2020-2021杭州中考数学二次函数的综合题试题.doc

2020-2021杭州中考数学二次函数的综合题试题一、二次函数1如图，抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OAOB），与y轴交于点C，且满足x12+x22x1x213（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作RtBCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若ECED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得SACQ2SAOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）E点坐标为（，）；（3）点Q的坐标为（3，12）或（2，3）理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2m，x1x2（m+1），代入x12+x22x1x213，求出m12，m25根据OAOB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BECDCE利用SSS证明OBEOCE，得出BOECOE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，m），代入yx22x3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得SACQSACF由SACQ2SAOC，得出SACF2SAOC，那么AF2OA2，F（1，0）利用待定系数法求出直线AC的解析式为y3x3根据ACFQ，可设直线FQ的解析式为y3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组，求解即可得出点Q的坐标【详解】（1）抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），x1+x2m，x1x2（m+1），x12+x22x1x213，（x1+x2）23x1x213，m2+3（m+1）13，即m2+3m100，解得m12，m25OAOB，抛物线的对称轴在y轴右侧，m2，抛物线的解析式为yx22x3；（2）连接BE、OE在RtBCD中，CBD90，ECED，BECDCE令yx22x30，解得x11，x23，A（1，0），B（3，0），C（0，3），OBOC，又BECE，OEOE，OBEOCE（SSS），BOECOE，点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，m），将E（m，m）代入yx22x3，得mm22m3，解得m，点E在第四象限，E点坐标为（，）；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则SACQSACFSACQ2SAOC，SACF2SAOC，AF2OA2，F（1，0）A（1，0），C（0，3），直线AC的解析式为y3x3ACFQ，设直线FQ的解析式为y3x+b，将F（1，0）代入，得03+b，解得b3，直线FQ的解析式为y3x+3联立，解得，点Q的坐标为（3，12）或（2，3）【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键2如图，抛物线yx22x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N，可得矩形PQNM如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)若FG2DQ，求点F的坐标【答案】(1)A(3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长2m28m+2；(3) m2；S；(4)F(4，5)或(1，0)【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQDC，再建立方程（n+3）（n22n+3）4即可【详解】(1)由抛物线yx22x+3可知，C(0，3)令y0，则0x22x+3，解得，x3或xl，A(3，0)，B(1，0)(2)由抛物线yx22x+3可知，对称轴为x1M(m，0)，PMm22m+3，MN(m1)22m2，矩形PMNQ的周长2(PM+MN)(m22m+32m2)22m28m+2(3)2m28m+22(m+2)2+10，矩形的周长最大时，m2A(3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式ykx+b，解得kl，b3，解析式yx+3，令x2，则y1，E(2，1)，EM1，AM1，SAMEM(4)M(2，0)，抛物线的对称轴为xl，N应与原点重合，Q点与C点重合，DQDC，把x1代入yx22x+3，解得y4，D(1，4)，DQDCFG2DQ，FG4设F(n，n22n+3)，则G(n，n+3)，点G在点F的上方且FG4，(n+3)(n22n+3)4解得n4或n1，F(4，5)或(1，0)【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）（）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q也在抛物线上，求点Q的坐标；（）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标【答案】（1）y=x2+4x+5，A（1，0），B（5，0）；（2）Q（，4）；（3）M（1，8），N（2，13）或M（3，8），N（2，3）【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q（m，m24m5），再将Q坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（）设二次函数的解析式为y=a（x2）2+9，把C（0，5）代入得到a=1，y=（x2）2+9，即y=x2+4x+5，令y=0，得到：x24x5=0，解得x=1或5，A（1，0），B（5，0）（）设点Q（m，m2+4m+5），则Q（m，m24m5）把点Q坐标代入y=x2+4x+5，得到：m24m5=m24m+5，m=或（舍弃），Q（，）（）如图，作MK对称轴x=2于K当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形此时点M的横坐标为1，y=8，M（1，8），N（2，13），当MK=OA=1，KN=OC=5时，四边形ACMN是平行四边形，此时M的横坐标为3，可得M（3，8），N（2，3）【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.4如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，.【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DGx轴，交AE于点F，表示ADE的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可详解：（1）二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函数的解析式为：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图， 设D（m，），则点F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，当m=时，ADE的面积取得最大值为 （3）y=的对称轴为x=1，设P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（1，1）； 当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（1，）； 当PE=AE时，=，解得：n=2，此时点P坐标为：（1，2） 综上所述：P点的坐标为：（1，1），（1，），（1，2）点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键5已知点A（1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FHAE；(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】解：（1）将点A（1，2）、B（3，6）代入中， ，解得： ，抛物线的解析式为y=x2x （2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（1，2）代入y=kx+m中，即k+m=2，k=m2，直线AF的解析式为y=（m2）x+m联立直线AF和抛物线解析式成方程组， ，解得： 或 ，点G的坐标为（m，m2m）GHx轴，点H的坐标为（m，0）抛物线的解析式为y=x2x=x（x1），点E的坐标为（1，0）过点A作AAx轴，垂足为点A，如图1所示点A（1，2），A（1，0），AE=2，AA=2 =1， = =1，= ，AAE=FOH，AAEFOH，AEA=FHO，FHAE （3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得 ，解得： ，直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t3，t），点Q的坐标为（t，0）当点M在线段PQ上时，过点P作PPx轴于点P，过点M作MMx轴于点M，则PQPMQM，如图2所示，QM=2PM， =，QM=QP=2，MM=PP=t，点M的坐标为（t2， t）又点M在抛物线y=x2x上， t=（t2）2（t2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t6，2t），点M在抛物线y=x2x上，2t=（t6）2（t6），解得：t=综上所述：当运动时间秒 或 时，QM=2PM 【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.6已知抛物线上有两点M(m+1，a)、N(m，b).(1)当a1，m1时，求抛物线的解析式；(2)用含a、m的代数式表示b和c；(3)当a0时，抛物线满足，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）b=-am，c=-am；（3）【解析】【分析】（1）根据题意得到M(2，1)、N(1，b)，代入抛物线解析式即可求出b、c；（2）将点M(m+1，a)、N(m，b)代入抛物线，可得，化简即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根据m的取值范围可得a的取值范围.【详解】解：(1)a1，m1，M(2，1)、N(1，b)由题意，得，解，得 (2) 点M(m+1，a)、N(m，b)在抛物线上得， 把代入，得 (3)把，代入得，把，代入得， ，当时，随m的增大而增大 即【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出，是解题关键.7在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22x+a3，当a0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线ya上方的部分沿直线ya翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】（1）A（0，3），B（4，3）；（2）3a0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，ya要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，3），B（4，3）；（2）当函数经过点A时，a0，图形M与线段AB恰有两个公共点，ya要在AB线段的上方，a33a0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键8在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=1（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2x+1（2）点P的坐标为（，1）（3）定点F的坐标为（2，1）【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标详解：（1）抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2该抛物线经过点（4，1），1=4a，解得：a=，抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：，解得：，点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）点B（4，1），直线l为y=-1，点B的坐标为（4，-3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将A（1，）、B（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，直线AB的解析式为y=-x+，当y=-1时，有-x+=-1，解得：x=，点P的坐标为（，-1）（3）点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1M（m，n）为抛物线上一动点，n=m2-m+1，m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0m为任意值，定点F的坐标为（2，1）点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组9如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系yat25tc，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=2.82+52.8+=2.252.44，于是得到他能将球直接射入球门解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），解得：，抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=2.82+52.8+=2.252.44，他能将球直接射入球门考点：二次函数的应用10如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标【答案】（1）y=x2+2x+3（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由见解析；（3）y=x+3；P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CEPE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）过点P作PFy轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论【详解】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c，得，解得：，抛物线的表达式为y=x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，抛物线的表达式为y=x2+2x+3，点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，点P的横坐标t=120=2，又t2，不存在；（3）在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F设直线BC的解析式为y=mx+n（m0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得，解得：，直线BC的解析式为y=x+3，点P的坐标为（t，t2+2t+3），点F的坐标为（t，t+3），PF=t2+2t+3（t+3）=t2+3t，S=PFOB=t2+t=（t）2+；0，当t=时，S取最大值，最大值为点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），线段BC=，P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t2两种情况考虑；（3）利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值11如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点（1）点的坐标是 _；（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为过点作直线与线段、分别交于点，使得与相似当时，求的长；若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围 _【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C（2，），A（-，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；当n=时，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，当PQAB时，DPQDAB，DP=9；当PQ与AB不平行时，DP=9；当PQAB，DB=DP时，DB=3，DN=，所以N（2，），则有且只有一个DPQ与DAB相似时，n.