【备考期末】宜昌市中考数学二次函数和几何综合专题.doc

【备考期末】宜昌市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1探究：已知二次函数yax22x+3经过点A(3，0)(1)求该函数的表达式；(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC求ACP的面积S关于t的函数关系式；求ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(1，3)，N的坐标为(3，1)，若抛物线yax22x+3(a0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围2如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点（1）求点、点、点的坐标；（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究当为何值时，四边形是平行四边形；（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由3综合与探究如图，抛物线yx2x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90得到线段MD，连接CD、BD设点M运动的时间为t（t0），请解答下列问题：（1）求点A的坐标与直线l的表达式；（2）请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；求点M运动的过程中线段CD长度的最小值4某数学兴趣小组在探究函数yx22|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：（1）列表（完成下列表格）x3210123y632 236（2）描点并在图中画出函数的大致图象；（3）根据函数图象，完成以下问题：观察函数yx22|x|+3的图象，以下说法正确的有 （填写正确的序号）A对称轴是直线x1；B函数yx22|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（1，2）、（1，2）；C当1x1时，y随x的增大而增大；D当函数yx22|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；E函数y（x2）22|x2|+3的图象，可以看作是函数yx22|x|+3的图象向右平移2个单位得到结合图象探究发现，当m满足 时，方程x22|x|+3m有四个解设函数yx22|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线yn和函数yx22|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值5已知抛物线有最低点为F（1）当抛物线经过点E（-1，3）时，求抛物线的解析式；点M是直线下方抛物线上的一动点，过点M作平行于y轴的直线，与直线交于点N，求线段长度的最大值；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的交点为P，请结合图象求出点P的纵坐标的取值范围6某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：-3-2-101233-10-103其中，_（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分（3）进一步探究函数图象发现：方程有_个实数根；关于的方程有4个实数根时，的取值范围是_7综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx23x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DPx轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE（1）求直线AC的表达式；（2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，ECED？（3）在点P运动过程中，EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由8小明结合自己的学习经验，对新函数y的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x0时，y2；当x1时，y1（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为： （2）函数图象探究：根据解析式，补全如表，则m ，n 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象x4321 012n4y m21（3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质： （4）综合应用：已知函数y|x|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|x|9已知抛物线yx2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；若当mx3时，yx2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且SABM3，求M点横坐标的取值范围；（3）如图2，若点P在第一象限，且PAPO，过点P作PDx轴于点D，将抛物线yx2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点 A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由10如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+3经过A(1，0) 、B(3，0)两点，与y轴交于点C直线BC经过B、C两点（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将COB沿直线 