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第一章第一章 晶体结构晶体结构1.1 晶格晶格1.2 对称性和布拉维格子分类对称性和布拉维格子分类1.3 几种常见晶体结构几种常见晶体结构1.4 倒格子和布里渊区倒格子和布里渊区1.5 晶体结构试验拟定晶体结构试验拟定参考：参考：阎守胜固体物理基础第二章阎守胜固体物理基础第二章 黄昆、韩汝琦固体物理学第一章黄昆、韩汝琦固体物理学第一章 Kittel 固体物理导论一、二章固体物理导论一、二章.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第1页第1页晶体形态晶体形态六角相绿玉六角相绿玉单斜相石膏单斜相石膏三角相石英三角相石英非晶琥珀非晶琥珀晶体含有晶体含有规则外形规则外形，明，明显显宏观对称性宏观对称性，遵守，遵守晶晶面角守恒定律面角守恒定律。存在特。存在特定定解理面解理面。晶体上述特点给出了晶晶体上述特点给出了晶体中原子含有周期性排体中原子含有周期性排列线索。列线索。1830年年Bravais提出用晶提出用晶体点阵来表述晶体中原体点阵来表述晶体中原子子周期排列周期排列方式，成为方式，成为固体理论基础。固体理论基础。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第2页第2页切点切点切切点点最后被切开最后被切开石膏沿特定方向被切开。这石膏沿特定方向被切开。这一过程被称为一过程被称为解理解理，容易被，容易被切开面被称为解理面。切开面被称为解理面。离子晶体沿特定离子晶体沿特定方向被解理示意方向被解理示意图。图。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第3页第3页一一.什么是晶格？什么是晶格？X光衍射证实，晶体外形对称性是其光衍射证实，晶体外形对称性是其构成原子构成原子在空间做有规律周期性排列在空间做有规律周期性排列结果。结果。为了更加好地观测、描述晶体内部原子排列方为了更加好地观测、描述晶体内部原子排列方式，我们把晶体中式，我们把晶体中按周期重复排列那一部分原子按周期重复排列那一部分原子（结构单元）抽象成一个几何点（结构单元）抽象成一个几何点来表示，忽略重复来表示，忽略重复周期中所包括详细结构单元内容而周期中所包括详细结构单元内容而集中反应周期重集中反应周期重复方式复方式，这个从晶体结构中抽象出来几何点集合称，这个从晶体结构中抽象出来几何点集合称之为之为晶体点阵，晶体点阵，简称简称晶格（晶格（crystal lattice）。1.1 晶格（晶格（Crystal lattice）.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第4页第4页 晶体结构 晶体点阵晶体点阵 基元二维正方点阵二维正方点阵点阵学说最早在点阵学说最早在1848年由年由Bravais提出，因提出，因此晶体点阵又称此晶体点阵又称布拉菲格子布拉菲格子（Bravais lattice），），也叫也叫空间格点空间格点（Space lattice）。）。Auguste Bravais(1811-1863).03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第5页第5页描述晶体表面原子排列二维长方点阵描述晶体表面原子排列二维长方点阵.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第6页第6页Po：a=3.34，（1010 m）晶体点阵实例：晶体点阵实例：刚性单原子正方堆积结合成元素晶体：刚性单原子正方堆积结合成元素晶体：二维情况能够用正方点阵表示其周期排列方式。二维情况能够用正方点阵表示其周期排列方式。三维情况能够用三维情况能够用简立方简立方点阵表示其周期排列方式，点阵表示其周期排列方式，含有简立方周期排列元素晶体只有钋（含有简立方周期排列元素晶体只有钋（Po）。）。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第7页第7页CsCl结构中原子排列结构中原子排列 简立方点阵简立方点阵 CsCl.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第8页第8页除去元素晶体外，很多化合物晶体原子也都含有这种周期排列方式，都能够用简立方点阵表示。比如：CsCl等，只是此时基元不是一个原子，而是CsCl分子，和CsCl晶体相同结构化合物还有很多，它们原子排列方式完全相同，只是原子之间距离不同罢了。CsCl：4.1110-10m;CuZn：2.9410-10m;AlNi：2.88LiHg：3.29AgMg：3.29TlBr：3.97.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第9页第9页晶体结构晶体点阵结构基元反应原子周期排列方式反应周期排列内容能够是一个原子能够是一个分子能够是一组原子能够是分子集团它是等同点集合，反应是抱它是等同点集合，反应是抱负、无限大、没有缺点晶体负、无限大、没有缺点晶体中，原子排列情况。