【详解】（1）顶点为；故答案为；（2）对称轴，由已知可求，点关于对称点为，则关于对称的直线为，当时，当时，；当与不平行时，；综上所述；当，时，有且只有一个与相似时，；故答案为；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键12抛物线与x轴交于A，B两点（OAOB），与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0t2）过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；在满足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，E（0，1），P（2，0）；F（3，2），（3，7）【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）由题意得：OP=2t，OE=t，通过CDECBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当EFP为直角三角形时，当EPF=90时，当EFP=90时，当PEF=90时，根据勾股定理列方程即可求得结果试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，OAOB，A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，C（0，2）；（2）由题意得：OP=2t，OE=t，DEOB，CDECBO，即，DE=42t，=，0t2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，E（0，1），P（2，0）；存在，抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），=，=，当EFP为直角三角形时，当EPF=90时，即，解得：m=2，当EFP=90时，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，当EFP=90时，这种情况不存在，当PEF=90时，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）考点：1二次函数综合题；2动点型；3最值问题；4二次函数的最值；5分类讨论；6压轴题13如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点【答案】（1）抛物线解析式为y=x21；（2）ABM为直角三角形理由见解析；（3）当m时，平移后的抛物线总有不动点【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OAOM1，ACBC3，分别得到MAC45，BAC45，得到BAM90，进而得到ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，方程总有实数根，则0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）点A是直线与轴的交点，A点为（-1，0）点B在直线上，且横坐标为2，B点为（2，3）过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：，解得：抛物线的解析式为（2）ABM是直角三角形，且BAM90理由如下：作BC轴于点C，A（-1，0）、B（2，3）ACBC3，BAC45；点M是抛物线的顶点，M点为（0，-1）OAOM1，AOM90MAC45；BAMBACMAC90ABM是直角三角形（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，化简得：当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）14已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（4，）两点（1）求b，c的值（2）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况【答案】（1）；（2）公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标【详解】（1）把A（0，3），B（4，）分别代入y=x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=x2+x+3，=（）24（）3=0，所以二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴有公共点，x2+x+3=0的解为：x1=2，x2=8，公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系15如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得PCBBOA（O为坐标原点）若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足MPO=POA的点M的坐标【答案】（1）点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=x2+3x+4；（2）当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5（3）满足MPO=POA的点M的坐标为（0，4）或（，）【解析】【分析】（1）代入y=c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由PCBBOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作MEy轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=（m3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：当点M在线段OP上方时，由CPx轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，MPO=POA，由此可找出点M的坐标；当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时DPO=POA，设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标综上此题得解【详解】（1）当y=c时，有c=x2+bx+c，解得：x1=0，x2=b，点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c），直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），OB=3，OA=1，BC=c3，CP=b，PCBBOA，BC=OA，CP=OB，b=3，c=4，点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=x2+3x+4；（2）当y=0时，有x2+3x+4=0，解得：x1=1，x2=4，点F的坐标为（4，0），过点M作MEy轴，交直线AB于点E，如图1所示，点M的横坐标为m（0m4），点M的坐标为（m，m2+3m+4），点E的坐标为（m，3m+3），ME=m2+3m+4（3m+3）=m2+6m+1，S=OAME=m2+3m+=（m3）2+5，0，0m4，当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5；（3）当点M在线段OP上方时，CPx轴，当点C、M重合时，MPO=POA，点M的坐标为（0，4）；当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时DPO=POA，设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，n2=（n3）2