中考数学平行四边形-经典压轴题含详细答案.doc

中考数学平行四边形-经典压轴题含详细答案一、平行四边形1在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2ba时，如图1，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a， b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图联想拓展小明通过探究后发现：当ba时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的2如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）DEF为直角三角形，分EDF=90和DEF=90两种情况讨论.【详解】解：（1）证明：在RtABC中，C=90A=30，AB=AC=60=30cm，CD=4t，AE=2t，又在RtCDF中，C=30，DF=CD=2t，DF=AE；（2）能，DFAB，DF=AE，四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即604t=2t，解得：t=10，当t=10时，AEFD是菱形；（3）若DEF为直角三角形，有两种情况：如图1，EDF=90，DEBC，则AD=2AE，即604t=22t，解得：t=，如图2，DEF=90，DEAC，则AE=2AD，即，解得：t=12，综上所述，当t=或12时，DEF为直角三角形.3(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EFBD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分ABD 求证：四边形BFDE是菱形；直接写出EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）详见解析；60（2）IHFH；（3）EG2AG2+CE2【解析】【分析】（1）由DOEBOF，推出EOOF，OBOD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EBED即可先证明ABD2ADB，推出ADB30，延长即可解决问题（2）IHFH只要证明IJF是等边三角形即可（3）结论：EG2AG2+CE2如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，先证明DEGDEM，再证明ECM是直角三角形即可解决问题【详解】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，OBOD，EDOFBO，在DOE和BOF中， ，DOEBOF，EOOF，OBOD，四边形EBFD是平行四边形，EFBD，OBOD，EBED，四边形EBFD是菱形BE平分ABD，ABEEBD，EBED，EBDEDB，ABD2ADB，ABD+ADB90，ADB30，ABD60，ABEEBOOBF30，EBF60（2）结论：IHFH理由：如图2中，延长BE到M，使得EMEJ，连接MJ四边形EBFD是菱形，B60，EBBFED，DEBF，JDHFGH，在DHJ和GHF中， ，DHJGHF，DJFG，JHHF，EJBGEMBI，BEIMBF，MEJB60，MEJ是等边三角形，MJEMNI，MB60在BIF和MJI中，BIFMJI，IJIF，BFIMIJ，HJHF，IHJF，BFI+BIF120，MIJ+BIF120，JIF60，JIF是等边三角形，在RtIHF中，IHF90，IFH60，FIH30，IHFH（3）结论：EG2AG2+CE2理由：如图3中，将ADG绕点D逆时针旋转90得到DCM，FAD+DEF90，AFED四点共圆，EDFDAE45，ADC90，ADF+EDC45，ADFCDM，CDM+CDE45EDG，在DEM和DEG中， ，DEGDEM，GEEM，DCMDAGACD45，AGCM，ECM90EC2+CM2EM2，EGEM，AGCM，GE2AG2+CE2【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.4如图，四边形是知形，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图所示.（1）求图中与的函数表达式;（2）求证:;（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；（2）证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论；（3）分三种情况：若DEDG，则DGEDEG，若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，若DGEG，则GDEGED，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设ykx+b，由图象得：当x1时，y2，当x0时，y4，代入得：，得，y2x+4（0x2）；（2）BEx，BC2CE2x，四边形ABCD是矩形，CDAF90，CDEADF，ADFCDE，ADF+EDGCDE+EDG90，DEDF；（3）假设存在x的值，使得DEG是等腰三角形，若DEDG，则DGEDEG，四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，DGEGEB，DEGBEG，在DEF和BEF中，DEFBEF（AAS），DEBEx，CE2x，在RtCDE中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，x；若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，ADBC，EHCD，四边形CDHE是平行四边形，C90，四边形CDHE是矩形，EHCD1，DHCE2x，EHDG，HGDH2x，AG2x2，EHCD，DCAB，EHAF，EHGFAG，（舍），若DGEG，则GDEGED，ADBC，GDEDEC，GEDDEC，CEDF90，CDEDFE，CDEADF，2x，x，综上，x或或【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键5如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：yx+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EFx轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t0）当点F1移动到点B时，求t的值；当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与APE重叠部分的面积【答案】（1）EF15；（2）10；120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=10=10；F点移动到F的距离是t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在RtFNF中，=，EM=NG=15-FN=15-3t，在RtDMH中，t=4，S=(12+)11=；当点G运动到直线DE上时，在RtFPK中，=，PK=t-3，FK=3t-9，在RtPKG中，t=7，S=15（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式ykx+b，将点E（30，0），点D（0，40），yx+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），EF15；（2）易求B（0，5），BF10，当点F1移动到点B时，t1010；当点H运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，在RtFNF中，=，FNt，FN3t，MHFNt，EMNG15FN153t，在RtDMH中，t4，EM3，MH4，S；当点G运