是抓住中，原子排列情况。是抓住晶体关键特点后一个高度概晶体关键特点后一个高度概括，将在晶体理论中起到极括，将在晶体理论中起到极其主要作用其主要作用。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第10页第10页思考思考：二维蜂房端点构成阵列是点阵吗？二维蜂房端点构成阵列是点阵吗？.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第11页第11页二二.原胞和基矢原胞和基矢既然点阵是等同点集合，我们只要绘出一个点既然点阵是等同点集合，我们只要绘出一个点阵最小周期单元（一个阵点及相应空间）即可，这阵最小周期单元（一个阵点及相应空间）即可，这个个最小周期重复单元称作点阵原胞（最小周期重复单元称作点阵原胞（Primitive cell）。二维点阵原胞是平行四边形，三维点阵原胞是二维点阵原胞是平行四边形，三维点阵原胞是平行六面体。平行六面体。以原胞边长为点阵基矢构成平移矢量，能够把以原胞边长为点阵基矢构成平移矢量，能够把原胞复制满空间。原胞复制满空间。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第12页第12页二维点阵基矢和原胞二维点阵基矢和原胞 a1a1a1a1a2a2a2a2这是一个二维简朴斜方点阵，原胞和基矢选取都不这是一个二维简朴斜方点阵，原胞和基矢选取都不是唯一，但是唯一，但一定有相同面积一定有相同面积。普通我们选。普通我们选为代表为代表该点阵原胞，称作斜方点阵。该点阵原胞，称作斜方点阵。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第13页第13页另一原则选取法：另一原则选取法：Wigner-Seitz原胞原胞以格点为中心，取和近邻格点连线垂直平分线（面）围成面积（体积）为原胞。这种选取办法是唯一，一个点阵相应一个形式Wigner-Seitz原胞。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第14页第14页a1a2二维正方点阵原胞选取a2a2a1a1.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第15页第15页三维点阵原胞是一个平行六面体，简立方点阵原胞通常选取一个简立方体代表。a3a2a1ra1a2a3晶胞参量定义.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第16页第16页三三.晶体点阵（布拉维格子）数学表示晶体点阵（布拉维格子）数学表示布拉维格子（布拉维格子（Bravais lattice）能够当作）能够当作是矢量是矢量所代表所有点集合。所代表所有点集合。n1、n2、n3取整数取整数,这样定义表明：这样定义表明：晶体点阵是无限大晶体点阵是无限大。是三个不共面矢量，称为布拉维格子基矢基矢（Primitive vector）。称为布拉维格子格矢，其端点称为格点（Lattice site）。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第17页第17页原胞参量：原胞原胞（Primitive cell）是晶体中）是晶体中最小周期性最小周期性重复单元重复单元。原胞常取以基矢为棱边平行六面。原胞常取以基矢为棱边平行六面体，体积为：体，体积为：原则上，原胞能够有各种取法，只要是晶体最小原则上，原胞能够有各种取法，只要是晶体最小重复单元即可。但无论如何选取，原胞都有相同体积，重复单元即可。但无论如何选取，原胞都有相同体积，每个原胞只含有一个格点。为了统一期间，人们商定每个原胞只含有一个格点。为了统一期间，人们商定成俗地为每种点阵要求了代表该点阵惯用成俗地为每种点阵要求了代表该点阵惯用晶胞晶胞，它能，它能够是原胞，它也能够是原胞整倍数。够是原胞，它也能够是原胞整倍数。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第18页第18页原胞也称初基晶胞，或固体物理原胞固体物理原胞，求解固体性质，只需要在一个原胞内进行即可。比如已知原胞内距端点r处某种性质，则通过格矢平移后所有r位置处性质都是相同。这里，我们充足地利用了晶体中原子做周期性排列特点，给求解晶体性质带来了极大简化。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第19页第19页几种惯用词理解：Cell 晶胞晶胞Primitive cell 原胞原胞(初基晶胞）初基晶胞）Wigner-Seitz primitive cell 维格纳塞茨原胞维格纳塞茨原胞Non-primitive cell 非初基晶胞非初基晶胞Conventional cell 惯用晶胞惯用晶胞惯用晶胞是人们商定能够反应点阵对称性特点单位，它也许是点阵一个原胞，也也许是非初基晶胞，但体积一定是原胞整数倍。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第20页第20页四.点阵类型：商定使用惯用晶胞惯用晶胞表示点阵类型.