常矩阵耦合的热方程采样控制系统能控性.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1696-1708 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134161 文章引用文章引用:杨济通,刘汉兵.常矩阵耦合的热方程采样控制系统能控性J.应用数学进展,2024,13(4):1696-1708.DOI:10.12677/aam.2024.134161 常矩阵耦合的热方程采样控制系统能控性常矩阵耦合的热方程采样控制系统能控性 杨济通杨济通，刘汉兵刘汉兵 中国地质大学数学与物理学院，湖北 武汉 收稿日期：2024年3月27日；录用日期：2024年4月23日；发布日期：2024年4月30日 摘摘 要要 本文研究由常矩阵耦合的热方程采样控制系统的零能控和近似能控问题本文研究由常矩阵耦合的热方程采样控制系统的零能控和近似能控问题，所考虑的是给定采样周期情况所考虑的是给定采样周期情况下系统的两种能控性下系统的两种能控性。我们通过热方程的唯一延拓性我们通过热方程的唯一延拓性，Kalman能控性秩条件和采样周期的选取对系统能控性秩条件和采样周期的选取对系统的能控性进行了刻画的能控性进行了刻画。提出在给定采样周期下此类系统近似能控的一个充要条件提出在给定采样周期下此类系统近似能控的一个充要条件；并说明并说明当控制施加在当控制施加在整体区域时整体区域时，这一条件也是在给定采样周期下此类系统零能控的一个充要条件这一条件也是在给定采样周期下此类系统零能控的一个充要条件，而而当控制只施加在局部当控制只施加在局部区域时区域时，此类系统对任意周期都不是零能控的此类系统对任意周期都不是零能控的。关键词关键词 采样控制，零能控，近似能控，采样周期采样控制，零能控，近似能控，采样周期 Controllability of the Sampled-Data Controlled System of Heat Equations Coupled by Constant Matrices Jitong Yang,Hanbing Liu School of Mathematics and Physics,China University of Geosciences,Wuhan Hubei Received:Mar.27th,2024;accepted:Apr.23rd,2024;published:Apr.30th,2024 Abstract This paper studies the null controllability and approximate controllability for sampled-data con-trolled systems of heat equations coupled by constant matrices.We consider two types of controlla-bility under a given sampled-data period and characterize the controllability of the system through the unique continuation property of the heat equation,the Kalman rank condition and the selec-tion of the sampled-data period.We provide a necessary and sufficient condition for the approx-imate controllability of such systems under a given sampled-data period;and show that when the 杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1697 应用数学进展 control domain is equal to the entire space,this condition is also a necessary and sufficient condition for the null controllability of such systems under a given sampled-data period.However,when the control domain is a proper subset of the entire space,such systems are not null controllable for any period.Keywords Sampled-Data Controlled,Null Controllability,Approximate Controllability,Sampled-Data Period Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 本文的目标是研究关于一类常矩阵耦合的热方程采样控制系统的能控性，并分别提出此类系统的T 零能控与T 近似能控的充要条件，以及研究条件的适用范围。