1、1.3.2奇偶性奇偶性(第第1学学时时函数奇偶性概念函数奇偶性概念)/10/101研修班第1页第1页/10/102研修班第2页第2页/10/103研修班第3页第3页1若奇函数f(x)在x0处故意义，则f(0)是什么？【提醒】由奇函数定义，f(x)f(x)，则f(0)f(0)，f(0)0.2奇(偶)函数定义域有什么特点？这种特点是如何影响函数奇偶性？/10/104研修班第4页第4页【提醒】(1)偶函数(奇函数)定义中“对D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明f(x)与f(x)都故意义，即x、x同时属于定义域因此偶(奇)函数定义域是关于坐标原点对称也就是说，定义域
2、关于坐标原点对称是函数含有奇偶性前提条件(2)若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数/10/105研修班第5页第5页/10/106研修班第6页第6页/10/107研修班第7页第7页(3)函数f(x)定义域为x|x3；定义域不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数判断函数奇偶性，普通有下列几种办法：定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而拟定奇偶性/10/108研修班第8页第8页图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴
3、对称，则函数为偶函数另外，尚有下列性质可鉴定函数奇偶性：偶函数和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数积为奇函数(注：利用以上结论时要注意各函数定义域)/10/109研修班第9页第9页/10/1010研修班第10页第10页/10/1011研修班第11页第11页(3)xR，f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，f(x)是奇函数/10/1012研修班第12页第12页【思绪点拨】由题目可获取下列主要信息：已知函数为分段函数；判断此函数奇偶性解答本题可依据函数奇偶性定义加以阐明【
4、解析】(1)当x0f(x)(x)2(x)1，x2x1(x2x1)f(x)(2)当x0时，x0时，f(x)满足f(x)x2x1，x0时，x0f(x)x2f(x)当x0f(x)(x)2x2f(x)当x0时，f(x)0f(x)f(x)是偶函数/10/1015研修班第15页第15页已知函数f(x)不恒为0，当x、yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)求证：f(x)是奇函数【思绪点拨】令xy0求f(0)令yxf(x)f(x)结论【证实】函数定义域为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，则f(0)f(x)f(x)，再令xy0，则f(0)f(0)f(0)，得f(0)0，f(x)f(x)
5、f(x)为奇函数/10/1016研修班第16页第16页抽象函数奇偶性鉴定通惯用定义法，主要是充足利用所给条件，想法寻找f(x)与f(x)之间关系，这类题目惯用到f(0)，可通过给式子中变量赋值，结构出0，把f(0)求出来3.本例中，若将条件“f(xy)f(x)f(y)”改为f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数/10/1017研修班第17页第17页【证实】令x0，yx，则f(x)f(x)2f(0)f(x)又令xx，y0得f(x)f(x)2f(x)f(0)得f(x)f(x)f(x)是偶函数/10/1018研修班第18页第18页1准确理解函数奇偶性定准确理解函数奇偶性定义义(1)偶函数(奇函数)定义中“对D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明f(x)与f(x)都故意义，即x、x同时属于定义域因此偶(奇)函数定义域是关于坐标原点对称也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数含有奇偶性前提条件存在既是奇函数又是偶函数函数，即f(x)0，xD，这里定义域D是关于坐标原点对称非空数集(2)函数按奇偶性能够分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数/10/1019研修班第19页第19页/10/1020研修班第20页第20页/10/1021研修班第21页第21页
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