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第21页第21页正方点阵六角点阵简朴长方点阵有心长方点阵.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第22页第22页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第23页第23页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第24页第24页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第25页第25页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第26页第26页表示点阵类型惯用晶胞选取方法：尽也许选取高次对称轴为晶轴方向。晶胞外形尽也许反应点阵对称性。独立晶胞参量最少，并尽也许使晶轴夹角为直角。在满足上述标准前提下尽也许选取原胞作惯用晶胞。惯用晶胞参量：三个边长及三个边夹角：.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第27页第27页小结：晶体点阵（布拉菲格子）1.晶体点阵是一个无限延展点阵，点阵内所有阵点晶体点阵是一个无限延展点阵，点阵内所有阵点完全等价。晶体点阵是等价点集合。完全等价。晶体点阵是等价点集合。2.晶体点阵代表了晶体最本征特性，即：晶体点阵代表了晶体最本征特性，即：晶体含有晶体含有平移对称性平移对称性。3.晶体点阵是晶体原子周期排列方式高度概括和近晶体点阵是晶体原子周期排列方式高度概括和近似描述，一个点阵也许代表了许各种晶体原子周似描述，一个点阵也许代表了许各种晶体原子周期排列方式。期排列方式。4.能够证实：二维空间存在着能够证实：二维空间存在着 5 种点阵类型；三维种点阵类型；三维空间存在着空间存在着14种点阵类型。种点阵类型。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第28页第28页五五.晶体点阵实例：晶体点阵实例：1.刚性原子正方排列刚性原子正方排列,层间交错而排，原子排列周期性层间交错而排，原子排列周期性能够用能够用体心立方点阵体心立方点阵表示。表示。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第29页第29页体心立方点阵简立方点阵按简立方点阵排列，单原子晶体原子最近邻数（配位数配位数）是6；按体心立方点阵排列，单原子晶体原子最近邻是8。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第30页第30页含有体心立方点阵排列元素晶体有：Li,Na,K,Rb,Cs,Ba,Cr,Nb,Ta,W等，它们原子空间排列方式都相同，只是原子间距有所不同。比如：Li：a=3.49,Baa=5.02,Fea=2.87,Va=3.03,Cra=2.88,Taa=3.30,Wa=3.16,(单位1010m).03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第31页第31页2.刚性原子密堆积排列刚性原子密堆积排列：表面原子这种排列能够用二维六角点阵表述。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第32页第32页三维情况有两种方式：按 ABABAB 规律层状排列，形成六角（hexagonalclose-packed,hcp）密堆积：hcp结构中原子配位数是多少？结构中原子配位数是多少？它是点阵么？它是点阵么？.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第33页第33页hcp配位数是配位数是12.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第34页第34页含有密堆六方点阵排列元素晶体有：Be,Mg,Zn,Cd,Gd,Tb,Dy,Ho,Er,Tm,等化合物晶体也诸多。晶体c/aBe1.633Mg1.623Zn1.861Cd1.886Co1.622Lu1.586Gd1.592.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第35页第35页按按 ABCABC 规律层状排列，形成面心立方（规律层状排列，形成面心立方（face-centered cubic,fcc）堆积：立方密堆积）堆积：立方密堆积.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第36页第36页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第37页第37页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第38页第38页fcc配位数为配位数为12按ABCABC规律层状排列构成面心立方点阵面心立方点阵含有面心立方点阵结构元素晶体诸多，有：Cu,Ag,Au,Al,Ca,Pb,Pt,金刚石,Si,Ge,Sn等。