在现有的研究文献中，连续时间控制系统及其时间离散化系统的能控性问题已取得诸多理论成果。如郭戈等1针对周期性系统(包括连续和离散两种情形)的能控性问题。对已有文献中有关周期为 T 的连续周期性系统的能控性结论进行了完善，推导出系统能控等价于单周期内能控的结论，并将这些结论直接推广到离散周期性系统；进一步探讨了离散前后周期性系统能控性保持不变的可能性2，证明在采用某种不等间距采样方式时，离散前后周期性系统的能控性保持不变。杨磊等3用循环不变子空间的性质研究了线性切换系统的能控性和能观性。得到线性周期切换系统完全能控和完全能观测的充分必要条件，进一步给出了一般线性切换系统完全能控和完全能观测的充分条件和必要条件。王俭等4就离散时间系统保持能控性与能观性的充分条件的物理意义，论证了该充分条件实质上就是信号可重构的临界条件，同时说明该充分条件实际上也是必要条件，在两个概念之间建立起类似于等价的联系。随着数字控制器以及计算机的发展，因为大多数控制都是通过数字技术在系统中实现的，这激发了对具有非连续控制的连续时间系统的研究。其中控制只在有限个时刻取到不为零的值的被称为脉冲控制，而控制在作用时间内取分段常值且只进行有限次变化的被称为采样控制5。有关热方程脉冲控制的能控性问题，Qin S.等6对 Liu X.等7关于实现常微脉冲控制系统能控性的最小控制个数问题进行了完善，并得到了具有脉冲控制的热方程连续时间系统近似能控的一个充要条件。Wang L.等8研究了含实矩阵的热方程的约束近似零能控性，分别给出控制作用于系统全局和局部两种情况下系统是全局约束近似零能控的条件。而对于热方程采样控制系统的能控性研究，Wang G.等9对有界域中热方程的采样周期最优时间和最优控制关于采样间隔做了上下界的误差分析，给出了一种具有一致代价的2L-近似零能控性。在此基础上设计了具有采样数据控制的热方程的时间最优控制，用来近似具有分布式控制的热方程的时间最优控制问题并证明其某种意义上的最优性。Lin P.等10中给出了一类具有时不变控制热方程的能观不等式和有一致代价的部分近似零能控性，并由此进一步建立了使有界域中采样控制的热方程稳定的输出反馈律。与以往采样控制系统能控性有关的研究相比，本文所考虑的是关于热方程组的能控性问题，我们借鉴了 Qin S.等6关于系统能控性的一些想法。在本文中我们对由一对常矩阵(),A B耦合的热方程采样控制系统进行了研究，定义了两种与采样周期 T 有关的能控性，结合热方程的唯一延拓性得出了关于系统能控性的两个主要结论。Open AccessOpen Access杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1698 应用数学进展 2.问题描述与主要结论问题描述与主要结论 2.1.问题问题介绍介绍 为 介 绍 本 文 研 究 的 采 样 控 制 系 统，这 里 我 们 先 给 出 一 些 必 要 的 定 义 和 符 号 说 明。设()1,2,NN+=是一具有2C边界的有界域，是一非空开子集，其特征函数为，表示在N中的闭包，A 和 B 分别是nn和nm实矩阵，视为从n和m到n的线性算子，,ndiag=，为拉普拉斯算子。定义nA=，()()()210;nnDHH=，即对任意()zD，nzzAz=，可以得出 在()2;nL 上生成了一个0C半群0ett。本文考虑如下热方程采样控制系统的零能控与近似能控问题：()()()()()1,10,0.ptkkT kTky ty tBt uyy+=在中 (2.1)其中()()1,kT kTt表示区间()1,kT kT上的特征函数，()1pkkTp+=被称为采样时刻，()0TT被称为采样周期，()21;pmkkuL=被称为采样控制，容易得出方程(2.1)是适定的。记()01;,pkkyyu=为 方程(2.1)的解，即 ()()()00111;,eed,0.pkTpttkkkkTky t yuyBu t=+(2.2)在本文中记和,分别表示()2;nL 上的范数和内积，()A和()n分别表示所有 A 和n的特征值的集合，A，B和分别代表 A，B 和的伴随算子。