太原理工大学微积分公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第三节第三节 二重积分计算二重积分计算一一 二重积分几何意义二重积分几何意义二二 直角坐标系下二重积分计算直角坐标系下二重积分计算三三 极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算四四 小结小结第1页第1页 按定义，二重积分是一个特定乘积和式极限按定义，二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，普通然而，用定义来计算二重积分，普通情况下是非常麻烦。情况下是非常麻烦。那么，有无简便计算办法呢那么，有无简便计算办法呢?这这就是我们今天所要研究课题。下面简介就是我们今天所要研究课题。下面简介:一、一、二重积分几何意义二重积分几何意义第2页第2页解：解：对区域对区域 D 进行网状分割（如图）进行网状分割（如图）1.1.曲顶柱体体积曲顶柱体体积 一曲顶柱体其顶为曲面一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域底面为平面区域 D,求此曲顶柱体体积求此曲顶柱体体积。D第3页第3页2）近似近似在每个小区域在每个小区域内任取一点内任取一点则每个小曲顶柱体体积近似为：则每个小曲顶柱体体积近似为：3）求和求和 所有小区域相应小曲顶柱体体积所有小区域相应小曲顶柱体体积 之和为：之和为：4）取极限取极限其中其中第4页第4页曲顶柱体体积曲顶柱体体积第5页第5页（其中（其中xoy面上方曲顶柱体体积取正，面上方曲顶柱体体积取正，xoy面下方曲顶柱体体积取负。）面下方曲顶柱体体积取负。）3）假如）假如则二重积分则二重积分解释为曲顶柱体体积代数和。解释为曲顶柱体体积代数和。2）假如）假如则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体体积负值。为曲顶柱体体积负值。为曲顶柱体体积。为曲顶柱体体积。1）假如）假如则二重积分则二重积分解释解释2.2.二重积分几何意义二重积分几何意义第6页第6页二、直角坐标系下二重积分计算二、直角坐标系下二重积分计算二重积分仅与被积函数及积分区域相关二重积分仅与被积函数及积分区域相关,为此为此,先简介：先简介：1.1.积分域积分域 D（1 1）X 型区域型区域假如积分区域为：假如积分区域为：第7页第7页a.平行于平行于 y 轴且穿过区域直轴且穿过区域直线与线与 区域边界交点不多于两个。区域边界交点不多于两个。X 型区域特点型区域特点第8页第8页（2 2）Y 型区域型区域a.平行于平行于 x 轴且穿过区域直线与区域轴且穿过区域直线与区域 边界交点不多于两个。边界交点不多于两个。假如积分区域为：假如积分区域为：Y 型区域特点型区域特点第9页第9页2.2.X型区域下二重积分计算型区域下二重积分计算 (曲顶柱体体积曲顶柱体体积)则则由几何意义由几何意义其中其中此为平行截面面积为已知立体体积此为平行截面面积为已知立体体积。截面为曲边梯形面积截面为曲边梯形面积 为：为：第10页第10页yzo第11页第11页若若 (x,y)0 仍然合用。仍然合用。2 2）积分顺序）积分顺序 X型区域型区域,先先Y 后后 X；3 3）积分限拟定法）积分限拟定法 域中一线插域中一线插,内限定上下，内限定上下，域边两线夹，外限依托域边两线夹，外限依托它。它。为以便，上式也常记为：为以便，上式也常记为：1 1）上式阐明）上式阐明 二重积分可化为二次二重积分可化为二次 定定积分计算；积分计算；第12页第12页3.3.Y-型域下二重积分计算型域下二重积分计算同理，同理，Y型区域也为平行截面面积型区域也为平行截面面积 为已知立体体积。为已知立体体积。于是于是第13页第13页 1）积分顺序）积分顺序 Y-型区域型区域,先先 X 后后 Y；2）积分限拟定法）积分限拟定法 “域中一线插域中一线插”,”,须用平行于须用平行于X 轴轴 射线穿插积分区域射线穿插积分区域 。第14页第14页注意注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确拟定积分限，一定要做到纯熟、准确。正确拟定积分限，一定要做到纯熟、准确。4.4.