化合物晶体也诸多，代表性有：碱金属和卤族元素化合物，如NaCl，KBr等.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第40页第40页它不是点阵！它不是点阵！它是面心立方点阵它是面心立方点阵.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第41页第41页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第42页第42页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第43页第43页NaCl结构中原子排列结构中原子排列.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第44页第44页NaCl结构CsCl结构.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第45页第45页见kittelp15.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第46页第46页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第47页第47页abca3a2a10fcc：abca1a2a30bcc：六六.体心和面心立方点阵基矢和原胞体心和面心立方点阵基矢和原胞.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第48页第48页体心立方基矢和维格纳赛茨原胞，后者是截角八面体，或者说是一个十四周体。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第49页第49页面心立方点阵基矢和原胞及维格纳赛茨原胞，后者是一个正十二面体。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第50页第50页 习习 题题1.1假如将等体积球分别排成下列结构，求证钢球所占体积与总体积之比为：简立方：0.52；体心立方：0.68；面心立方：0.74；1.2写出体心立方和面心立方晶格结构金属中，最近邻和次近邻原子数,若立方边长为a,写出最近邻和次近邻原子间距。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第51页第51页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第52页第52页一一.对称性概念对称性概念 二二.晶体中允许对称操作晶体中允许对称操作 三三.晶体宏观对称性表述：点群晶体宏观对称性表述：点群 四四.七个晶系和七个晶系和14种晶体点阵种晶体点阵 五五.晶体微观对称性：空间群晶体微观对称性：空间群 六六.点群对称性和晶体物理性质点群对称性和晶体物理性质 除去晶体点阵外，晶体结构还能够用什么样除去晶体点阵外，晶体结构还能够用什么样 语言以便地描述语言以便地描述?1.2 对称性和布拉维格子分类对称性和布拉维格子分类.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第53页第53页对称操作：对称操作：维持整个物体不变而进行操作称作对称维持整个物体不变而进行操作称作对称操作。即：操作前后物体任意两点间距离保持不变操作。即：操作前后物体任意两点间距离保持不变操作。操作。点对称操作点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动在对称操作过程中至少有一点保持不动操作。有限大小物体，只能有点对称操作。操作。有限大小物体，只能有点对称操作。对称元素：对称元素：对称操作过程中保持不变几何要素对称操作过程中保持不变几何要素：点，点，反演中心；线，旋转轴；面，反应面等。反演中心；线，旋转轴；面，反应面等。一一.对称性概念对称性概念：二.一个物体（或图形）含有对称性，是指该一个物体（或图形）含有对称性，是指该物体（或图形）是由两个或两个以上部分构成，物体（或图形）是由两个或两个以上部分构成，通过一定空间操作（线性通过一定空间操作（线性变换变换变换变换），各部分调换位），各部分调换位置之后整个物体（或图形）保持置之后整个物体（或图形）保持不变不变不变不变性质。性质。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第54页第54页一些图形对称操作：一些图形对称操作：如何科学地概括和区别四种图形对称性？如何科学地概括和区别四种图形对称性？从旋转来看，圆形对绕中心任何旋转都是不变；正方形从旋转来看，圆形对绕中心任何旋转都是不变；正方形只能旋转只能旋转 才保持不变；后才保持不变；后2个图形只有个图形只有 旋转。旋转。圆形任始终径都是对称线；正方形只有圆形任始终径都是对称线；正方形只有4条连线是对称线；条连线是对称线；等腰梯形只有两底中心连线是对称线。等腰梯形只有两底中心连线是对称线。