本文所考虑关于系统(2.1)的零能控与近似能控定义如下：定义定义 2.1 给定0T，若对任意()20;nyL，存在p+，和()21;pmkkuL=使得 ()01;,0.pkky pT yu=(2.3)则称系统(2.1)是 T-零能控的。定义定义 2.2 给定0T，若对任意0，()201,;nyyL，存在p+和()21;pmkkuL=使得 ()011;,.pkky pT yuy=(2.4)则称系统(2.1)是 T-近似能控的。定义定义 2.3 对给定nn实矩阵 A，假设有 q()q+个互不相同的特征值12,q，若 T 对满足 Re0ij=，对任意,1,2,i jq=的 A 的特征值成立()2,1,2,ImijlTl=(2.5)杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1699 应用数学进展 则称采样周期 T 是非病态的，反之称采样周期 T 是病态的。定义定义 2.4 对给定nn实矩阵 A，定义如下集合1和2：()()()10:|ed0,1,.ijTinjTijqA+=(2.6)()()()20:|ed0,1,.ijTinjTijqA+=(2.7)易知若采样周期 T 是非病态的，则2T。2.2.主要结论主要结论 本文的主要结论阐述为以下两个定理。定理定理 2.1(i)当 时，对于任意采样周期 T，系统(2.1)不是 T-零能控的。(ii)=时，系统(2.1)是 T-零能控的当且仅当2T 且()()1,e,eA nTATrank BBBn=。定理定理 2.2 系统(2.1)是 T-近似能控的当且仅当2T 且()()1,e,eA nTATrank BBBn=。推论推论 2.3(i)=时，若 T 非病态且()1,nrank B ABABn=，则系统(2.1)是 T-零能控的。(ii)若 T 非病态且()1,nrank B ABABn=，则系统(2.1)是 T-近似能控的。3.定理定理 2.1 的证明的证明 下面我们先给出几个证明定理 2.1 所需要的引理，引理 3.1 和引理 3.2 的证明过程分别参见文献6的定理 3.2 和引理 4.3。引理引理 3.1 设1是的非空开子集，V 是n的子集，则以下两条结论成立：(i)若()2;nzL 且0t，()z xV对几乎处处的()entxz xV 对于所有1x。(ii)若()2;nzL 且0t，则1e0tz=当且仅当0z=。引理引理 3.2 设(),A B满足()1,nrank B ABABn。引理引理 3.3 对任意0t 有以下等式成立 eee.nttA t=因为引理 3.3 的证明要点是n和A的交换性，方便起见将这部分放在了引理 3.5 的证明中，这里省略了具体证明。引理引理 3.4 对任意0t，2T 则有以下两结论成立：(i)对于任意的()2;nyL，存在唯一()2;nyL 使得 0ede.Ttyy=(ii)对于任意的()2;nyL，存在唯一()2;nyL 使得 0ede.Ttyy=引理引理 3.4 的证明的证明：(i)首先我们先证明对于任意的()21;nyL，2TT，0t，存在唯一杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1700 应用数学进展 ()2;nyL 使得 10edennTAtyy=(3.1)设k jkje=，je为n的单位向量，则1,1i jij n 是()2;nL 的一组正交基。对于任意的()21;nyL 可将其表示为 111,.nkjkjkjkjybb+=并 且 有()()221121;1nnkjkjLyb+=。显 然()2;nyL 是(3.1)的 解 等 价 于 y可 唯 一 表 示 为11,nkjkjkjkjyaa+=，其中k+，1jn。满足()()01111eede.iinnTtAijjiijjiijija exb ex+=(3.2)且()()2211;1 2nnkjkjLya+=，其中()in。用bi表示()1,iinbb，则(3.1)有唯一解 y等价于存在唯一()2a;niiL+使得对每一i+有 0eed ae b.iiTtAii=(3.3)对任意 A 存在非奇异矩阵 P，使得()1APA P=是 A 的若当形式，用,1,2,jjr=表示的 A 特征值，对每个 j，j的代数重数记为jm，即 12,rJJAJ=其中jJ是对角线为j的若当块1,2,jr=。记1 aaiiP=，1bbiiP=。