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，PF3，PFt3，在RtFPK中，PKt3，FK3t9，在RtPKG中，t7，S15（157）120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键6（1）（问题发现）如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）AF的长为1或+1【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论试题解析：（1）在RtABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=AB=2，点D为BC的中点，AD=BC=，四边形CDEF是正方形，AF=EF=AD=，BE=AB=2，BE=AF，故答案为BE=AF；（2）无变化；如图2，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC=，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BFEF=，由（2）知，BE=AF，AF=1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC= ， ，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，AF=+1即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为1或+17在中，于点，点为边的中点，过点作，交的延长线于点，连接如图，求证：四边形是矩形；如图，当时，取的中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形）【答案】(1) 证明见解析；（2）四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形【解析】【分析】（1）由AEFCED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明ADC=90，即可推出四边形ADCF是矩形（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形【详解】证明：，是中点，在和中，四边形是平行四边形，四边形是矩形线段、线段、线段都是的中位线，又，四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.8如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P作PEPC交直线AB于E（1） 求证：PC=PE;（2） 延长AP交直线CD于点F.如图2，若点F是CD的中点，求APE的面积；若APE的面积是，则DF的长为 （3） 如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PNCD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=，则MNQ的面积是 【答案】（1）略；（2）8，4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每个角都是90，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2）作出ADP和DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;（3）根据已经条件证出MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1) 证明：点P在对角线BD上，ADPCDP,AP=CP, DAP =DCP,PEPC，EPC=EPB+BPC=90,PEA=EBP+EPB=45+90-BPC=135-BPC,PAE=90-DAP90-DCP,DCP=BPC-PDC=BPC-45,PAE=90-(BPC-45)= 135-BPC,PEA=PAE,PC=PE;（2）如图2，过点P分别作PHAD,PGCD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M.四边形ABCD是正方形，P在对角线上，四边形HPGD是正方形，PH=PG,PMAB,设PH=PG=a,F是CD中点，AD6，则FD=3,=9,=,解得a=2,AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又PA=PE, AM=EM,AE=4,=,设HPb,由可得AE=2b,MP=6-b,=,解得b=2.4,=,当b=2.4时，DF=4；当b3.6时，DF9,即DF的长为4或9;（3）如图，E、Q关于BP对称，PNCD,12，2+3BDC=45,1+4=45,3=4,易证PEMPQM, PNQPNC,5=6, 7=8 ,EM=QM,NQ=NC,6+7=90,MNQ是直角三角形,设EM=a,NC=b列方程组,可得ab=,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.9如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示.(1)图中= ，= ，图中= .(2)当=1秒时，试判断以为直径的圆是否与边相切?请说明理由:(3)点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=、5、.【解析】【分析】（1）由题意得出AB=2BE，t=2时，BE=22=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=20即可；（2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出PQ=2，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出OM=AP=3，求出ON=MN-OM=5圆O的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，由勾股定理求出AF=6，得出AB=BF-AF=4，在RtABP中，BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；当点P在BC边上，A落在BC边上时，由折叠的性质得：AP=AP，证出APQ=AQP，得出AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；当点P在BC边上，A落在CD边上时，由折叠的性质得：AP=AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA=6，得出AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】（1）点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=22=4，AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=104=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下： 当t=1时，PE=2，AP=AE+PE=4+2=6，四边形ABCD是矩形，A=90，PQ=，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，O为PQ的中点， OM是APQ的中位线，OM=AP=3，ON=MN-OM=5，以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，四边形ABCD是矩形，A=B=BCD=D=90，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，AF=6，AB=BF-AF=4，在RtABP中，BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=；当点P在BC边上，A落在BC边上时，连接AA，如图3所示：由折叠的性质得：AP=AP，APQ=APQ，ADBC，AQP=APQ，APQ=AQP，AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理得：BP=6， 