电磁场与电磁波课后习题及答案五章习题解答.doc

五章习题解答
5.1 真空中直线长电流的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。
解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流产生的磁场

题 5.1 图

穿过三角形回路面积的磁通为

由题5.1图可知，，故得到

5.2 通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。计算各部分的磁感应强度，并证明腔内的磁场是均匀的。
解 将空腔中视为同时存在和的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内，另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

题5.2图

由安培环路定律，可得到电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为
电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为

这里和分别是点和到场点的位置矢量。
将和叠加，可得到空间各区域的磁场为
圆柱外：
圆柱内的空腔外：
空腔内：
式中是点和到点的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。
53 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量。
(1) （圆柱坐标）
(2)
(3)
(4) （球坐标系）
解 根据恒定磁场的基本性质，满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由求出源分布。
（1）在圆柱坐标中
该矢量不是磁场的场矢量。
（2）
该矢量是磁场的矢量，其源分布为
（3）
该矢量是磁场的场矢量，其源分布为
（4） 在球坐标系中
该矢量是磁场的场矢量，其源分布为

5.4 由矢量位的表示式证明磁感应强度的积分公式

并证明
解:

5.5 有一电流分布，求矢量位和磁感应强度。
解 由于电流只有分量，且仅为的函数，故也只有分量，且仅为的函数，即。在圆柱坐标系中，由满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出，然后由可求出。
记和的矢量位分别为和。由于在时电流为零，所以
（）
（）
由此可解得

和满足的边界条件为
① 时，为有限值
② 时，，
由条件①、②，有 ，，
由此可解得 ，
故
（）
（）
式中常数由参考点确定，若令时，，则有。

题5.6图

空间的磁感应强度为
（）
（）
5.6 如题5.6图所示，边长分别为和、载有电流的小矩形回路。
（1）求远处的任一点的矢量位，并证明它可以写成 。 其中；
（2）由求磁感应强度，并证明可以写成
式中场点对小电流回路所张的立体角。
解 （1）电流回路的矢量位为
式中：
根据矢量积分公式，有
而
所以
对于远区场，，所以，故

（2）由于
故
又由于
故
5.7 半径为磁介质球，具有磁化强度为

其中和为常数，求磁化电流和等效磁荷。
解 磁介质球内的磁化电流体密度为
等效磁荷体密度为
磁介质球表面的磁化电流面密度为

题5.8图

等效磁荷面密度为

5.8 如题5.8所示图，无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度和；（2）磁化电流分布。
解 （1）由安培环路定理，可得
所以得到

（2）磁介质在的磁化强度

题5.9图

则磁化电流体密度
在处，具有奇异性，所以在磁介质中处存在磁化线电流。以轴为中心、为半径作一个圆形回路，由安培环路定理，有
故得到
在磁介质的表面上，磁化电流面密度为

5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为，若此平面电流回路位于磁导率分别为和的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度和。
解 由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出、与的关系。
在分界面两侧，作一个尺寸为的小矩形回路，如题5.9图所示。根据安培环路定律，有 （1）
因垂直于分界面，所以积分式中。这里为与小矩形回路交链的电流。
对平面电流回路两侧为真空的情况，则有
（2）
由于和是分界面上任意两点，由式（1）和（2）可得到
即
于是得到
故有
5.10 证明：在不同介质分界面上矢量位的切向分量是连续的。
解 由得题5.10图

媒质②

媒质①

（1）
在媒质分界面上任取一点，围绕点任作一个跨越分界面的狭小矩形回路，其长为、宽为，如题5.10图所示。将式（1）应用于回路上，并令趋于零，得到

由于为有限值，上式右端等于零，所以

由于矢量平行于分界面，故有

5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场中，并使它们的轴与平行，（铁的磁导率为）。求两样品内的和；若已知、，求两样品内的磁化强度。
解 对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件，有

对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件，有

5．12 如题5.12图所示，一环形螺线管的平均半径cm，其圆形截面的半径cm，鉄芯的相对磁导率，环上绕匝线圈，通过电流。
（1）计算螺旋管的电感；
（2）在鉄芯上开一个的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的不变）
（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。

题5.12图

解 （1）由于，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为
与螺线管铰链的磁链为
故螺线管的电感为

（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有，但空气隙中的磁场强度与铁芯中的磁场强度不同。根据安培环路定律，有

又由于、及，于是可得
所以螺线管得磁链为
故螺线管得电感为

（3）空气隙中的磁场能量为

答：①利用微生物的作用，我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体，使它们变成植物需要的营养素。③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。鉄芯中的磁场能量为

二、问答：故
5.13 证明：单匝线圈励磁下磁路的自感量为，为磁路的磁阻，故激励下，电感量为。磁路中单匝激励下的磁场储能，则激励下的。

10、生物学家列文虎克于1632年出生在荷兰，他制成了世界上最早的可放大300倍的金属结构的显微镜。他用自制的显微镜发现了微生物。解 在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为，有。则在激励下，磁路的磁通为
故电感量为

14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。在单匝线圈励磁下，。在激励下，磁路的磁能为

15、经过有效处理的废水，可以排放到湖泊、河流和海洋中，也可以渗入地下。

11、在淡水资源短缺的情况下，水污染更给人类和其他生物造成了威胁。绝大多数的水污染都是由人类的活动引起的。
答：这个垃圾场不仅要能填埋垃圾，而且要能防止周围环境和地下水的污染。

答：当月球运行到地球和太阳的中间，如果月球挡住了太阳射向地球的光，便发生日食。

15、经过有效处理的废水，可以排放到湖泊、河流和海洋中，也可以渗入地下。

2、物质变化有快有慢，有些变化只改变了物质的形态、形状、大小，没有产生新的不同于原来的物质，我们把这类变化称为物理变化；有些变化产生了新的物质，我们把有新物质生成的变化称为化学变化。

①

②

题5.14图

5.14 如题5.14图所示，两个长的矩形线圈，放置在同一平面上，长度分别为和，宽度分别为和，两线圈最近的边相距为，两线圈中分别载有电流和。设>>，且两线圈都只有一匝，略去端部效应。证明：两线圈的互感是

解 由于>>，因此可近似认为线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁场相同。线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场为

与线圈②交链的磁通为

故两线圈间的互感为
5.15 长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题5.15图()所示。证明：直导线与矩形回路间的互感是

题5.15图()

题5.15图()

解 设长直导线中的电流为，则其产生的磁场为
由题5.15图()可知，与矩形回路交链的磁通为

其中
故直导线与矩形回路间的互感为

题5.16图

5.16 如题5.16图所示的长螺旋管，单位长度密绕匝线圈，通过电流，鉄心的磁导率为、截面积为，求作用在它上面的磁场力。
解 由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为
设铁心在磁场力的作用下有一位移，则螺旋管内改变的磁场能量为

则作用在鉄心上的磁场力为
磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。