BC平移，得到C1O1B1，请探究在平移的过程中是否存在点 O1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结AC，请探究在抛物线上是否存在一点F，使直线EFAC，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由二、中考几何压轴题11如图l，在正方形ABCD中，AB=8，点E在AC上，且，过点作于点，交于点，连接， （问题发现）（1）线段与的数量关系是_，直线与所夹锐角的度数是_；（拓展探究）（2）当绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（解决问题）（3）在（2）的条件下，当点到直线的距离为2时，请直接写出的长12如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D是AB边上的动点，DEBC于点E，连接AE，CD，点F，G，H分别是AE，CD，AC的中点（1）观察猜想：FGH的形状是 （2）探究论证：把BDE绕点B按逆时针方向旋转到如图所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）拓展延伸：把BDE绕点B在平面内自由旋转，若BC=6，BE=2，请直接写出FGH周长的取值范围 13如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点（1）观察猜想图1中，线段的数量关系是_，的大小为_；（2）探究证明把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值14如图1，已知，点D在上，连接并延长交于点F，（1）猜想：线段与的数量关系为_；（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G当的大小发生变化，其它条件不变时，若，直接写出的长 15已知：，过平面内一点分别向、画垂线，垂足分别为、（问题引入）如图，当点在射线上时，求证：（类比探究）（1）如图，当点在内部，点在射线上时，求证：（2）当点在内部，点在射线的反向延长线上时，在图中画出示意图，并直接写出线段、之间的数量关系（知识拓展）如图，、是的三条弦，都经过圆内一点，且判断与的数量关系，并证明你的结论16综合与实践特例感知两块三角板ADB与EFC全等，ADBEFC90，B45，AB6将直角边AD和EF重合摆放点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ，如图1则APQ的形状为 操作探究（1）若将EFC绕点C顺时针旋转45，点P恰好落在AD上，BE与AC交于点G，连接PF，如图2FG：GA ；PF与DC的位置关系为 ；求PQ的长；开放拓展（2）若EFC绕点C旋转一周，当ACCF时，AEC为 17（1）（操作）如图，请用尺规作图确定圆的圆心，保留作图痕迹，不要求写作法；（2）（探究）如图，若（1）中的圆的半径为2，放入平面直角坐标系中，使它与轴，轴分别切于点和，点的坐标为，过点的直线与圆有唯一公共点（与不重合）时，求点的坐标；（3）（拓展）如图3，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点运动，同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向上运动，设运动时间为（），过点，三点的圆，交第一象限角平分线于点，当为何值时，有最小值，求出此时，并探索在变化过程中的值有变化吗？为什么？18如图，已知和均为等腰三角形，ACBC，DEAE，将这两个三角形放置在一起（1）问题发现：如图，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则 ，线段BD、CE之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图，AE2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长19综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法如图1，点为正方形的边上的一个动点，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为思考探索（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2点在以点为圆心，_的长为半径的圆上；_；为_三角形，请证明你的结论拓展延伸（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上面积的最大值为_；连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为_20在中，点DE分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接观察猜想（1）如图，当时，填空：_；直线所夹锐角为_；类比探究（2）如图，当时，试判断的值及直线所夹锐角的度数，并说明理由；拓展应用（3）在（2）的条件下，若，将绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1探究：（1）；（2），的面积的最大值是，此时点的坐标为，拓展：.【分析】（1）由待定系数法易求解析式；（2）过点作于点，交于点.设点的坐标为，由可得关于t的二次函数，进而可求最大值.（3）根据抛物线与MN的位置关系可知当抛物线经过M点时，a取最大值.【详解】探究：（1）抛物线经过点，解得.抛物线的表达式为.（2）过点作于点，交于点.设直线的解析式为，将、代入，解得：，直线的解析式为.点在抛物线上，点在直线上，点的坐标为，点的坐标为， ， .，当时，当时，.的面积的最大值是，此时点的坐标为.拓展：抛物线y=ax22x+3(a0),当x=1时，y=a-2+3=a+13，故抛物线右边一定与MN有交点，当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M点或下方时，抛物线左边边一定与MN有交点，即a+53；【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a点的求值范围2C解析：（1）（2）当，四边形是平行四边形（3）存在，点的坐标为， ，【分析】（1）根据函数解析式列方程即可；（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM的长度，从而可求解;（3）设Q点的坐标为,分两种情况讨论：当时，由勾股定理可得：，当时，由勾股定理可得：，可解出的值.