备战中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题附详细答案.doc

备战中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题附详细答案一、平行四边形1（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=3，AD=6，问ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：SABC=BCAD=ABCE从而得2AD=CE， 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC（2）（探究延伸）如图3，已知直线mn，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且APB=90，两平行线m、n间的距离为4求证：PAPB=2AB（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，EDAD，CECB，垂足分别为D，C，DAB=B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN求DEM与CEN的周长之和【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5+【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出ABF和BCE的面积相等，过点B作OGAF于G，OHCE于H，从而得出AF=CE，然后证明BOG和BOH全等，从而得出BOG=BOH，即角平分线；(2)、过点P作PGn于G，交m于F，根据平行线的性质得出CPF和DPG全等，延长BP交AC于E，证明CPE和DPB全等，根据等积法得出AB=APPB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AFBC于F，设CF=x，根据RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2， 四边形ABCD是平行四边形，SABF=SABCD，SBCE=SABCD， SABF=SBCE，过点B作OGAF于G，OHCE于H， SABF=AFBG，SBCE=CEBH，AFBG=CEBH，即：AFBG=CEBH， AF=CE， BG=BH，在RtBOG和RtBOH中， RtBOGRtBOH， BOG=BOH，OB平分AOC，（2）如图3，过点P作PGn于G，交m于F， mn， PFAC，CFP=BGP=90， 点P是CD中点，在CPF和DPG中， CPFDPG， PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E， mn， ECP=BDP， CP=DP，在CPE和DPB中， CPEDPB， PE=PB，APB=90， AE=AB， SAPE=SAPB， SAPE=AEPF=AE=AB，SAPB=APPB，AB=APPB， 即：PAPB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G， BAD=B， AG=BG，过点A作AFBC于F，设CF=x（x0）， BF=BC+CF=x+2， 在RtABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2BF2=34（x+2）2， 在RtACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2CF2=26x2，34（x+2）2=26x2， x=1（舍）或x=1， AF=5，连接EG， SABG=BGAF=SAEG+SBEG=AGDE+BGCE=BG（DE+CE），DE+CE=AF=5， 在RtADE中，点M是AE的中点， AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN， AB=AE+BE， 2DM+2CN=AB， DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB DEM与CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+（DM+CN）+（EM+EN）=（DE+CN）+AB=5+点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系2如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明EFMBPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值试题解析：（1）解：如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，在ABP和QBP中，ABPQBP（AAS），AP=QP，AB=BQ，又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BH=BH，在BCH和BQH中，BCHBQH（SAS），CH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8PDH的周长是定值（3）解：如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A=EMF=90，在EFM和BPA中，EFMBPA（AAS） EM=AP设AP=x在RtAPE中，（4-BE）2+x2=BE2解得BE=2+，CF=BE-EM=2+-x，BE+CF=-x+4=（x-2）2+3当x=2时，BE+CF取最小值，AP=2考点：几何变换综合题3操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，若BAP=30，求AFE的度数；若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时AFD的度数归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论【答案】（1）45；BC的中点，45；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出1+2的度数，即为FAG度数，即可求出F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，根据FAE为BAE一半求出所求角度数即可试题解析：（1）当点P在线段BC上时，EAP=BAP=30，DAE=90302=30，在ADE中，AD=AE，DAE=30，ADE=AED=（18030）2=75，在AFD中，FAD=30+30=60，ADF=75，AFE=1806075=45；点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EGAD，得EGBC，EGAD，DE=EF，EG=AD=1，AB=AE，点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段BE，OB=OE，GEBP，OBP=OEG，OPB=OGE，BOPEOG，BP=EG=1，即P为BC的中点，DAF=90BAF，ADF=45+BAF，AFD=180DAFADF=45；（2）AFD的度数不会发生变化，作AGDF于点G，如图1（a）所示，在ADE中，AD=AE，AGDE，AG平分DAE，即2=DAG，且1=BAP，1+2=90=45，即FAG=45，则AFD=9045=45；（3）如图2所示，AFE的大小不会发生变化，AFE=45，作AGDE于G，得DAG=EAG，设DAG=EAG=，BAE=90+2，FAE=BAE=45+，FAG=FAEEAG=45，在RtAFG中，AFE=9045=45考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.4如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.