又BP=2t-4，2t-4=6，解得：t=5；当点P在BC边上，A落在CD边上时，连接AP、AP，如图4所示：由折叠的性质得：AP=AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA=6，AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t，由勾股定理得：AP2=82+（2t-4）2，AP2=22+（22-2t）2，82+（2t-4）2=22+（22-2t）2，解得：t=；综上所述，t为或5或时，折叠后顶点A的对应点A落在矩形的一边上【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.10定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O（1）求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，若ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得AOE和AOB是友好三角形；（2）AOE和DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得ABE、ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形ADCB是平行四边形，求出BC和AD推出ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ，求出ADC的面积即可求出ABC的面积试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，AE=BF，四边形ABFE是平行四边形，OE=OB，AOE和AOB是友好三角形（2）AOE和DOE是友好三角形，SAOE=SDOE，AE=ED=AD=3，AOB与AOE是友好三角形，SAOB=SAOE，AOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF=46-243=12探究：解：分为两种情况：如图1，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OB，AO=CO，四边形ADCB是平行四边形，BC=AD=2，过B作BMAC于M，AB=4，BAC=30，BM=AB=2=BC，即C和M重合，ACB=90，由勾股定理得：AC=，ABC的面积是BCAC=22=2；如图2，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OA，BO=CO，四边形ABDC是平行四边形，AC=BD=2，过C作CQAD于Q，AC=2，DAC=BAC=30，CQ=AC=1，SABC=2SADC=2SADC=2ADCQ=221=2；即ABC的面积是2或2考点：四边形综合题11如图，AB为O的直径，点E在O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是O的切线；（2）连接EF，当D=时，四边形FOBE是菱形【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出，根据圆的位置关系证得AC是O的切线.（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证为等边三角形，而得出，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：CD与O相切于点E，又，OBE=COAOE=OB，又OC=OC，OA=OE，又AB为O的直径，AC为O的切线；（2）解：四边形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BE，为等边三角形，而，故答案为30【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.12数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形ABC与EFD，将EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H我们可以证明BCQACD，从而易得BQ=AD，BQAD小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是 拓展延伸：根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由【答案】成立；分类讨论思想；正方形.【解析】试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQ=AD，BQAD；利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想，拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法，首先得出四边形MNPT是平行四边形进而得出它是菱形，再求出一个内角是90，即可得出答案试题解析：(1)、成立，理由：如图乙：由题意可得：FDE=QDC=ABC=BAC=45， 则DC=QC，AC=BC，在ADC和BQC中 ， ADCBQC（SAS）， AD=BQ，DAC=QBC，延长AD交BQ于点F， 则ADC=BDF， BFD=ACD=90， ADBQ；(2)、小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；拓展延伸：四边形MNPT是正方形，理由：取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T， MNAD，TPAD， MNTP，四边形MNPT是平行四边形， NPBQ，BQ=AD， NP=MN， 平行四边形MNPT是菱形，又ADBQ，NPBQ，MNAD， MNP=90， 四边形MNPT是正方形考点： 几何变换综合题13倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD=ADC=B=90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，点F、D、E在一条直线上EAF=90-45=45=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当BAD=120，EAF=60时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=120，则点F、D、E不共线，所以DE+DFEF，即由BE+DFEF；（2）把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），根据旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，然后利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF，由于ADE+ADC=180，知F、D、E共线，因此有EF=DE+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论试题解析：（1）当BAD=120，EAF=60时，EF=BE+DF不成立，EFBE+DF理由如下：在菱形ABCD中，BAD=120，EAF=60，AB=AD，1+2=60，B=ADC=60，把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，EAE=120，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B=60，2+3=60，EAF=