则存在唯一()2a;niiL+满足(3.3)等价于存在唯一()2 a;niiL+使得每一i+有 0eed ae b.iiTtAii=(3.4)而矩阵0eediTA是上三角形式，又2T，故矩阵对角线上元素()0edijT非零，1,2,jr=。因 此对每一i+，有()()()001deteeded0.jijimrTTAj=(3.5)这意味着矩阵0eediTA可逆，由此可得对每一i+，存在唯一 ai满足方程(3.4)，即()10 aeede b.iiTtAii=(3.6)接下来证明()2;nLy使得 2211 ab.nniiiiPCP+=(3.7)杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1701 应用数学进展 这里()2221;anniiLyP+=，()22211;bnniiLyP+=。易知矩阵0eediTA的元素是()0edijT对于某些1,2,jr=或者是()01ed!ijTkk对于某些1,2,jr=，1,2,1km，其中 max,1,2,jmmjr=。存在与,i j k无关的常数()()1,1CA T和()()2,1CA T使得对于所有i+，1,2,jr=，1,2,1km，()()120001ededed.!ijijiTTTkCCk (3.8)定义集合:,0,1,2,iijOijr+=对某些。存在与,i j k无关的常数()()3,1CA T，使得对于所有iiO+，1,2,jr=，()300eded.ijiTTC (3.9)用jkA表示矩阵0eediTA的代数余子式。由(3.8)可知存在与,i j k无关的常数41C，使得()140edinTjkAC，1,j kn。由(3.9)可知存在与 i 无关的常数51C，使得对于所有iiO+，()()500detee dediinTTAC。因此对于所有iiO+，()()214201102510eed.eddeteediiinnTjkATTAjkAC nC=(3.10)对于iiO，可知存在与 i 无关的常数61C，使得()()1600deteedediinTTAC，故对于iiO，()1406eed.iTAC nC (3.11)综上，我们由(3.6)，(3.10)和(3.11)推得使不等式(3.7)成立只需取 44650eemaxmax,max.ediiiiittTi OiOC nC nCCC+=而不等式(3.7)成立意味着()()222211;.nnLLyC P Py，eAt可逆，故对任意()21;nyL，存在唯一()2;nyL 使得 1e.Atyy=结合(3.12)我们得到()()22221;e.nnAtLLyC P Py，2T 有下列等式成立 杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1702 应用数学进展 (i)00ed eeedTTtt=且()()1100eededeTTtt=。(ii)00ed eeedTTtt=且()()1100eededeTTtt=。引理引理 3.5 的证明的证明：(i)由的定义知nA=，nn nI=，n nI表示 n 阶单位阵。在()2;nL 上 生成了一个0C半群0ett，eeenttAt=。于是对任意nn矩阵 A，()()21,;nnzzzL=T，有 111111111eee.eenntjtjnttntnnnnnjnjazaazAzaazaz=111111111eee.eenntjtjnttntnnnnnjnjazaazAzaazaz=其中()1,;1,ijain jn=表示 A 的元素，由此可得eeeennttAtAt=。故有 0000ed eeed eeeeeedeed.nnnnTTTTtttAAtAtAt=有上述等式成立则有()()()()()()11100001100010eededed eededeededede.TTTTttTTTtTt=(ii)与(i)同理可证，接下来我们依次证明定理 2.1 的(i)和(ii)。证明证明：(i)当 时，因为对任意0T 或1T 或2T，故第一步证明此时对任意1T 系统(2.1)不是 T-零能控的，第二步证明此时对任意2T 系统(2.1)也不是 T-零能控的。第一步，任取采样周期1T，故此时存在i+，()1,jr，使得()0ed0.ijT=结合引理(3.5)可知对此时的i+，()1,jr()()()001deteeded0.jijimrTTAj=这意味着存在()2;0nL 使得 0ed0.T=这意味着存在()2;0nL 使得 杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1703 应用数学进展 0ed0.T=(3.13)采用反证法，假设存在采样周期1T 使系统(2.1)是 T-零能控的。