1、第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则一、一、链锁法则链锁法则二、二、全微分形式不变性全微分形式不变性第1页第1页一、链锁法则引入：复合函数如何求它偏导数？问：若上面三个函数都是详细函数，那么，它们复合函数也是详细函数，当然，我们会求它偏导数。但是，若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，那么，它们复合函数也是抽象函数，它偏导数又怎么求？第2页第2页这是一个新问题，要求出这样一个函数偏导数，还需要新公式。这就是下面要研究多元函数求导法则（或链锁法则）。第3页第3页定理1 设函数 及 都在点t可导，函数z=f(u,v)在相应点(u,v)含有连续偏导数，则复合函数 在点t可导，且有1
2、、复合函数中间变量均为一元函数情形 按照多元复合函数不同复合情形，分两种情形来讨论：第4页第4页将上式两边同时除以 ，得证：这时相应增量为取得增量由第三节定理2 证实过程，我们可得到由此，函数z=f(u,v)相应地其中，第5页第5页令取极限，得，即即第6页第6页=第7页第7页 假如函数 都在点 t 可导，函数z=f(u,v,w)在相应点(u,v,w)含有连续偏导数，则复合函数 在点 t 导数存在，且有注第8页第8页2、复合函数中间变量均为多元函数情形定理2 假如函数 及 在点(x,y)含有对x及对y偏导数，函数z=f(u,v)在相应点(u,v)含有连续偏导数，则复合函数 在点(x,y)两个偏导
3、数存在，且有第9页第9页已知对y偏导数，在点(x,y)含有对x及函数 z=f(u,v)在相应点(u,v)含有连续偏导数，现在，将 y 取定为常数，则由定理1得+得复合函数对 x 偏导数存在，且有同理，将 x 取定为常数，则可得（4）式.此即（3）式.第10页第10页 为了掌握复合函数求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量个数，公式(3)、(4)示意图下列：zuvxy第11页第11页在点(x,y)两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：设 都在点(x,y)含有对x及对y偏导数，函数z=f(u,v,w)在相应点(u,v,w)有连续偏导
4、数，则复合函数注第12页第12页(1)求下列函数复合函数导数或偏导数(3)(2)第13页第13页解(1)+=+=+第14页第14页(2)+=+第15页第15页+=(3)+相同,但所表示意思不同!必须加以区别!对自变量 x偏导数对中间变量 x偏导数第16页第16页为了避免混淆,普通地,将对中间变量偏导数记为将对自变量偏导数记为第17页第17页比如上面(3)可写为:+=+=+第18页第18页注意：这里 与 是不同，是把复合函数 中y看作常数而对x导数,是把 f(u,x,y)中 u 及y看作常数而对x导数.与 也有类似区分.第19页第19页由复合函数求导法则得解：=+=+第20页第20页例2解：+=
5、+=+=+=第21页第21页例3解：+=+第22页第22页解：+=+第23页第23页解注第24页第24页例6 设 ，f 含有二阶连续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数，下标2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有第25页第25页因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成，因此依据复合函数求导法则，有=+依据复合函数求导法则，有+=+=+仍是 x,y,z复合函数，第26页第26页+=+()+=+第27页第27页例7 设u=f(x,y)所有二阶偏导数连续，把下列表示式转换为极坐标系中形式.解=由（1）式得这样，可看作由复合而成.得第28页第28页两式平方后相
6、加，得依据复合函数求导法则，得第29页第29页=+=第30页第30页再求二阶偏导数，得=+第31页第31页=第32页第32页=+第33页第33页同理可得两式相加，得第34页第34页二、全微分形式不变性:设函数 含有连续偏导数，则有全微分若u、v又是x、y函数,，且这两个函数也含有连续偏导数,则复合函数全微分为第35页第35页所谓全微分形式不变性是指:无论z是自变量 u、v函数或中间变量 u、v函数，它全微分形式是同样，这个性质叫做全微分形式不变性.=+证=+第36页第36页例8 用全微分形式不变性解下题:解:将du、dv代入，得第37页第37页即第38页第38页作作 业业P822,4,6,8,9,11,12(1),13.第39页第39页
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