【详解】（1）令，则，C点的坐标为（0,2）；令，则 解得，点A为（-1,0）；点B为（4,0） （2）如图1所示：点C与点D关于轴对称，点,设直线BD的解析式为，将代入得： 解得 直线BD的解析式为： 当时，四边形是平行四边形设Q点的坐标为 ，则 解得 （不合题意，舍去）当，四边形是平行四边形（3）存在，设Q点的坐标为是以BD为直角边的直角三角形当时，由勾股定理可得： 即 解得 （不合题意，舍去）Q点的坐标为 当时，由勾股定理可得：即解得 Q点的坐标为 综上所述：点的坐标为， ，.【点睛】本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.3A解析：（1）A（3，0），yx+；（2）点D落在直线l上时，t62；CD的最小值为【分析】（1）解方程求出点A、点B的坐标，根据二次函数的性质求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线l的表达式；（2）分点M在AO上运动、点M在OB上运动两种情况，DNx轴于N，证明MCODMN，根据全等三角形的性质得到MNOC，DNOM3t，得到点D的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征求出t；根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答【详解】（1）当y0时，x2x+=0，解得x11，x23，点A在点B的左侧，A（3，0），B（1，0），当x0时，y，即C（0，），设直线l的表达式为ykx+b，将B，C两点坐标代入得，解得，则直线l的表达式为yx+；（2）如图1，当点M在AO上运动时，过点D作DNx轴于N，由题意可知，AMt，OM3t，MCMD，则DMN+CMO90，CMO+MCO90，MCODMN，在MCO与DMN中，MCODMN（AAS），MNOC，DNOM3t，D（t3+，t3）；同理，如图2，当点M在OB上运动时，点D的坐标为：D（3+t+，t3）将D点坐标代入直线BC的解析式yx+得，t3（3+t+）+，t62，即点D落在直线l上时，t62；COD是等腰直角三角形，CMMD，线段CM最小时，线段CD长度的最小，M在AB上运动，当CMAB时，CM最短，CD最短，即CMCO，根据勾股定理得，CD的最小值为【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质特点.4B解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）B、D、E；2m3；n2或6【分析】（1）把x，0，分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；根据二次函数的图象即可解答；如图，当直线yn处于直线m或m的位置时，由此即可求解【详解】（1）把x，0，分别代入函数表达式得：y，3，；故答案为，3，；（2）描点确定函数图象如下：（3）A对称轴是直线x0，故错误；B函数yx22|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（1，2）、（1，2），故正确；C当1x1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；D当函数yx22|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E函数y（x2）22|x2|+3的图象，可以看作是函数yx22|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；故答案为：B、D、E；从图象看，2m3时，方程x22|x|+3m有四个解；如图，当直线yn处于直线m或m的位置时，点P和图象上的点构成等腰直角三角形，即n2或6【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键5E解析：（1）；2；（2）；（3）【分析】（1）把点E（-1，3）代入求出m的值即可；先求出直线EF的解析式，设出点M的坐标，得到MN的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（2）写出抛物线的顶点式，根据平移规律即可得到的顶点式，进而得到的顶点坐标，即，消去，得到与的函数关系式，再由即可求得的取值范围；（3）求出抛物线怛过点A（2，-3），函数H的图象恒过点B（2，-4），从图象可知两函数图象的交点P应在A，B之间，即点P的纵坐标在A，B点的纵坐标之间，从而可得结论【详解】解：（1）抛物线经过点E（-1，3） 抛物线的解析式为： 如图，点F为抛物线的最低点， 设直线EF的解析式为： 把E（-1，3），F（1，-5）代入得， 解得， 直线EF的解析式为：设，则 当时，MN有最大值，最大值为2；（2）抛物线平移后的抛物线抛物线的顶点坐标为与的函数关系式为：（3）如图，函数的图象为射线，时，；时，函数H的图象恒过点（2，-4）抛物线，当时，；当时，；抛物线G恒过点A（2，-3）由图象可知，若抛物线G与函数H的图象有交点P，则有点P纵坐标的取值范围为：【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键6（1）0；（2）图见解析；（3）3；【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可【详解】（1）x=-2时，m=（-2）2- =0；故答案为：0； （）如图所示（）观察图象，可知与x轴有三个交点，所以有三个根，分别是、；即答案为3；关于的方程有四个根，函数的图象与y=a有四个交点，由函数图象知：的取值范围是【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键7A解析：（1）直线AC的表达式为yx+4；（2）运动时间为0或（4）秒时，ECED；（3）【分析】（1）由抛物线的解析式中x，y分别为0，求出A，C的坐标，再利用待定系数法确定直线AC的解析式；（2）设出运动时间为t秒，然后用t表示线段OP，CE，AP，DE的长度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代换求出EBP的周长为AB+BE，由于AB为定值，BE最小时，EBP的周长最小，根据垂线段最短，确定点E的位置，解直角三角形求出OP，点P坐标可求【详解】解：（1） 