混凝土最佳砂率数学模型研究.pdf

2 0 1 2 年 第 1期 (总 第 2 6 7 期 ) Nu mb e r 1 in 2 0 1 2 ( T o t a l N o 2 6 7 ) 混 凝 土 Co n c r e t e 理论研究 THE 0RETI CAL RES EARCH d o i ： 1 0 3 9 6 9 i s s n 1 0 0 2 3 5 5 0 2 0 1 2 0 1 0 1 0 混凝土最佳砂率数学模型研究 王立久 a ,b ( 大连理工大学 a 建筑材料研究所； b 土木水利国家级教学试验中心， ： 旺宁 大连 1 1 6 0 2 4 ) 摘要： 依据砂率计算公式【 lj 和坍落度计算公式 ， 由最佳砂率的基本概念出发， 分别以坍落度最大、 水泥用量最小原则， 得到完全一致 的满足最佳砂率的砂灰比计算公式。 进而提出最佳砂灰比概念， 指出确定最佳砂率 的实质就是求解最佳砂灰比 c 的过程。 分析结 果表明： 最佳砂灰比满足一元二次方程， 它取决于最佳砂灰比参数p = ( + W C ) ( 1 + e 。 p 。 ) ； 而最佳砂率 和最佳砂灰 t s c 呈双曲线 关系， 并取决于最佳砂灰比【 c 】 、 最佳砂灰比 参数卢和混凝土密实系数e 。 。 引用相关文献试验数据对上述结论进行验证。 关键词： 混凝土砂率；最佳砂率； 砂灰比；坍落度；数学模型 中图分 类号： T U5 2 8 0 1 文献标志码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 2 3 5 5 0 ( 2 0 1 2 ) 0 1 0 0 2 9 0 4 St u dy on t h e op t i r num s a nd r a t i o o f t he c on c r e t e WANGL i -j i u ( a I n s t i t u t e o f B u i l d i n g Ma t e ri a l s ； b Na t i o n a l Civ i l a n dHy d r a u l i c E n g i n e e ri n gE x p e ri me n t a l T e a c h i n gC e n t e r ， Da l i a nUn i v e r s i t yo f T e c h n o l o g y ， Da l i an 1 1 6 0 2 4， C h i n a ) Ab s t r a c t ： B a s e d o n o p t i mu m s a n d( OS)r a t i o c o n c e p t ， d e d u c e d b y t h e s and r a t i o f o r mu l a a n d s l u mp f o rmu l a Ob t a i n s the s and t o c e me n t( S C) r a t i o i n a c c o r d anc e wi th t h e OS r a t i o u n d e r the c i r c um s t a n c e o f ma x i mu m s l um p l o s s and r r d n i mu m c e me n t c o n t e n t T h e n i t p u t s f o r wa r d t h eOS r a t i ot he o r y， wh i c hme an s t h a t OS r a t i oi sd i r e c t l ya s s oc i a t e dwi t ho p t i mumS C r a t i o I t i s d e m o n s t r a t e dt h a t t h eOS r a t i o， wh i c hi s de t e r m ine db y s and-t o c e me n t r a t i oandf a c t o r andc on c r e t ep a c k i n gc oe ffi c i e n t I t fi t s t h e h y p e r b o l i c f un c t i o nwi t htheo p t i mumS Cr a t i ob ythea n a l y s i s r e s u l t s Key wor ds ： c o n c r e t e s and r a t i o； o p t i mum s a n d rat i o； s and - t o -c e me n t r a t i o； s l u mp； ma t h e ma t i c a l mo d e l 0 引言 混凝土砂率是指混凝土中砂的质量占砂石总质量的百分率， 它是混凝土配合比设计最基本三参数之一。 砂率的变动会使集 料的孔隙率和总表面积显著改善， 影响混凝土填充密实性， 特别 是对混凝土拌合物的工作性产生影响。 粗集料是混凝土的基本 架构或骨架， 而水泥砂浆则相当于嵌固和填充该骨架的“ 肌肉” ， 并在混凝土拌合物中起润滑作用。 