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第55页第55页以上，考察在一定几何变换之下物体不变性，使用几何变换（旋转和反射）都是正交变换正交变换保持两点保持两点距离不变变换：距离不变变换：其中Aij为正交矩阵从解析几何知道，符合正交变换是：绕固定轴转动绕固定轴转动(Rotation about an axis)绕z轴旋转角数学上能够写作：.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第56页第56页反演反演：（Inversion)反应反应（Reflection)恒等操作恒等操作（Z=0平面）表示对称操作符号有两种，这里用是表示对称操作符号有两种，这里用是国际符号国际符号。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第57页第57页假如，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个变换为物体一个对称操作。一个物体也许对称操作越多，它对一个物体也许对称操作越多，它对称性就越高。称性就越高。立方体含有较高对称性，它有48个对称操作：绕4条体对角线体对角线能够旋转共8个对称操作；绕3个立方边立方边能够旋转共9个对称操作；绕6条棱棱对角线对角线能够转动，共 6 6 个对称操作；加上恒等操作共2424个。立方体体心为中心反演，因此以上每一个操作加上中心反演后，仍为对称操作，因此立方体共有4848个对称操作。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第58页第58页通过仔细分析可知正四周体允许对称操作只有24个；正六角拄对称操作也只有24个，它们都没有立方体对称性高。请思考它们对称操作？请思考它们对称操作？.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第59页第59页数学上看，群代表一组元素集合G=E,A,B,C,D,这些元素被赋予一定乘法法则，满足下列性质：1.若A,BG则ABCG,这是群闭合性。2.存在单位元素E,使所有元素满足：AE=A3.任意元素A，存在逆元素：AA-1=E4.元素间满足结合律：A(BC)=(AB)C对称操作群：对称操作群：一个物体所有对称操作集合，构成对称一个物体所有对称操作集合，构成对称操作群。描述物体对称性需要找出物体所有对称操作，操作群。描述物体对称性需要找出物体所有对称操作，也就是找出它所含有对称操作群。也就是找出它所含有对称操作群。一个物体所有对称操作集合，也满足上述群定义，一个物体所有对称操作集合，也满足上述群定义，运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第60页第60页注意注意：在阐明一个物体对称性时，为了简便，有在阐明一个物体对称性时，为了简便，有 时不去一一列举所有对称操作，而是指出它对称时不去一一列举所有对称操作，而是指出它对称元素，若一个物体绕某一个转轴转元素，若一个物体绕某一个转轴转 以及它倍数以及它倍数物体保持不变时，便称作物体保持不变时，便称作 n 重旋转轴重旋转轴，记做，记做 n；若一；若一个物体绕某一转轴转个物体绕某一转轴转 再作反演以及转动它倍数再作反演以及转动它倍数再作反演物体保持不变时，该轴称作再作反演物体保持不变时，该轴称作 n 重旋转反演重旋转反演轴轴,记做记做 。立方体对称元素有：。立方体对称元素有：正四周体对称元素只有：正四周体对称元素只有：却没有却没有显然，列举出一个物体对称元素和说出它对称操显然，列举出一个物体对称元素和说出它对称操作同样，都能够表明出物体对称特点。作同样，都能够表明出物体对称特点。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第61页第61页二二.晶体中允许对称操作：晶体中允许对称操作：人们早就指出，晶体外形（宏观）对称性是其原子做周期性排列结果。原子排列周期性用晶体点阵表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操作后也应当保持不变，这就限制了晶体所也许有点对称操作数应当保持不变，这就限制了晶体所也许有点对称操作数目，目，能够证实：无论任何晶体，它宏观对称元素最多只也许有10种（一说8种）对称元素：阐明：阐明：是反应面是反应面 m，而，而 不是独立不是独立。8种说法指：对称操作符号，除去以上使用国际符号外，还通常使用熊夫利符号熊夫利符号。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第62页第62页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第63页第63页旋转反演轴对称操作：旋转反演轴对称操作：1次反轴为对称中心；2次反轴为对称面；3次反轴为3次轴加反演对称中心.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第64页第64页旋转反演轴对称操作：6次反轴为3次轴加对称面；4次反轴能够独立存在。