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内容与学时内容与学时第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 随机变量数字特性随机变量数字特性第四章第四章 随机变量函数数字特性随机变量函数数字特性第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数预计参数预计第八章第八章 假设检查假设检查(18学时学时)数理统计数理统计(30学时学时)概概 率率 论论第1页第1页二、参考学习书目：二、参考学习书目：概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计学习辅导与习题解答概率论与数理统计学习辅导与习题解答浙江大学二、三版浙江大学二、三版 高教出版社出版高教出版社出版第2页第2页自然界和社会中有两类现象：自然界和社会中有两类现象：拟定性现象拟定性现象：在一定条件下必定发生：在一定条件下必定发生 （或不发生）现象（或不发生）现象例例 抛一石子必定落下；抛一石子必定落下；（结果能够事先预言）（结果能够事先预言）随机现象：随机现象：在一定条件下，其结果也许出现也在一定条件下，其结果也许出现也也许不出现现象。也许不出现现象。（结果不可事先预言）（结果不可事先预言）例例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；在每次观测中含有偶然性，而在大量重复在每次观测中含有偶然性，而在大量重复 绪绪 言言 同性电荷必不互相吸引；同性电荷必不互相吸引；第3页第3页机动 目录 上页 下页 返回 结束 观测中含有某种统计规律性现象。观测中含有某种统计规律性现象。研究对象研究对象：概率统计是研究随机现象统计规律性 一门数学分支。第4页第4页 第一章 第一节随机事件及概率一、随机试验一、随机试验二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间三、事件间关系及其运算三、事件间关系及其运算第5页第5页一、随机试验一、随机试验对随机现象进行观测试验，含有下列特点：1、能够在相同条件下重复进行；2、试验也许结果不止一个，并且在试验前能 预先知道所有也许结果；3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。E1:抛一枚硬币，观测出现正反面情况。例例：E2:将一枚硬币连抛三次，观测出现正反面情况。E4:在一批灯泡中任取一只,测试它寿命。E3:统计电话互换台一分钟内接到呼唤次数。第6页第6页机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间定义定义1随机试验E所有也许结果构成集合称为E样本空间样本空间,记为,样本空间元素,即E每个结果，称为样本点样本点,记为记为e。比如上页引例中：=H,T=HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT有限个样本点可列无穷个=0,1,2,3=t|t0连续、不可列.样本空间样本空间1 1 2 2 3 3 4 4 第7页第7页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例：例：将一枚硬币连抛三次1)观测正反面出现情况,2)观测正面出现次数,.随机事件随机事件定义定义2 样本空间中子集称为随机事件随机事件，简称事件事件，普通记为 A,B,C等。A 点数之和为7,例：例：抛两个骰子，骰子可分辨，观测其出现点数，注意：注意：样本空间元素是由试验目所决定。=HHH,HHT1 1=0,1,2,32 2=11,12,13,61,66 A=16,25,34,43,52,61第8页第8页机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊随机事件：特殊随机事件：3.基本事件：基本事件：一个样本点构成单点集(试验E每个也许结果）例：例：有两个基本事件 H 和 T 1.必定事件：必定事件：每次试验中必定发生事件,记为。2.不也许事件：不也许事件：每次试验一定不发生事件,记事件A发生A中某一个样本点在试验中出现第9页第9页机动 目录 上页 下页 返回 结束 包括、相等关系包括、相等关系A发生必定造成B发生1.1.事件关系事件关系三、事件间关系及其运算三、事件间关系及其运算事件B包括事件AA与B相等，记为 A=B。第10页第10页机动 目录 上页 下页 返回 结束 事件和A和B和事件表示A与B中至少有一个发生，即：A与B中至少有一个发生时，发生。第11页第11页机动 目录 上页 下页 返回 结束 事件积表示事件A和B同时发生，即：且A与B积事件当且仅当A与B同时发生时，通常简记为AB。发生。第12页第12页机动 目录 上页 下页 返回 结束 事件差A-B 表示事件A发生但事件B不发生但互斥事件(互不相容)，则称A,B为互不相容事件即：AB不能同时发生。对立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A与B差事件且，则称事件A与B互为逆事件或互为对立事件。A对立事件记为,=-A。第13页第13页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.