抛物线yx23x+4与x轴分别交于A，B，交y轴于点C， 当x0时，y4 C（0，4）当y0时，x23x+40， x14，x21， A（4，0），B（1，0）设直线AC的解析式为ykx+b， 解得： 直线AC的表达式为yx+4（2）设点P的运动时间为t秒，点P以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动， OPt P（t，0） A（4，0），C（0，4）， OAOC4 RtAOC为等腰直角三角形 CAOACO45，ACOA4 DPx轴，在RtAPE中，CAP45， APPE4t，AEAP（4t） ECACAEt E，P的横坐标相同， E（t，t+4），D（t，t2+3t+4） DE（t2+3t+4）（t+4）t2+4t ECDE，t2+4tt解得：t0或t4 当运动时间为0或（4）秒时，ECED（3）存在P的坐标为（，0）在RtAEP中，OAC45， APEP AEB的周长为EP+BP+BEAP+BP+BEAB+BE AB5， 当BE最小时，AEB的周长最小当BEAC时，BE最小在RtAEB中，AEB90，BAC45，AB5，BEAC， PBAB OPPBOB P（，0）【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键8(1) y=;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y取得最大值2.(4)-1x2【分析】(1)待定系数法求解函数解析式(2)分别将m,n代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解(3)观察图像即可,答案不唯一(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.【详解】解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得 解得: 函数的解析式为y=(2) 令x=-1,则y=1,m=1令y=,则x=3,2n4,n=3(3)函数存在最大值,当x=0是,y取得最大值2.(4)直接观察图象可知,当|x|时,-1x2【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.9A解析：（1），；（2）；（3）四边形OABC是矩形，证明见详解【分析】（1）利用顶点P的横坐标求出b=-2,然后把b=-2和B点的坐标代入求出抛物线的解析式；（2）先求出A点坐标，然后得出直线AB的解析式，设M点坐标为（x，x2-2x+3），根据SABM=3列出方程，并解方程，从而得出M点坐标，再根据SABM3求出M横坐标的范围即可；（3）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C点坐标，然后求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据AOC=90得出四边形OABC是矩形.【详解】解：（1）依题意, , 解得b=-2，将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式，得 ， 解c=3，所以抛物线的解析式为，当，解得，当mx3时，yx2+bx+c的最小值为2，最大值为6，；（2）抛物线 与y轴交于点A， A(0, 3)， B(3, 6)， 可得直线AB的解析式为，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图)， ，解得 ，点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3)，SABM3，；（3）结论是：四边形OABC是矩形，理由如下：如图，由 PA=PO, OA=c, 可得，抛物线的顶点坐标为 ， ， 抛物线，A（0，），P（，）, D（，0），直线OP的解析式为， 点B是抛物线与直线的图象的交点，令 ，解得，可得点B的坐标为（-b，），由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为，将点D(，0)的坐标代入，得， 平移后的抛物线解析式为，令y=0, 即， 解得，依题意, 点C的坐标为（-b，0）， BC=， BC= OA，又BCOA， 四边形OABC是平行四边形， AOC=90， 四边形OABC是矩形【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高，解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化10F解析：（1），；（2）O1(,)或（，）；（3）满足条件的点F的坐标为F1(-2，3)，F2(3，-12)【分析】（1）把A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO1的解析式为，再根据，求解即可或是根据得出x的值，再根据直线OO1的解析式为求解；（3）先求出直线EF解析式为 ，再根据求解即可【详解】解：（1）将点A（1, 0），B（-3, 0）代入抛物线解析式y=x2+bx+3得： 解得：抛物线解析式为 （2）点C为与轴的交点C（0，3）B(3，0)OBOC CBO=45将COB沿直线 BC平移，得到C1O1B1直线OO1BC O1OA=45直线OO1的解析式为 根据题意 得 整理得 解得 O1(, )或)（，）解法2 点C为与轴的交点C（0，3）OC=3将COB沿直线 BC平移，得到C1O1B1 01C1=3 整理得 解得 B(3，0)OBOC CBO=45将COB沿直线 BC平移，得到C1O1B1直线OO1BC O1OA=45 直线OO1的解析式为y=x