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第65页第65页见黄昆书30页晶体中只有晶体中只有 2，3，4，6 次次旋转轴，没有旋转轴，没有 5次轴和不小次轴和不小于于 6 次以上轴，能够直观次以上轴，能够直观从只有正方形、长方形、正从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形能够重复三角形、正六边形能够重复充斥平面，而充斥平面，而 5 边形和边形和 n(6)边形不能充斥平面空间边形不能充斥平面空间来直观理解。因此固体中不来直观理解。因此固体中不也许存在也许存在 5 次轴曾是大家共次轴曾是大家共识，然而识，然而1984年美国科学家年美国科学家Shechtman在急冷铝锰合在急冷铝锰合金中发觉了晶体学中禁戒金中发觉了晶体学中禁戒 20 面体含有面体含有 5 次对称性，次对称性，这是对老式晶体观念一次冲这是对老式晶体观念一次冲击。击。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第66页第66页20面体对称性.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第67页第67页黄昆书47页当前普遍结识是：晶体必要条件是其构成原子长程有序，而不是平移对称性，含有5次对称性准晶体（Quasicrystal）就是属于原子有严格位置有序，而无平移对称性晶体。它图像可从二维Penrose拼图中得到理解。实际是一实际是一个准周期结构，是个准周期结构，是介于周期晶体和非介于周期晶体和非晶玻璃之间一个新晶玻璃之间一个新物质形态物质形态准晶准晶态态。见冯端书p72 是黄金比值.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第68页第68页Roger Penrose.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第69页第69页三.晶体宏观对称性表述：点群：晶体中只有8种独立对称元素：C1(1)、C2(2)、C3(3)、C4(4)、C6(6)、Ci(i)、(m)和实际晶体对称性就是由以上八种独立点对称元素各种可能组合之一，由对称元素组合成对称操作群时，对称轴之间夹角、对称轴数目，都会受到严格限制，比如，若有两个2重轴，它们之间夹角只可能是，能够证实总共只能有32种不同组合方式，称为32种点群。形形色色晶体就宏观对称性而言，总共只有这32种类型，每种晶体一定属于这32种点群之一，这是对晶体按对称性特点进行第一步分类。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第70页第70页四四.7 种晶系和种晶系和14种布拉菲格子种布拉菲格子：1.1中我们讨论了晶体周期性晶体周期性，现在我们又分析了晶体宏观对称性晶体宏观对称性，它们是晶体中原子有序排列是晶体中原子有序排列所反应互相联系、互相制约两个侧面两个侧面。任何晶体都含有晶体点阵所代表基本周期性，由此我们导出了晶体宏观对称性所含有32种点群类型。现在我们反过来提出问题，晶体假如含有某种宏观对称，它应当含有如何点阵？也就是说假如要求一个晶体点阵阵矢要含有某一点群对称性，它基矢应当满足如何要求？.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第71页第71页首先经过度析发觉，一些不同点群之间，有一些相同特性，比如：3种四周体群和2种八面体群都含有4个3重轴，能够把它们归为一个晶系，包含上述5个点群。依次类推，能够依据一些特性对称元素，把32种点群归并为7个晶系。这是对晶体对称性更概括分类。对应于这7个晶系点阵及选择出点阵原胞（经过对晶轴相对取向选择）也应该表达这些晶系对称性，我们称之为惯用晶胞。它们都是简朴格子，比如简立方格子包含4个3重轴和3个4次轴，能够代表立方晶系晶胞等，如此我们得到7个晶系名称及其对晶胞要求。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第72页第72页1.三斜晶系Triclinic除了1次轴或中心反演外无其它对称元素2.单斜晶系Monoclinic最高对称元素是一个2次轴或镜面3.正交晶系Orthorhombic最高对称元素是2个以上2次轴或镜面4.四方晶系Tetragonal最高对称元素是一个4次轴或一个4次反轴5.立方晶系Cubic含有4个3次轴6.三方晶系Trigonal(菱方晶系Rhombohedral)最高对称含有唯一3次轴或3次反轴7.六方晶系Hexagonal最高对称含有唯一6次轴或6次反轴.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第73页第73页14种Bravais格子：依据晶体对称性特性，我们已经将晶体划分成七个晶系，每个晶系都有一个能反应其对称性特性晶胞，每个晶胞端点安放一个阵点，就是一个晶体点阵原胞，共形成7种点阵。