详解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 5如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BFAE，垂足为G交AD于F（1）求证：AFDE；（2）连接DG，若DG平分EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CGCD【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CGCD，见解析【解析】【分析】（1）证明BAFADE（ASA）即可解决问题（2）过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N想办法证明AFDF，即可解决问题（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BCCP即可【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，ABAD，BADD90o，2+390又BFAE，AGB901+290，13在BAF与ADE中，1=3 BA=AD BAF=D，BAFADE（ASA）AFDE（2）证明：过点D作DMGF，DNGE，垂足分别为点M，N由（1）得13，BGAAND90，ABADBAGADN（AAS）AGDN， 又DG平分EGF，DMGF，DNGE，DMDN，DMAG，又AFGDFM，AGFDMFAFGDFM（AAS），AFDFDEADCD，即点E是CD的中点（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DECD，ADEECP90，DEACEP，ADEPCE（ASA）AEPE，又CEAB，BCPC，在RtBGP中，BCPC，CGBPBC，CGCD【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题6(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EFBD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分ABD 求证：四边形BFDE是菱形；直接写出EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）详见解析；60（2）IHFH；（3）EG2AG2+CE2【解析】【分析】（1）由DOEBOF，推出EOOF，OBOD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EBED即可先证明ABD2ADB，推出ADB30，延长即可解决问题（2）IHFH只要证明IJF是等边三角形即可（3）结论：EG2AG2+CE2如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，先证明DEGDEM，再证明ECM是直角三角形即可解决问题【详解】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，OBOD，EDOFBO，在DOE和BOF中， ，DOEBOF，EOOF，OBOD，四边形EBFD是平行四边形，EFBD，OBOD，EBED，四边形EBFD是菱形BE平分ABD，ABEEBD，EBED，EBDEDB，ABD2ADB，ABD+ADB90，ADB30，ABD60，ABEEBOOBF30，EBF60（2）结论：IHFH理由：如图2中，延长BE到M，使得EMEJ，连接MJ四边形EBFD是菱形，B60，EBBFED，DEBF，JDHFGH，在DHJ和GHF中， ，DHJGHF，DJFG，JHHF，EJBGEMBI，BEIMBF，MEJB60，MEJ是等边三角形，MJEMNI，MB60在BIF和MJI中，BIFMJI，IJIF，BFIMIJ，HJHF，IHJF，BFI+BIF120，MIJ+BIF120，JIF60，JIF是等边三角形，在RtIHF中，IHF90，IFH60，FIH30，IHFH（3）结论：EG2AG2+CE2理由：如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，FAD+DEF90，AFED四点共圆，EDFDAE45，ADC90，ADF+EDC45，ADFCDM，CDM+CDE45EDG，在DEM和DEG中， ，DEGDEM，GEEM，DCMDAGACD45，AGCM，ECM90EC2+CM2EM2，EGEM，AGCM，GE2AG2+CE2【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.7图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且MON=90；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：考点：1.作图应用与设计作图；2.勾股定理.8如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC=【解析】【分析】（1）在RtABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到BCE=EBC=60.由AEFBEC，得AFE=BCE=60.又D=60，得AFE=D=60度.所以FCBD，又因为BAD=ABC=60，所以ADBC，即FD/BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RtABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABC=60，在等边ABD中，BAD=60，BAD=ABC=60，E为AB的中点，AE=BE，又AEF=BEC，AEFBEC，在ABC中，ACB=90，E为AB的中点，CE=AB，BE=AB，CE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60，又AEFBEC，AFE=BCE=60，又D=60，AFE=D=60，FCBD，又BAD=ABC=60，ADBC，即FDBC，四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在RtABC中，BAC=30，AB=6，BC=AF=3，AC=，S平行四边形BCFD=3=，SACF=3=，S平行四边形ADBC=【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.9如图，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上（1）证明：BE=CF（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值（3）在（2）的情况下，请探究CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值【答案】(1)见解析；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得4=60，AC=AB进而求证ABEACF，即可求得BE=CF；（2）根据ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据SCEF=S四边形AECF-SAEF，则CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，1+2=60，3+2=60，1=3，BAD=120，ABC=ADC=60四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，ABC、ACD为等边三角形4=60，AC=AB，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA）BE=CF（2）解：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF故S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值作AHBC于H点，则BH=2，S四边形AECF=SABC=；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大由（2）得，SCEF=S四边形AECFSAEF=点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证ABEACF是解题的关键10如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，如图2，连接AG，DE，求证：AG=DE，AGDE；（3）在（2）的条件下，正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为（0180），若AON是等腰三角形，请直接写出的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的值是22.5或45或112.5或135或157.5【解析】【分析】（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=GE，根据三角形的中位线的性质得到CDGE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到结论；（2）如图2，延长ED交AG于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，AOD=COD=90，由四边形OEFG是正方形，得到OG=OE，EOG=90，由旋转的性质得到GOD=EOC，求得AOG=COE，根据全等三角形的性质得到AG=DE，AGO=DEO，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】（1）证明：四边形OEFG是正方形，ME=GE，OG=2OD、OE=2OC，CDGE，CD=GE，CD=GE，四边形CDME是平行四边形；（2）证明：如图2，延长ED交AG于H，四边形ABCD是正方形，AO=OD，AOD=COD=90，四边形OEFG是正方形，OG=OE，EOG=90，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，GOD=EOC，AOG=COE，在AGO与ODE中，AGOODEAG=DE，AGO=DEO，1=2，GHD=GOE=90，AGDE；（3）正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO-ADO=22.