利用直角坐标系计算二重积分环节利用直角坐标系计算二重积分环节（1）画出积分区域图形）画出积分区域图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）拟定积分限，化为二次定积分；）拟定积分限，化为二次定积分；（2）依据积分域类型及被积函数）依据积分域类型及被积函数,拟定积分顺序；拟定积分顺序；（4）计算两次定积分，即可得出结果。）计算两次定积分，即可得出结果。第15页第15页05.区域为组合域区域为组合域 假如积分区域既是假如积分区域既是X型，型，又是又是Y型型,则有：则有：如图，如图，则：则：第16页第16页解：解：X型型第17页第17页Y型型第18页第18页解：解：例例2 2第19页第19页解：解：-12例例3 3第20页第20页解：解：积分区域如图积分区域如图xy0231原式原式第21页第21页a解：解：原式原式第22页第22页解：解：例例6 6先去掉绝对值符号，先去掉绝对值符号，第23页第23页解：解：第24页第24页二重积分在直角坐标下计算公式二重积分在直角坐标下计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分顺序）积分顺序）Y型型X型型小结小结第25页第25页三、三、极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算 当一些二重积分积分区域当一些二重积分积分区域D用极坐标表用极坐标表示比较简朴，或者一些函数它们二重积分在示比较简朴，或者一些函数它们二重积分在直角坐标系下主线无法计算时，我们能够在极直角坐标系下主线无法计算时，我们能够在极坐标系下考虑其计算问题。坐标系下考虑其计算问题。第26页第26页1.1.直系与极系下二重积分关系直系与极系下二重积分关系（1）极系下面积元素变换）极系下面积元素变换第27页第27页（2）二重积分转换公式）二重积分转换公式第28页第28页（3）注意注意 将直角坐标系下二重积分化为极坐将直角坐标系下二重积分化为极坐 标系下二重积分需要进行标系下二重积分需要进行“三换三换”：第29页第29页2.2.极系下二重积分化为二次积分极系下二重积分化为二次积分用两条过极点射线夹平面区域，用两条过极点射线夹平面区域，由两射线倾角得到其上下限。由两射线倾角得到其上下限。作过极点射线与平面区域相交不多于两点，由作过极点射线与平面区域相交不多于两点，由穿进点，穿出点极径得到其上下限。穿进点，穿出点极径得到其上下限。将直系下二重积分化为极系后，极系下二重将直系下二重积分化为极系后，极系下二重积分仍然需要化为二次积分来计算积分仍然需要化为二次积分来计算。第30页第30页（1）区域如图）区域如图1详细地详细地图图1第31页第31页（2）区域如图）区域如图2图图2第32页第32页图图3（3）区域如图）区域如图3第33页第33页（4）区域如图）区域如图4图图4第34页第34页解：解：第35页第35页解：解：第36页第36页第37页第37页第38页第38页解：解：第39页第39页第40页第40页解：解：在极系下：在极系下：例例1111 求球体求球体 被圆柱体被圆柱体 所截得立体所截得立体 （含在圆柱体内部分）体积。（含在圆柱体内部分）体积。第41页第41页o2a第42页第42页解：解：第43页第43页计算二重积分应当注意下列几点计算二重积分应当注意下列几点 先要考虑积分区域形状，看先要考虑积分区域形状，看其边界曲线用直系方程表示简朴还是极系方程表其边界曲线用直系方程表示简朴还是极系方程表示简朴，还要看被积函数特点，看使用极坐标后示简朴，还要看被积函数特点，看使用极坐标后函数表示式能否简化并易于积分。函数表示式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。另一方面，化二重积分为二次积分。另一方面，化二重积分为二次积分。依据区域形状依据区域形状 和类型拟定积分顺序，从而穿线拟定内限，和类型拟定积分顺序，从而穿线拟定内限，夹线拟定外限。夹线拟定外限。最后，计算二次积分。最后，计算二次积分。由内向外逐层计算，内由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。层积分计算时，外层积分变量看做常量。四、四、小结小结第44页第44页