现在考虑在原胞体心、面心和单面心上增加阵点可能，新图像必须符合平移对称性和晶系对称性要求，且又不同于上述7种简朴点阵，结果又给出7种新点阵类型，因此既能反应平移对称性又能反应所属晶系对称性特性晶体点阵共有14种，它们惯用晶胞以下页所表示：P：简朴格子；C：底心格子；I：体心格子；F：面心格子，三方晶系菱形原胞用R表示。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第74页第74页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第75页第75页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第76页第76页The 7 lattice systemsThe 14 Bravais latticestriclinicPmonoclinicPCorthorhombicPCIF.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第77页第77页tetragonalPIrhombohedralPhexagonalPcubicPI(bcc)F(fcc).03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第78页第78页任何一个晶体，相应晶格都是14种点阵中一个，指出晶体所属点阵类型不但表征了晶体晶格周期性类型，并且也能从它所属晶系理解到该晶体宏观对称所含有基本对称性。但完整但完整地阐明晶体结构，除去需要拟定其点阵类型外，地阐明晶体结构，除去需要拟定其点阵类型外，还要知道基元中原子种类、数量、相对取向及还要知道基元中原子种类、数量、相对取向及位置，绘出带有基元内容点阵惯用晶胞。位置，绘出带有基元内容点阵惯用晶胞。但是一些比较简朴晶体，在拟定出它点阵类型和晶胞参量后就已经能够完全掌握它结构了，比如：Cu;Si；NaCl;CsCl;ZnS等。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第79页第79页14种晶体点阵各有它们自己惯用晶胞，同样也能够选出它们各自原胞和基矢，每一个点阵都能够用其基矢表示点阵矢量来表示：每一个点阵所有平移矢量之和构成平移操作群。因此晶体共有晶体共有14个平移操作群个平移操作群。使晶体复原所有转动、平移操作群集合构成空间群空间群。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第80页第80页五五.晶体微观对称性：空间群晶体微观对称性：空间群（spacegroup）晶体微观结构必须考虑与平移相关对称元素：1.平移操作与平移轴平移轴。2.螺旋旋转与螺旋轴螺旋轴。3.滑移反应与滑移面滑移面32种点群，再加上这3类也许操作就能够导出230种空间群。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第81页第81页空间群是对晶体对称性更细致分类，反应了晶体空间群是对晶体对称性更细致分类，反应了晶体中各原子位置及环境特点，对于进一步分析晶体性质，中各原子位置及环境特点，对于进一步分析晶体性质，非常主要。非常主要。所有晶体结构，就它对称性而言，共有230种类型，这是理论上分析结果，至当前为止，尚有几十种至当前为止，尚有几十种空间群尚未找到详细晶体例子空间群尚未找到详细晶体例子。除了普通三个空间维度（即位置坐标）外，还也许要考虑另一个含有不连续维度，比如原子自旋上下，这时该空间对称群被叫做色群色群，理论分析应当有1651种类型。（见冯端书p51-52).03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第82页第82页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第83页第83页六六.点群对称性和晶体物理性质：点群对称性和晶体物理性质：物体物理性质，常通过两个物理量之间关系来定义，比如下列关系分别给出密度、电导率和介电常数：晶体诸多物理性质是各向异性，均依赖于测量方向，数学上表示为张量：Neumann定理：晶体任一宏观物理性质一定含有它所晶体任一宏观物理性质一定含有它所属点群一切对称性属点群一切对称性。因而点群对称性将会大大减少独立张量元数目。通常，能够通过选择坐标轴为主轴，使张量对角化来达到。比如选择6重轴为z轴话，6角晶系晶体介电常数能够用表示。立方晶系只需要一个参量表示。（见习题）.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第84页第84页.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第85页第85页一一.晶体结构表示办法晶体结构表示办法 二二.晶向、晶面和它们标志晶向、晶面和它们标志 三三.晶面间距晶面间距 四四.典型晶体结构典型晶体结构 五五.多晶型现象和结构相变多晶型现象和结构相变1.3 几种常见晶体结构几种常见晶体结构.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第86页第86页晶体结构表示方法指出晶体所属点阵、晶系、点群和空间群类型是在不同层次上对晶体结构做描述。