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90-45=45；正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO+90=112.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90+45=135，、当AN=AO时，旋转角a=ANO+90=67.5+90=157.5，综上所述：若AON是等腰三角形时，的值是22.5或45或112.5或135或157.5【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当AON是等腰三角形时，求的度数是本题的难点11问题情境在四边形ABCD中，BABC，DCAC，过点D作DEAB交BC的延长线于点E，M是边AD的中点，连接MB，ME. 特例探究(1)如图1，当ABC90时，写出线段MB与ME的数量关系，位置关系； (2)如图2，当ABC120时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸(3)如图3，当ABC时，请直接用含的式子表示线段MB与ME之间的数量关系【答案】(1)MBME，MBME；(2)MEMB证明见解析；(3)MEMBtan.【解析】【分析】（1）如图1中，连接CM只要证明MBE是等腰直角三角形即可；（2）结论：EM=MB只要证明EBM是直角三角形，且MEB=30即可；（3）结论：EM=BMtan证明方法类似；【详解】(1) 如图1中，连接CMACD=90，AM=MD，MC=MA=MD，BA=BC，BM垂直平分AC，ABC=90，BA=BC，MBE=ABC=45，ACB=DCE=45，ABDE，ABE+DEC=180，DEC=90，DCE=CDE=45，EC=ED，MC=MD，EM垂直平分线段CD，EM平分DEC，MEC=45，BME是等腰直角三角形，BM=ME，BMEM故答案为BM=ME，BMEM(2)MEMB证明如下：连接CM，如解图所示DCAC，M是边AD的中点，MCMAMDBABC，BM垂直平分ACABC120，BABC，MBEABC60，BACBCA30，DCE60.ABDE，ABEDEC180，DEC60，DCEDEC60，CDE是等边三角形，ECEDMCMD，EM垂直平分CD，EM平分DEC，MECDEC30，MBEMEB90，即BME90.在RtBME中，MEB30，MEMB(3) 如图3中，结论：EM=BMtan理由：同法可证：BMEM，BM平分ABC，所以EM=BMtan【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题12如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FGCD，交AE于点G，连接DG（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值【答案】（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，1=2，由FGCD，可得1=3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；（2）在RtEFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，1=2，FGCD，2=3，FG=FE，DG=GF=EF=DE，四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8x，在RtEFC中，即，解得：x=5，CE=8x=3，=考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3菱形的判定与性质；4矩形的性质；5综合题13如图1，若分别以ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形（1）发现：如图2，当C=90时，求证：ABC与DCF的面积相等（2）引申：如果C90时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形已知ABC中，AC=3，BC=4当C=_时，图中阴影部分的面积和有最大值是_【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，ACB=DCF=90，BC=FC，所以ABCDFC，从而ABC与DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点Q得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP=DCQ所以APCDQC于是AP=DQ又因为SABC=BCAP，SDFC=FCDQ，所以SABC=SDFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即C是90度时，阴影部分的面积和最大所以S阴影部分面积和=3SABC=334=18（1）证明：在ABC与DFC中，ABCDFCABC与DFC的面积相等；（2）解：成立理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点QAPC=DQC=90四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP+PCD=90，DCQ+PCD=90，ACP=DCQ，APCDQC（AAS），AP=DQ又SABC=BCAP，SDFC=FCDQ，SABC=SDFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即C是90度时，阴影部分的面积和最大S阴影部分面积和=3SABC=334=18考点：四边形综合题14如图，在菱形ABCD中，AB=6，ABC=60，AHBC于点H动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动过点E作EFAB，垂足为点F点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，EFG和AHC的重合部分面积为S（1）CE= （含t的代数式表示）（2）求点G落在线段AC上时t的值（3）当S0时，求S与t之间的函数关系式（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在EFG内部时t的取值范围【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当t2时，S=t2+t-3；当2t3时，S=-t2+t-；（4）t【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出ABC是等边三角形，得出ACB=60，由等边三角形的性质和三角函数得出GEF=60，GE=EF=BEsin60=t，证出GEC=90，由三角函数求出CE=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：当t2时，S=EFG的面积-NFN的面积，即可得出结果；当2t3时，由的结果容易得出结论；（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在EFG内部时，t的不等式，解不等式即可试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，四边形ABCD是菱形，BC=AB=6，CE=BC-BE=6-2t；（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：四边形ABCD是菱形，AB=BC，