浅谈幂级数展开式的应用.doc

浅谈幂级数展开式的应用
目 录

摘要……………………………………………………………………………………………1
关键词…………………………………………………………………………………………1
Abstract………………………………………………………………………………………1
Keywords﹒……………………………………………………………………………………1
引言……………………………………………………………………………………………2
一． 基本知识…………………………………………………………………………………2
1.1．幂级数的性质………………………………………………………………………… 2
1.2. 幂级数的收敛区间…………………………………………………………………… 2
二．幂级数的和函数…………………………………………………………………………3
三．幂级数的展开……………………………………………………………………………4
四．幂级数的展开及其应用…………………………………………………………………6
4.1. 幂级数在近似计算的应用………………………………………………………………6
4.2. 幂级数在计算积分得应用………………………………………………………………6
4.3. 幂级数在求极限中的应用………………………………………………………………7
4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用………………………………………………………7
4.5. 幂级数用于推导欧拉公式………………………………………………………………8
4.6. 幂级数在求导中的应用…………………………………………………………………9
4.7. 幂级数在不等式的中的应用……………………………………………………………9
4.8. 幂级数在组合中的应用…………………………………………………………………10
参考文献………………………………………………………………………………………11
致谢……………………………………………………………………………………………11

幂级数展开式的应用
摘 要
在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。 在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。
关键词
幂级数；展开式 ；应用
Power series expansion of the type of application
Abstract
In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion
Keyword
Power series; expansion; applicati

引言：
幂级数的展开式应用广泛，但是由于不同研究者用的方法不同以及研究结果没有集中起来，现在用我粗浅的知识略把幂级数展开式的应用搜集了一下，以便大家更方便的应用﹑更好的学习。
由幂级数列所产生的函数项级数
，称为幂级数，它是一类最简单的函数项级数。从某种意义上说，可以看作是多项式的延伸。幂级数在理论和实际上有很多的应用尤其是在表示函数方面。特别地当，即是一种重要的情况。
一． 基本知识

1.幂级数的性质
（1）. 幂级数 的和函数是内的连续函数。
（2）. 幂级数在收敛区间左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端上左（右）连续。
(3). 设幂级数在收敛区间上的和函数为，若为内任意一点，则
ⅰ）、在可导，且
ⅱ）、在0与这个区间上可积，且

2.收敛区间
设幂级数在的和函数，则
（1）. 在内连续，若幂级数在也收敛，则在处左连续（或在处右连续）。
（2）.在内每一点都是可导的，且有可导公式：

与原幂级数有相同的收敛半径。
（3）. 在内可以积分，且有逐项积分公式：
，其中是内任一点，积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
二．幂级数的和函数
幂级数的和函数在幂级数的计算中有着重要的作用，在计算过程中也有一定的难度，不过计算过程也要注意计算方法的使用。
例1：求幂级数 的和函数
解： 易知级数的收敛域为
令
有幂级数的逐项可导性得
对上式两端积分得：

例2： 求级数 的和
解：因为
=
=
其中
下面求
设．显然收敛域为
逐项积分得：
在次积分得：
故
=
故原式=﹒+=
有很多这样的例题，上面的题中主要的方法是逐项求导与逐项求积。逐项可导与逐项可积是幂级数和函数在其收敛区间上的两个主要分析性质。在很多方面都有重要的应用。在具体应用时，应根据具体的问题具体分析，再决定用逐项求导或者逐项可积。
三. 幂级数的展开
函数的幂级数展开式有两种形式，一种形如称为一般（或叫做函数在的幂级数），另一种形如称为标准式，即函数在0处得幂级数。若函数在U内可以展成的幂级数，那么这个幂级数一定是泰勒级数。当时又称为麦克劳林级数。具体展开式如下：
在处的泰勒展开（幂级数的展开式）：

（在与之间）
令即为麦克劳林级数。
幂级数的展开式中，是一种应用广泛的展开。
⑴．求出，，
⑵．形式上作用幂级数

=
当时，即为牛顿二项式定理。下面讨论的情形。求出收敛半径

⑶．分析在收敛区间内，柯西余项
，的极限。 因级数
当〈1时收敛（由比试判别法可得），故
由于〉-1时，有，且，。又由于〈1时，0<< 故0<<<，故有界
综上所述，当<1，。所以
== 〈1 (*)
级数(*)称为二项式函数的幂级数展开式，又称为二项式级数。
⑷．检查时，级数(*)是否收敛，是否单侧连续，从而确定收敛域。有超越几何级数的敛散性可知，二项式级数在处的敛散性与的取值有关，当时，>0绝对收敛，-1<<0条件收敛， -1时发散。
以-代替可得，当时>0绝对收敛，<0发散.
综上可得: -1时,收敛域为；
当-1<<0时，；
当>0时，收敛域为。
四．幂级数的展开及其应用
1.幂级数在近似计算的应用
我们通过的近似计算来研究，利用幂级数进行近似计算的方法。可以用的幂级数展开式取=近似计算。
= ，取得

上式两边同乘以2得：

它的部分和
易计算<<0.001.就是说用s表示的近似值，其误差小于0.001.经计算≈3.14159利用此方法还可以计算其它数的近似值。
2.幂级数在计算积分得应用
当的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来，计算的定积分就遇到了困难。现在，我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值。具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数。且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求定积分的值。
例： 证明
证明：因为
所以=
=
= （＜
3.幂级数在求极限中的应用
求函数极限的方法很多，幂级数法也是其中之一
例： 求
解：因为

所以
=

4.幂级数在数项级数求和中的应用
例：求
解：设
=
=
=
设 ，则，
且
从而
当时，
此时，
令，可得
5.幂级数用于推导欧拉公式
例： 试用幂级数的展开式来推导欧拉公式：
，
解：当为实数时，有指数函数的幂级数展开知
用纯虚数代替是变量有
因为，，，
所以
即 （
在（*）式中置换可得 （**）
由（*）和（**）式联立解得：，
6.幂级数在求导中的应用
例: 求 在的阶导数
解：因为函数

进行两次积分得：

则，即
7.幂级数在不等式的中的应用
在证明不等式时可以巧妙利用函数幂级数展开式，能将问题化难为易。
例：证明：当时，
证明：有三角函数的幂级数展开式易知
且

又 即
则
故当时不等式成立。
8.幂级数在组合中的应用
幂级数在组合恒等式中用重要的作用。
例：证明
证明：由二项式函数的幂级数展开式得

在上式的乘积中，的系数为，从展开式中知的系数为，因而得等式

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社.2004
[2] 刘玉莲. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社.2001.
[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社.1983.
[4] 秦曾复.于跃年.高等数学讲义[M].上海：复旦大学出版社，1996.12
[5] 罗振声.刘晓华.高等数学概论与方法[M].电子科技出版社，1996.12
[6] 吴迪光.张彬.微积分（下册）[M].杭州：浙江大学出版社，2003.11
致 谢
在此，我对在论文写作过程中给予我帮助的老师、同学表示感谢！