以NaCl为例说明。面心立方点阵说明了它属于立方晶系，能够用a=b=c,=90面心立方晶胞表示其原子周期排列特点。点群为Oh，说明了它外形含有宏观对称性。空间群为Oh5-Fm3m,指出了它原子排列规律。至此我们才干够说对NaCl晶体几何结构特点有了比较充分认识。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第87页第87页对晶体结构几何特性理解晶体结构几何特性理解归结为绘出它结晶学晶胞归结为绘出它结晶学晶胞（包括基元中原子种类、数量、相对取向及位置点阵惯用原胞），定出所有定出所有原子位置，并拟定出它晶原子位置，并拟定出它晶胞参量：胞参量：a,b,c和,通过X光衍射等试验办法即能够做到这些。对NaCl晶体结构测定，使我们得到了右面反应其完整结构晶胞图（测定原理见1.5节）Cl-1Na+1a=5.628zyx.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第88页第88页NaCl结构中原子排列结构中原子排列.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第89页第89页NaCl晶体为八面体群说明：Oh,它每个原子都处于不同原子组成8面体体心位置。考虑它晶场时就要注意到这个特点。点群对称操作：体对角线是3重轴；3条棱边是4重轴；棱对角线是2重轴，体心是反演中心。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第90页第90页原子位置表示原子位置表示：绘制晶胞时需要明确指出基元中各原子位置。基元中第j个原子中心位置相对于作为坐标原点格点位置能够表示为：假如以晶胞各边长度做单位以晶胞各边长度做单位，NaCl中，Cl原子位置为：Na原子位置为：CsCl晶体为简立方晶胞，Cs原子在000，Cl原子在。xyz.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第91页第91页简朴晶格和复式晶格：简朴晶格和复式晶格：许多元素晶体，其最小重复单元就是一个原子许多元素晶体，其最小重复单元就是一个原子，知道了它点阵类型，把阵点换成原子，就是它晶胞，我们常称它含有简朴晶格简朴晶格。比如：含有体心立方结构碱金属Li、Na、K，和含有面心立方结构Cu，Ag，Au晶体都是简朴晶格。简朴晶格晶体中所有原子是简朴晶格晶体中所有原子是完完完完全等价全等价全等价全等价，它们不但化学性质相同并且在晶格中处于完，它们不但化学性质相同并且在晶格中处于完全相同位置，有完全相同环境，比如近邻、次近邻原全相同位置，有完全相同环境，比如近邻、次近邻原子数目、原子种类等。子数目、原子种类等。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第92页第92页但有些元素晶体和全部化合物晶体，其最小重复单位（基元）最少包含2个或2个以上原子，它们每一个原子即使都组成一样点阵类型（即一样周期排列方式），但绘成晶胞时，要绘出基元原子之间位置上相互关系，因此是一样点阵类型叠加，我们称这些晶体含有复式晶格。比如：CsCl晶体是两个原子各自组成简立方点阵后，沿晶胞对角线方向移动二分之一距离叠加。NaCl晶体是两个原子各自形成一个面心立方点阵后，沿立方边方向移动二分之一晶胞边长距离叠加。上述复式晶格中，每种原子本身是等价，有完全相同环境，但两类原子是不等价，它们几何环境是完全不同。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第93页第93页CsCl晶体中，Cs离子最近邻是8个Cl离子，而Cl离子最近邻则是8个Cs离子，NaCl晶体中，Na离子最近邻是6个Cl离子，Cl离子最近邻则是6个Na离子。元素晶体也不都是简朴晶格，比如密堆六方（hcp）晶体Be，Mg，Zn，Gd等，它基元包含2个原子，虽是同种原子，但它们几何环境是不等价，从一个A层原子看上下两层原子三角形，和从一个B层原子看上下两层原子三角形是不同。它是复式晶格，它基元有2个原子。A层层A层层B层层.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第94页第94页晶体Cu,Al,Au,AgNaCl,MgO 金刚石型Si,Ge,闪锌矿立方ZnS点阵类型fccfccfccfcc点群类型OhOhOhTd空间群其它符号A1 B1A4B3几种立方晶系晶体结构表示.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第95页第95页二.晶向、晶面和它们标志：晶体一个基本特点是各向异性，沿晶格不同方向晶体性质不同，因此有必要识别和标志晶格中不同方向。点阵格点能够分列在一系列平行直线系上，这些直线系称作晶列。同一点阵能够形成不同晶列，每一个晶列定义一个方向，称作晶向。假如从一个阵点到最近一个阵点位移矢量为：(以基矢为单位）则晶向就用来标志。.03.03固态电子论固态电子论A(1)A(1)第96页第96页按照上述办法拟定简立方晶格晶向如图所表示，晶向指数晶向指数和坐标系选取相关，