由定义 2.1 知，对于任意()20;nyL，存在p+，()21;pmkkuL=使 ()()00101;,eeed0.PTpp k TpTkkkky pT yuyBu=+=于是与(3.13)一起有()()0010010,eeede,eed,e,0.PTp k TpTkkpTp k TpTkkpTyBuyBuy=+=+=由于()20;nyL 为任取的，这意味着e0pT=，再由引理 3.3 与热方程的倒向唯一性我们得0=，与()2;0nL 相矛盾，由此得出，当取采样周期1T 时，系统(2.1)不是 T-零能控的。注意到当取采样周期1T，此时无论控制域是否是全空间，系统(2.1)都不是 T-零能控的。第二步，采用反证法，我们假设此时系统(2.1)对于某采样周期2T 是 T-零能控的。那么根据定义2.1，任取()20;0nyL，存在p+，()21;pmkkuL=使得 ()()()()()()()()01011001100011111000010;,eedeeedeeededededeeeedpkkpkTpTpTkkTkpTp k TpTkkpTTp k TpTkPkpTTTpTpk TTkpky pT yuyBuyBuyBuBuyBuBu=+=+=+=+.结合引理 3.4，其中()()()111100010,edeeeed.pTTpTpk TTkpkyyyBuBu=+可得()()()11110001edeeeed0.pTTpTpk TTkpkyBuBu=+=因，存在()0rBx 使得()0.rBx (3.14)这里()0rBx表示在N上以0 x为中心以0r 为半径的邻域，这意味着在()0rBx上0pBu=，结合引理3.5 可知在()0rBx上 杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1704 应用数学进展 ()()()()()()2211110001111100010edeeeedeedeeeed.TTpTTpTpk TTkkpTTpTpk TkkyBuyBu=+=+令()()()211110001edeeeedTpTTpTpk TkkgyBu=+。再由引理 3.1 的(ii)，其中()10,.2rTBxtzg=我们得到对几乎处处的x有 0.g=由引理 3.4 和热方程倒向唯一性可知()()111001eeed0.pTpTpk TkkyBu=+=(3.15)同理重复上述得到(3.15)的过程最终我们可得 010eed0.TTyBu+=(3.16)由(3.16)结合引理 3.5 得()22010101000eededeede.TTTTTTyBuyBu=+=+再由引理 3.4 得()221010eede0.TTTyBu+=结合(3.14)我们发现在()0rBx上10Bu=，再根据引理 3.1 的(ii)此时()10rBx=，2Tt=，()2100edeTTzy=。得到()2100ede0.TTy=令()2100edeTTgy=，于是有 200eed0.TTyg=进一步由倒向唯一性我们得出00y=，这与()20;0nyL 相矛盾，因此假设不成立，故当 时，系统(2.1)对于任意非病态周期2T 不是 T-零能控的。定理 2.1 的(i)得证。(ii)当=时，我们先证明其充分性，为此，任取2T，并设()()1,e,eA nTATrank BBBn=。我们定义如下n的子空间kV，0,1,1kn，杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1705 应用数学进展 e:.AkTnmkVBaa=(3.17)由假设和(3.17)得10nnkkV=，因此存在线性映射:nkkPV使对任意na有10nkkaP a=。从kV的定义可以看出对任意0,1,1kn，有 e.AkTkVRangeB (3.18)因此根据的kP定义与(3.18)可知对于0,1,1kn，任意()2;nzL 有 e.AkTkP zRangeB (3.19)由引理 3.1 的(i)，此时 1,e.AkTkVRangeB tkT zP z=我们可推得对于几乎处处的x，当0,1,1kn有 ee.nkTAkTkP zRangeB (3.20)因为映射:mBRangeB是满射，故存在线性映射:nmC使得对于所有aRangeB成立.BCaa=(3.21)结合(3.20)和(3.21)可知对于任意0,1,1kn，取()1eenkTAkTkkuCP z+=可使()1ee0.nkTAkTkkP zBu+=(3.22)因=，任取()20;nyL，结合(3.21)，(3.22)和引理 3.5 我们得出 ()()()()()00101110001;,eeededeedee.nTnn k TnTkkkknTTnTn k TTkky nT yuyBuyBu=+=+其中令()1000edeTTyy=，因()20;nyL 由引理 3.4 知()20;nyL于是 ()()()()()()()()()()()()()1001011010111010110101;,edeeedeeedeeedee0nTnnTn k TkkkknnTnTn k TkkkknTnTn k TkkknTn k TlTkkky nT yuyBuPyBuPyBuPyBu=+=+=+=+=此时取()10ekTkkuCP y=，由定义 2.1 我们可知系统(2.1)是 T-零能控的，充分性得证。下面我们证明其必要性，设系统(2.1)是 T-零能控的，在定理 2.1 的(i)中证明了当1T 时，系统(2.1)不是 T-零能控的，这意味着若系统(2.1)是 T-零能控的，则2T。于是我们现在只需说明：若系统(2.1)是 T-零能控的，那么则有()()1,e,eA nTATrank BBBn=。为此采用反证法，假设()()1,e,eA nTATrank BBBn有 e0tBz=(3.23)因系统(2.1)是 T-零能控的，根据定义 2.1，则对任意 z，存在p+和()21;pmkkuL=使得 杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1706 应用数学进展 ()()1010;,eeed.PTpp k TpTkkkky pT z uzBu=+(3.24)其中取()()110edeTpTzz+=，则有()()()()()()()()211111000100111edeeede,edeeed,ede,e.TTTpTpTpTTpTTp k TTkkpp kTkkzzzBuzuBz+=+=结合(3.23)意味着()()2110ede0.TpTz+=(3.25)根据引理 3.4 和(3.25)我们可以得到e0pTz=，再由热方程倒向唯一性得出0z=而这与()2;0nzL 矛盾。由此可知假设错误，故()()1,e,eA nTATrank BBBn=。必要性得证，综上我们证明了定理 2.1。4.定理定理 2.2 的证明的证明 证明定理 2.2 之前我们先给出以下两个引理。引理引理 4.1 设0T，()1pkkTp+=则有以下两条结论等价(i)系统(2.1)是 T-近似能控的。(ii)若()20;nzL，则()00ed e0Tp k TBz=对于所有1,kp00z=在上。根据近似能控性与唯一延拓性之间的等价关系结合系统(2.1)的解(2.2)我们容易推得引理 4.1，这里省略了具体证明。引理引理 4.2 设0T 满足()()1,e,e.A nTATrank BBBn=则有()()1kere0.pAp k TkB=引理 4.2 的证明参见文献6定理 5.2 的证明。有了以上理论基础，下面我们证明定理 2.2。证明证明：我们先证明其充分性，设周期2T 且设()()1,e,eA nTATrank BBBn=，由引理 4.2 有()()1kere0.nAn k TkB=(4.1)若()2;nzL 满足()0ed e0Tn k TBz=对于所有1,kn (4.2)根据引理 3.5 与(4.2)这意味着对所有1,kn 杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1707 应用数学进展 ()()()00ed eeed e0.nTTn k TAn k Tn k TBzBz=(4.3)由(4.3)推出对所有1,kn()()()0ed ekere.nTn k TAn k TzB (4.4)再由引理 3.5 有()()00ed eeed.nnTTn k Tn k Tzz=再根据(4.4)与引理 3.1 的(i)一起对所有1,kn，其中()()()1,kere,.An k TVBtnk T=我们可知几乎处处的x，所有1,kn()()0edkere.TAn k TzB 再由(4.1)得出 0ed0.Tz=由引理 3.4 我们得到0z=，进一步由引理 4.1 我们得出系统(2.1)是 T-近似能控的，充分性得证。下面我们证明其必要性，设系统(2.1)是 T-近似能控的，第一步先说明此时2T，采用反证法，假设1T，故此时存在()2;0nzL 使得 0ed0.Tz=(4.5)再由引理 3.5 得对p+，1,kp有()()00ed eeed0.TTp k Tp k TBzBz=而系统(2.1)是 T-近似能控的，结合引理 4。1 我们推出0z=，而这与()2;0nzL 矛盾，故此时2T。