事件运算法则互换律；结合律分派律德摩根律：；推广推广：;第14页第14页机动 目录 上页 下页 返回 结束，则，设注：事件一些关系式注：事件一些关系式 第15页第15页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件(1)A 发生,B 与C 不发生(2)A 与B 发生,C 不发生(3)A,B 与C 都发生(4)A,B 与C 至少有一个发生(5)A,B 与C 全不发生(6)A,B 与C 至少有两个发生第16页第16页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.在掷子试验中,样本空间事件A 出现偶数点,事件B 出现奇数点 事件C 出现点数不小于4,事件D 点数不小于5 求:解:A=2,4,6 ,B=1,3,5 ,C=5,6 D=6第17页第17页二、概率统计定义二、概率统计定义 一一、频率、频率 第二节 概 率定义及性质三、概率公理化定义三、概率公理化定义 第18页第18页机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个事件在某次试验中出现含有偶然性，但在大量重复试验中随机事件出现呈现一定数量规律，频率这一概念近似反应了这个数量规律。1.定义定义 1 设 E,A为E中某一事件，在相同条件进行n次独立重复试验，事件A发生次数记为称为A频率频率。(frequency)2.性质：性质：01一、频率一、频率则比值第19页第19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 若两两互不相容结论：结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；伴随n增长，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。历史上著名统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币试验，所得结果下列：试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面次数正面频率404020480.5069160190.50162400010.5005第20页第20页机动 目录 上页 下页 返回 结束 这种称为频率稳定性，也就是通常所说统计规律性，频率稳定值注：注：试验次数越多，并不阐明越准确，只能阐明波动 范围越小。即概率统计定义。二、概率（概率公理化定义）二、概率（概率公理化定义）1.定义定义 设 E,对于E每一事件A，赋予一个实数，记为P(A),称为事件A概率,假如P()满足下列三个公理：非负性非负性：规范性规范性：可列可加性可列可加性：第21页第21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.性质：性质：故由可列可加性又由于0，有限可加性其中两两互不相容。，则证实证实 取因此第22页第22页机动 目录 上页 下页 返回 结束 假如则证实证实 且 A 和 BA互不相容得式成立；，01第23页第23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 证实证实推广：推广：(加法公式)BA第24页第24页机动 目录 上页 下页 返回 结束 提醒：可用归纳法证实例例1.已知证实:例例2、解：第25页第25页例例3 某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨概率为0.6，第二天下雨概率为0.3，两天都下雨概率为0.1,试求下列事件概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨(3)至少有一天下雨解：解：设A第一天下雨，B第二天下雨则(5)至少有一天不下雨第26页第26页机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)(2)(3)(4)(5)第27页第27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 (订报问题)在某都市中，共发行三种报纸A，B，C，订购A，B，C用户占用分别为45%，35%，30%，同时订购A，B占10%，同时订购A，C占8%，同时订购B，C占5%，同时订购A，B，C占3%，试求下列事件概率：(1)只订购A(2)只订购A，B(3)只订购一个报纸(4)只订购两种报纸(5)至少订购一个报纸(6)不订购任何报纸第28页第28页机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”(1)(2)(3)两两互不相容第29页第29页机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)两两互不相容(5)(6)第30页第30页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 已知求 A,B,C 中至少有一个发生解解概率。第31页第31页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 证实证证例例5，求解解AB第32页第32页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6，求解解 从定义出发求概率是不切实际，下节将针对特殊类型概率求事件概率。AB第33页第33页 第一章 第三节古典概型和几何概型一、等也许概型定义一、等也许概型定义二、计算公式二、计算公式三、计算办法三、计算办法第34页第34页一、一、古典概率模型古典概率模型第35页第35页1.定义：定义：含有下列两个条件随机试验称为等也许概型，有限性 试验样本空间中元素只有有限个；等也许性 每个基本事件发生也许性相同。例例：E1抛硬币,观测哪面朝上2.