（t）；若q赞（t）0，则由一阶最优条件知q赞（t）的最小值在q赞（t）=0 处取得，此时 q*（t）=0.将式（29）代入式（28），化简得Gt-（e-t1+v）（1-2）er(T-t)+e-t1Gv+1222（Gv2+Gvv）+mGm+122（Gm2+Gmm）+122Gv22+32Gm22+-2（e-t1+v）+2Gv（+1）222（+1）-（a+m-r+bGm）22b2（+2）=0（30）为求解方程（30），令G（t，v，m）=f1（t，v）+f2（t，m）=A1（t）v2+B1（t）v+A2（t）m2+B2（t）m+C（t）（31）对式（31）求偏导数得Gt（t，v，m）=A1（t）v2+B1（t）v+A2（t）m2+?B2（t）m+C（t）Gv（t，v，m）=2A1（t）v+B1（t）Gm（t，v，m）=2A2（t）m+B2（t）Gvv（t，v，m）=2A1（t）Gmm（t，v，m）=2A2（t?）（32）由边界条件 G（T，v，m）=0 可得 A1（T）=A2（T）=B1（T）=B2（T）=C（T）=0.将式（32）代入式（30），并整理为关于 v 和 m 的多项式，得乙乙A1（t）+A12（t）222乙t1+1乙乙-22（+1）A1（t）-2222（+1）乙乙v2+乙乙B1（t）-（1-2）er(T-t)+2A1（t）乙te-t1+2B1（t）+112B1（t）乙乙+22（+1）A1（t）-22e-t1-2（+1）B1（t）2（+1）乙乙v+乙乙A2（t）+2A2（t）+22A22（t）乙t1+3乙乙-（1+2bA2（t）22b2（+2）乙乙m2+乙乙B2（t）+B2（t）+22A2（t）B2（t）乙t1+3乙乙-（a-r+bB2（t）（1+2bA2（t）b2（+2）乙乙m+M（t）=0（33）式中M（t）=C（t）-e-t1（1-2）er(T-t)-B1（t）+1222乙乙B12（t）+2A1（t）+1B12（t）乙乙+122乙乙B22（t）+2A2（t）+3B22（t）乙乙-（2e-t1-2（+1）B1（t）222（+1）-（a-r+bB2（t）22b2（+2）（34）因为方程对所有 v 和 m 都成立，所以 v2、v、m2、m 的系数以及常数项均为 0，化简得到以下 5 个常微分方程A1（t）+A1（t）22-2222（+1）=0B1（t）+B1（t）2+21e-tA1（t）（1+2）-?（1-2）er(T-t)-22e-t12（+1）=0A2（t）+A22（t）22乙t1+3-2+2乙乙+A2（t）乙t2-2b（+2）乙乙-2b2（+2）=0B2（t）+B2（t）乙乙+22A2（t）乙t1+3乙乙-?（1+2bA2（t）b（+2）乙乙-（a-r）（1+2bA2（t）b2（+2）=0M（t）=?0王婕，等：Ornstein-Uhlenbeck 投资模型下相关索赔的鲁棒最优再保险投资策略5天 津 师 范 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 5 月0.440.420.400.380.360.340.320.42.00.61.01.4q*（t）图 2q*（t）随 的变化情况Fig.2Change of q*（t）with 0.81.21.81.6边界条件为 A1（T）=A2（T）=B1（T）=B2（T）=C（T）=0.方程（35.1）、（35.2）和（35.4）均为一阶非齐次线性常微分方程，其解分别为A1（t）=2（1-e-22(T-t)）42（+1）（36）B1（t）=exp乙?Tt乙-p1（s）ds乙乙乙?Tt乙h1（s）exp乙?Tt乙p1（u）du乙乙ds乙乙（37）B2（t）=exp乙乙Tt乙-p2（s）ds乙乙乙?Tt乙h2（s）exp乙?Tt乙p2（u）du乙乙ds乙乙（38）式中：p1（t）=2h1（t）=-21e-tA1（t）（1+2）+（1-2）er(T-t)+22e-t12（+1）p2（t）=+22A2（t）乙?1+3乙乙-（1+2bA2（t）b（+2）h2（t）=（a-r）（1+2bA2（t）b2（+2）方程（35.3）为一个典型的 Riccati 方程，记为A2（t）+DA22（t）+EA2（t）+F=0式中：D=22乙?1+3-乙2+2乙，E=2-2b（+2），F=2b2（+2）.显然 E2-4DF0，则方程（35.3）的解为A2（t）=E2-4DF姨2Dtanh乙乙12E2-4DF姨（t-T）+arctanh乙?EE2-4DF姨乙乙乙乙-E2D（39）方程（35.5）为一阶齐次线性常微分方程，其解为：C（t）=Tt乙乙乙e-t1（1-2）er(T-t)-B1（s）-1222B12（T）+2A1（s）+1B12（s）乙乙ds+Tt乙乙乙-122乙乙B22（s）+2A2（s）+3B22（s）乙乙+（2e-t1-2（+1）B1（s）222（+1）乙乙ds+Tt乙（a-r+bB2（s）22b2（+2）ds（40）定理 3（验证定理）式（20）和式（22）给出的再保险投资策略 u*（t）=（q*（t），*（t）和控制策略*（t）=（1*（t），2*（t），3*（t）为最优策略，式（21）给出的值函数 H（t，x，v，m）为由式（16）定义的最优值函数 V（t，x，v，m）.4数值算例考察模型参数对鲁棒最优再保险投资策略的影响，取参数如下：r=0.06，=0.05，v=0.4，1=0.2，2=0.5，T=2，1=0.6，2=0.6，3=0.6，=0.3，=1，1=1，2=1，a=0.014，b=0.079，m=1，=-0.044，=0.005，=-0.96.图 1 给出了当风险厌恶系数 =0.30、0.45、0.60时，自留额水平 q*（t）的变化情况.由图 1 可见，q*（t）随 的增大而减小.风险厌恶系数越大，保险公司选择出让给再保险公司的风险比例则越高，自留额水平则越小.图 2 给出了自留额水平 q*（t）随外推强度 的变化情况.由图 2 可见，q*（t）随 的增大而增大.越大，加权平均值 v（t）则越大.加权平均值与财富过程的风险呈负相关，随着 的增大，v（t）可以抵消更多财富过程的风险，从而保险公司对于再保险的需求随着 的增大而减小，因此 q*（t）是关于 的增函数.0.560.540.520.500.480.460.440.420.400.38110357q*（t）t图 1当 =0.30、0.45、0.60 时，q*（t）的变化情况Fig.1Change of q*（t）when =0.30，0.45，0.6024698=0.30=0.45=0.606第 43 卷第 3 期图 3 给出了当风险厌恶系数 =0.30、0.45、0.60时，股票投资额*（t）的变化情况.由图 3 可见，*（t）随 的增大而减小.风险厌恶系数越大，保险公司在股票上的投资则越少.图 4 给出了当模糊厌恶系数 1=0.3、0.6、0.9 时，股票投资额*（t）的变化情况.由图 4 可见，*（t）随 1的增大而减小.模糊厌恶程度越高，保险公司对参考模型的信任程度则越低，越会担心模型的不确定性给投资带来损失，故而会减少在股票上的投资.参考文献：1BROWNE S.Optimal investment policies for a firm with a random riskprocess：Exponential utility and minimizing the probability of ruinJ.Mathematics of Operations Research，1995，20（4）：937-958.2YANG H L，ZHANG L H.Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk processJ.Insurance：Mathematics and Economics，2005，37（3）：615-634.3LUO S Z，TAKSAR M，TSOI A.On reinsurance 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