第二步说明此时()()1,e,eA nTATrank BBBn=，仍采用反证法，假设此时()()1,e,eA nTATrank BBBn，特殊的有 e0kTBz=对于任意k+。任取2T，由引理 3.4 可知存在()2;nzL 使得 0eed.TTzz=(4.6)于是对任意k+()()110eeeeed0.TkTkTkTTtBzBzBtz=(4.7)由(4.7)结合引理 3.5 可推得对p+()0ed e0Tp k TBz=对于所有1,kp。根据假设系统(2.1)T-近似能控，由引理 4.1 则()0ed e0Tp k TBz=对于所有1,kp0z=在上。杨济通，刘汉兵 DOI:10.12677/aam.2024.134161 1708 应用数学进展 再由(4.6)得e0Tz=，进一步根据热方程倒向唯一性可得0z=，与()2;0nzL 矛盾。这意味着()()1,e,eA nTATrank BBBn=，必要性得证。至此我们证明了本文的主要定理。5.结论结论 关于主要结论下面给出一些说明：1)本文中定义的 T-零能控性和 T-近似能控性均与采样周期 T 有关，即考虑的是在给定周期 T 选择下系统(2.1)的能控性问题。2)定理 2.1 说明系统(2.1)是否 T-零能控与控制域是否为全空间有关，若是的真子集时，则对任意采样周期 T，系统(2.1)都不是 T-零能控的。3)当=时，我们得到了系统(2.1)是 T-零能控的一个充要条件，此条件为2T 且()()1,e,eA nTATrank BBBn=。在本文定理(2.1)的证明中我们说明了当1T 时，无论控制域是否为全空间，系统(2.1)都不是 T-零能控的。4)在 定理 2.2 中 我 们 给 出 了 系 统(2.1)是 T-近似 能 控 的 一 个 充 要 条 件，也 是2T 且()()1,e,eA nTATrank BBBn=。与系统(2.1)T-零能控相比系统(2.1)T-近似能控并不依赖于控制域的大小。5)推论 2.3 分别给出了系统(2.1)是 T-零能控的和 T-近似能控的充分条件。由定义 2.3 和定义 2.4 易知，若采样周期 T 是非病态的，则2T，而采样周期 T 非病态与(),A B满足()1,nrank B ABABn=是()()1,e,eA nTATrank BBBn=的一充分条件(参见文献11的第四章)，故推论 2.3 是定理 2.1 和定理 2.2 的特殊情形，因此推论 2.3 给出的也是一充分条件。基金项目基金项目 湖北省自然科学基金面上项目支持(项目编号：2023AFB622)。参考文献参考文献 1 郭戈,王伟.保证能控性和能观性的采样方式J.控制与决策,2003,18(1):66-68.2 郭戈.周期性系统的能控性理论J.控制与决策,2004,19(4):468-470.3 杨磊,李俊民.一类线性切换系统的能控性和能观测性的充要条件J.系统工程与电子技术,2003,25(5):588-590.4 王俭,肖金球,施颂椒.离散时间系统能控能观测与信号重构的关系J.电路与系统学报,2003,8(6):136-138.5 Chen,T.and Francis,B.A.(2012)Optimal Sampled-Data Control Systems.Springer Science&Business Media,Ber-lin.6 Qin,S.and Wang,G.(2017)Controllability of Impulse Controlled Systems of Heat Equations Coupled by Constant Matrices.Journal of Differential Equations,263,6456-6493.https:/doi.org/10.1016/j.jde.2017.07.018 7 Liu,X.(1995)Impulsive Control and Optimization.Applied Mathematics and Computation,73,77-98.https:/doi.org/10.1016/0096-3003(94)00204-H 8 Wang,L.,Yan,Q.and Yu,H.(2021)Constrained Approximate Null Controllability of the Coupled Heat Equation with Impulse Controls.SIAM Journal on Control and 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