O1(, )或（，）(3)抛物线对称轴与x轴交于点E,则点E的坐标为E(-1,0),过点C作CFx轴根据抛物线的对称性得F的坐标为F(-2,3) AE=CF=2 CFAE 四边形CFEA为平行四边形EFCA 设直线EF的解析式为得： 解得： 直线EF解析式为 根据题意 得 解得 满足条件的点F的坐标为F1(-2，3)，F2(3，-12)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题二、中考几何压轴题11（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或【分析】（1）延长DE交CF的延长线于点N，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的解析：（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或【分析】（1）延长DE交CF的延长线于点N，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的内角和即可得到；（2）延长交于点，由旋转的性质可知和均为等腰直角三角形，因此，易证，同（1）易证结论仍成立；（3）由点E到直线AD的距离为2，可知点F在直线AD或AB上，分两种情况讨论：（i）当点F在DA的延长线或BA延长线上时，由勾股定理可得的长，（ii）当点F在AD或AB上时，过点E作的高，由勾股定理可得的长【详解】解：（1）如图，延长DE交CF的延长线于点N，AC是正方形ABCD的对角线，是直角三角形，和均为等腰直角三角形，又，；又，故答案为：，（2）结论仍然成立理由如下：如图，延长交于点是正方形的对角线，且是由原题中图1的位置旋转得来，即和均为等腰直角三角形又，又，结论成立（3）的长为或理由如下：点E到直线AD的距离为2，点F在直线AD或AB上分两种情况讨论：（i）如图，当点F在DA的延长线上时，过点E作EGAD交延长线于点G,，在中，由勾股定理得；如图，当点F在BA延长线上时，过点E作EKAD交DA的延长线于点K，在等腰中，过点E作EHAF于点H,AH=EK=2=AF，BF=AB+AF=12，；（ii）如图，当点F在AD上时，过点E作EIAD于点I，AF=4，AD=8，在中，由勾股定理得；如图，当点F在AB上时，过点E作EMAD交AD于点M，在等腰中，过点E作ENAF于点N，AN=EM=2=AF，综上所述，CF的长为或【点睛】本题考查相似三角形和图形旋转的性质，属于综合题，需要分类讨论，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识是解题关键12（1）等腰直角三角形；（2）成立，见解析；（3）大于等于，小于等于【分析】（1）先作出辅助线构造全等，进而证明FG与DE、AC均平行，再利用平行线间存在的角度关系推导出GFH为90、FH解析：（1）等腰直角三角形；（2）成立，见解析；（3）大于等于，小于等于【分析】（1）先作出辅助线构造全等，进而证明FG与DE、AC均平行，再利用平行线间存在的角度关系推导出GFH为90、FHG为45，从而证明GFH为等腰直角三角形；（2）先作出辅助线构造相似，从而证明FH与GH之间的比例关系，再利用角度之间的关系即可证明；（3）通过前两问证明得到GFH的周长与CE长之间的关系，再通过观察E点运动轨迹，分别找到CE取得最大值和最小值的位置，解出CE长，进而即可求得GFH周长的取值范围【详解】解：（1）等腰直角三角形连接EG并延长交AC于KDEBC，ACB=90DEACEDG=KCG又G为CD中点DG=CGDGECGK（ASA）EG=GK又F为AE中点，EF=AFFGACDEEFG=DEF又F、H分别为AE、AC中点FHECAFH=AEC，AHF=ACE=90而GFH=180-（EFG+AFH）EFG+AFH =DEF+AEC=90GFH=180-90=90又G、H分别为CD、AC中点GHADGHC=DAC=45而FHG=180-GHC-AHF=180-45-90=45FGH为等腰直角三角形（2）仍然成立，理由如下连接CE并延长交AB于点P，交AD的延长线于点O由图可知，点F，G，H分别为AE，CD，AC的中点，；，为等腰直角三角形（3）当BDE绕点B在平面内自由旋转时，作出E点轨迹如图所示，为一个以B为圆心，BE长为半径的圆GFH的周长为GF、FH和GH的和且由（2）知GFH恒为等腰直角三角形又F、H分别为AE、AC中点FH=CE当E在圆B上运动时，而CB=6，CE=2，周长的最大值为，最小值为周长的取值范围是大于等于，小于等于【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形、三角形的中位线等相关知识点，题目综合性较强，难度较大，难点在于根据已知构造恰当的辅助线13（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.【分析】（1）根据点分别为的中点，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出（2）先求出，得出，根据解析：（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.【分析】（1）根据点分别为的中点，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出（2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解（3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值【详解】由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=ECMN=NP又MNBD，NPCE，A=，AB=AC，MNE=DBE，NPB=C，ABC=C=根据三角形外角和定理，得ENP=NBP+NPBMNP=MNE+ENP，ENP=NBP+NPB，NPB=C，MNE=DBE，MNP=DBE+NBP+C=ABC+C =是等边三角形理由如下：如图，由旋转可得在ABD和ACE中点分别为的中点，是的中位线，且同理可证且在中MNP=，MN=PN是等边三角形根据题意得:即，从而的面积面积的最大值为【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识