计算公式：计算公式：等也许概型也称为古典概型。E2投一颗骰子，观测出现点数=H,T 1 1=1,2,3,4,5,62 2 第36页第36页机动 目录 上页 下页 返回 结束 若事件A包括k个基本事件，即其中(表示中k个不同数)则有第37页第37页第38页第38页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 投两枚骰子，事件A“点数之和为3”，求解解 法一：出现点数之和也许数值11 12 21 不是等也许法二：36个 要注意对于用时候要两个条件都满足。第39页第39页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 投两枚骰子，点数之和为奇数概率。解解 令A点数之和为奇数法一，36个18个法二，所有也许结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A=(奇,偶)，(偶,奇)说明样本空间选取能够不同，但必须确保等可能。第40页第40页机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.办法：办法：结构A和样本点(当样本空间元素较少时，先一一列出和A中元素，直接利用求解)用排列组合办法求A和样本点个数预备知识预备知识.加法原理：加法原理：完毕一项工作m类办法，第i类办法有种，(i=1,2,m)，则完毕这项工作共有：种办法。.乘法原理：乘法原理：完毕一项工作有m个环节，第i步有，则完毕该项工作一共有：种办法。种办法（i=1,2,m)第41页第41页机动 目录 上页 下页 返回 结束.排列：排列：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里取出r个元素排列。(n，r均为整数)进行排列，共有(无放回选取)从n个不同元素中无放回取出m个(mn)种办法。(有放回选取)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依次排成一列，称为可重复排列，一共有第42页第42页机动 目录 上页 下页 返回 结束.组合组合从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑另一方面序，组合数为或,例：例：袋中有三个球，标号1,2,3，任取两次 无放回，考虑顺序12,13,21,23,31,32 无放回，不考虑顺序 12,13,23 有放回，考虑顺序11,12,13,21,22,23,31,32,33第43页第43页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观测其颜色。分别做 a.有放回抽样 b.不放回抽样，(1)“取到两只球都是白球”(2)“取到两只球颜色相同”(3)“取到两只球中至少有一个是白球”解解 a.(1)(2)(乘法原理)：66=36求下列事件概率：第44页第44页机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)表示“两只都是红球”，若直接考虑：(1)(2)(3)b.无放回(考虑先后顺序)思考：假如不考虑顺序呢？第45页第45页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.某教研室共有11 名教师,其中男教师7 人,现在要选 3 名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解解(办法一)设 A=“3 名优秀教师中至少有一名女教师”=“3 名优秀教师中恰有 名女教师”则第46页第46页机动 目录 上页 下页 返回 结束 办法二 设 A=“3 名优秀教师全是男教师”注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。第47页第47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6(分房问题)将r个球随机地放入n(nr)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等也许，解解求：每个盒子至多有一个球概率。将r个球放入n个盒子，每一个办法是一个基本事件例例5 袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机一只只摸出来，求第i个人摸出是黑球概率。解解 将k个人取球每一个取法当作一个样本点第48页第48页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7(生日问题)设每个人生日在一年365天中任一天是等也许,即都等于,那么随机选取n(365)人。(1)他们生日各不相同概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同概率为多少？解解 (1)设 A=“n个人生日各不相同”(2)设 B=“n个人中至少有两个人生日相同”当 n 等于64时，在64人班级中，B发生概率靠近于1，即 B几乎 总是会出现。第49页第49页二、几何概率二、几何概率比如：我们在一个面积为 区域 中，等也许地任意投点，这就是一个几何概型。这里等也许确实切意义是这样：设在区域 中有任意一个小区域A，假如它面积为 ，则点落入A中也许性大小与 成正比，而与A位置及形状无关，假如“点落入小区域A”这个随机事件仍然记作A，则由 可得 这一类概率通常称作几何概率.第50页第50页定义：定义：一个试验含有下列两个特性：（1）每次试验结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量几何区域来表示（2）每次试验各种结果是等也许 这样试验称为几何概型几何概型。定义：设几何概型样本空间可表示成有度量区域，仍记为 ，事件A所相应区域仍以A表示 ，则定义事件A概率为 这个定义称为概率几何定义，由 式拟定概率称为几何概率几何概率。第51页第51页例8 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在间隔两辆车之间任一时刻都也许到达车站，试求乘客等车不超出3分钟概率。解：设A=“乘客等车不超出3分钟”第52页第52页例9 从 中随机地取两个数，求其积不小于 ，其和小于1概率。解：设所取两个数为x、y，则样本空间为 设A=“两数其积不小于 ，其和小于1”，第53页第53页例10甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船码头，它们在一昼夜内到达时间是等也许，假如甲船停泊时间是一小时，乙船停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等待码头空出概率。解：设甲、乙两艘轮船到达码头时刻分别为x,y 第54页第54页xy2424y=xy=x+1y=x-2由题意，若甲先到，则乙必须晚1小时到达，即 若乙先到，则甲必须晚2小时，即 如图中蓝色部分 设A=“它们中任何一艘都不需要等待码头空出”，则 第55页第55页例11在三角形ABC中任取一点P，证实：面积之比不小于 概率为 .证：如图 当点P落入 中时，PACBPDENMF第56页第56页例12在线段AB上任取三点 求：（1）位于 与 之间概率；（2）能构成一个三角形概率。解：（1）设A=“位于 与 之间”，线段AB长为a长度分别为 点 位 与 之间，则必须满足 或它是以O、E、F、G或O、A、B、E为顶点两个四周体，第57页第57页（2）设B=“能构成一个三角形”，能构成一个三角形充要条件是 它是一个以O、A、B、C、D为顶点六面体，其体积为 第58页第58页第四节第四节 条件概率条件概率一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式,贝叶斯公式 第一章 第59页第59页引例引例:取一副牌,随机抽取一张,问:(1)抽中是k概率;(2)若已知抽中是红桃,问抽中是k概率。解：A 抽中是红桃,B 抽中是k(1)(2)上述式子含有普遍性吗?在古典概型中,一一 条件概率条件概率第60页第60页1、定义：、定义：设 A，B为两事件，且则称为事件A发生条件下事件B发生条件概率。3.设是两两互不相容事件则条件概率满足概率公理化定义中三个公理:2.性质：条件概率类似满足概率性质：条件概率类似满足概率6条性质。条性质。第61页第61页(1)在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）(2)定义法例例1、设一批产品一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品概率。解解 则由已知得如引例2、条件概率求法条件概率求法第62页第62页定理定理 设，则有推广推广 其中，则有或二、乘法公式二、乘法公式第63页第63页推广到n个事件，假如则有一批零件共100件,其中有10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：2)假如取到一个合格品就不再取下去，求在3 次内取到合格品概率。1)若依次抽取3 次,求第3 次才抽到合格品概率；“第 次抽到合格品”解解:设例例2.第64页第64页1)2)设“三次内取到合格品”则且互不相容第65页第65页设一个班中30名学生采用抓阄办法分一张电影票,问各人取得此票机会是否均等？解解 设“第 名学生抓到电影票”i=1,2,30例例3、同理,第i个人要抓到此票,他前面i-1个人都没抓到此票第66页第66页思考：假如是两张电影票呢？思考：假如是两张电影票呢？第67页第67页三、全概率公式与贝叶斯（三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式）公式定义定义(1)(2)则称注注:对每次试验，比如比如 设试验 E 为“掷骰子观测其点数”。样本空间为，而不是划分。第68页第68页1、全概率公式、全概率公式定理定理 设随机试验E样本空间为A为E事件，则有全概率公式证证:两两互不相容第69页第69页例例4、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙再从乙中任取一球，问取到白球概率为多少？解解 设 A 从乙中取到白球，B 从甲中取到白球 袋中有2个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，=第70页第70页利用全概率公式计算P(A)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理设随机试验E样本空间为,A为E任意一个事件,为一个划分,且则，称此式为贝叶斯公式贝叶斯公式。第71页第71页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一个产品,产量依次占全厂45,35,20,且各车间合格品率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产也许性最大？解解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，设 A 表示“任取一件产品为次品”由题意得由贝叶斯公式第72页第72页机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此该产品是甲车间生产也许性最大。用全概率公式求得第73页第73页例例6、某炮台有3门炮，第1、2、3门炮命中率分别为0.4，0.3，0.5，3门炮各发射一枚炮弹，假如有两枚命中目的，求第1门炮命中目的概率。解：解：A两枚命中目的，B第1门炮命中目的第74页第74页例例7、A某种临床试验呈阳性B被诊断者患有癌症依据以往临床纪录，癌症患者某项试验呈阳性概率为0.95，而正常人该试验成阴性概率为0.95，已知常人患癌症概率为0.005，现对自然人群进行普查，假如某人试验呈阳性，求他患癌症概率有多大？解解由题，已知第75页第75页注注：样本空间划分寻找1、直接找题目中概率相加等于1事件;2、从问题分析，看影响问题是什么事件。第76页第76页第五节第五节 独立性与贝努里概型独立性与贝努里概型引例：引例：E 掷两枚硬币，观测正反面情况A 甲币出现H，B 乙币出现H=HH，HT，TH，TT由此看出第77页第77页机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一、两个事件互相独立、两个事件互相独立 定义定义1设A、B是两个事件，假如有下列等式成立则称事件A、B互相独立。定理定理 设 A、B是两个事件 若，则A、B 互相独立充足必要条件为 若A、B 互相独立,第78页第78页机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证互相独立,则有反之，由乘法公式 若，则A、B 互相独立充足必要条件为第79页第79页机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质 时，互不相容与互相独立不能同时成立。证证 A、B互不相容反之 A、B 互相独立，故A、B不也许互不相容。证：证：其余同理可证。当 若A、B 互相独立,则第80页第80页二、二、多个事件互相独立性多个事件互相独立性若下面四个等式同时成立定义定义2则称A,B,C互相独立互相独立，假如只有前三个等式成立，则称A,B,C两两独立两两独立。注：注：A,B,C互相独立两两独立第81页第81页反例：反例：既有四张卡片，第一张只写有1，第二张只写有2，第三张只写有3，第四张写有1,2,3三个数字，现从中任取一张卡片，卡片上出现什么数字？设 A 出现数字1，B出现数字2，C 出现数字3显然，P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)但是，P(ABC)P(A)P(B)P(C)第82页第82页推广：推广：同时成立，第83页第83页例例1、性质：性质：(1)其中任意k个事件也互相独立;若n个事件互相独立(2)其中任意k个事件逆事件与其余事件构成n个(3)事件仍然互相独立。甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人命中率分别为0.6，0.5，求飞机被命中概率。解：解：A 甲击中飞机，B 乙击中飞机，C 飞机被击中=0.8注：注：判断独立性问题时，能够依据详细问题分析，或者题目会告知是否独立（如24页例6）。第84页第84页例例2、对于例1，或者利用利用德摩根律，把求和事件概率转化为求积事件概率，这种办法在处理独立性问题中经惯用到。设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮一发）,欲以99%以上把握击中来犯一架敌机，至少需要配备几门炮？解：解：设n为所需炮数，第85页第85页因此至少需要配备6门高炮。第86页第86页三、贝努利概型三、贝努利概型定义：定义：若在同样条件下，将试验若在同样条件下，将试验E重复进行重复进行n次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现概率都不依赖于其它各次试验结果，则果出现概率都不依赖于其它各次试验结果，则称这称这 n 次试验是互相独立。次试验是互相独立。例例3：在同样条件下，抛掷一均匀硬币在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易次，易见每次投掷结果，即无论出现见每次投掷结果，即无论出现“正面正面”或或“反反面面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为，均不会影响其它各次投掷结果，即此为 n 次重复且互相独立试验。次重复且互相独立试验。例例4：从一批灯泡中，任取从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而只作寿命试验，而每只灯泡寿命结果不会影响其它灯泡寿命结果，每只灯泡寿命结果不会影响其它灯泡寿命结果，故此亦为故此亦为n次重复且互相独立试验。次重复且互相独立试验。第87页第87页定定义义：设设E试验结果只有两个试验结果只有两个,将试验将试验E独立地独立地重复进行重复进行n次，则称这一串重复独立试次，则称这一串重复独立试验为验为n重贝努力试验，或称贝努力概型。重贝努力试验，或称贝努力概型。在在n重试验贝努力中事件重试验贝努力中事件A出现出现k 次概次概率，记为率，记为则则第88页第88页例例5 5 袋中有3 个白球,2个红球,有放回取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球概率.解一解一 古典概型设 B 表示4个球中恰有2个白球第89页第89页解二解二 每取一个球看作是做了一次试验记取得白球为事件 A，有放回地取4个球看作做了 4 重 Bernoulli 试验,记第 i 次取得白球为事件 Ai感兴趣是 4 次试验中A 发生2次概率第90页第90页