砂率过大会减弱水泥浆润滑 作用， 使拌合物流动性减小； 反之过小， 又不能保证粗集料间的 砂浆层， 会降低拌合物的流动性， 也影响黏滞性和保水性 ， 产生 离析和流浆现象， 严重者还影响混凝土体积稳定性。 因此存在一 个最佳砂率3 。 其确定方法 目前还是采用试配法， 即在水泥用量 及用水量一定情况下， 使拌合物获得最大流动性且能保持 良好 的黏滞性 、 保水性 ； 或者使拌合物获得要求的流动性及良好的 黏滞性与保水性而使水泥用量最少。 这种确定方法既有很大盲 目性 ， 也使工作量增加 ， 浪费大量人力物力和时间。 本研究基于作者关于砂率和坍落度数学模型的研究成果， 根 据最佳砂率的基本概念， 利用数学方法建立了最佳砂率计算公式。 1 砂率公式的推导 1 1 公式推导 1 粗集料形状可量化为直径为 d的球体， 球体体积为。 1叮 T ， 收稿 日期：2 0 1 1 _ 0 7 1 7 表面积为 们 。 1 m3 粗集料体积为 G p G ， 所包含球体的个数为 ，总表面积为 G _ 。 如粗集料表面砂浆层厚度为6 ，则有 r a pG a po + p 乓的 体 积 被 水 泥 、 砂 和 水 所 填 充 ， 如 图1 所 示 。 o P0 图 1 集料填 充模型 即 ： 一 6 C , 8 一+ 口 + ： + + W ( 1 ) 一 十 p 十 十 ， 中G P G P 。 P 。 式中： G 、 C 、 W、 5 分别为混凝土中粗集料、 水泥、 水、 砂的量， k g ； P a , P 。 、 P 分别为粗集料、 水泥、 砂的表观密度， g C c m ； p 粗集料堆积密度， g c m 3 ； -p 粗集料堆积孔隙率， 。 由 于 ，导 啬集 灰 等测 丽 1， 2 9 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 则式 ( 1 ) 司写成 ： 等+ = + 1 (I + WP G*1-S n 1- S P C ) (2 中 G ( ) p 。 ( ) c 令 ： + ， 则式( 2 ) 可整理为： a pG p0 sp = A n P ) L 式 中： A= ( 1 + e s o 。 )， B = e s A。 其中e 。 定义为密实系数( I n fi l l e dA g g r e g a t e C o e ffic i e n t ) ， 一 般应通过试验确定。 1 2 密实系数 e 及砂率 5 。 试验验证 将式( 3 ) 变换一下， 得到： 一 一 ( 4) f + 1 + I P P 式( 4 ) 表明 e 的物理涵义是单位孔隙体积粗集料的质量。 如式( 3 ) 两边同时除以P 。 ， 则 e J p 。 表示粗集料所 占体积与其孑 L 隙体积的比值。 将 e 定义为密实系数( I n fi l l e d A g g r e g a t e C o e ffic i e n t ) ， 一般 应通过试验确定。 根 据 试 验 数 据 ， 按 式 ( 3 ) 绘 图 ( 1 - S p ) l i 1 + )+ 詈 ，如 图2所示。 图中的斜率即为密实系数 e 的数值。 0 7 0 6 0 5 0 4 一 、o 3 0 2 0 1 O 0 l 0 2 0 3 0 4 ：1 ( 1 + 1 + S p n、 p _ J+ P 、 L 图 2( 1 _ n 关 系 、 p c L ， 表 1 e s 实测值 根据 e 。 试验值 ， 由式( 3 ) 计算砂率， 计为 s D 计， 而将试验值 计为 变 ， 做图， 如图 3所示。 可以看出， 式( 3 ) 用以计算砂率具 有较好的计算精度。 3 0 - 避 蓉s 露 褂 念 砂率的计算值 图 3 砂率的计算值f ” 与实测值【 s 口 比较 1 3 砂 率 S 。 与砂灰 比 C S的关系 又n ： = ， 因此式( 3 ) 也可写成： s s p s c 一 + 令 一 ， 式( 5 ) 即： 1 十 P s s f + P s) (吾 厂 c 6 式( 5 ) 、 ( 6 ) 说明， 在砂石、 水泥品种及口 一定条件下， 砂率与 砂灰比呈双曲线关系如图 4所示。 当S C = O时， S p = O ； 而 一* 时 ， 因 e 0 则 S 一 1 或 1 0 0 。 3 图4 s p 昙关系 L， 2 坍 落度公式推导 2 1 基 本公 式 新拌混凝土可以认为是一种 B i n g h a m体_ 1 _ ， 根据流变力学 原理， 新拌混凝土的流变方法可表达为： r = r o - t z D ( 7 ) 式中： r 剪应力； r 。 屈服剪应力； 黏滞系数； ， J 剪切率或速度梯度。 混凝土流动性通常用坍落度试验确定。 混凝土的坍落度是 由于自重而引起的变形。 从混合料锥体顶面开始， 剪应力随锥 体深度增加而增加， 在剪应力等于屈服应力( T = T 。 ) 点以下会产 生变形。 最大剪应力和变形率产生在锥体部位的位置、 当底部 最大剪应力 时变形将停止。 如忽略内摩擦力和惯性变形， 底部剪应力可以表达为： r m = ( 8 ) u ， 式中： p 混凝土拌合物表观密度； 静止后的锥体高度。 因此混凝土坍落度 可表示为： T = 3 0 h = 3 0 一 3 0 2 r o ( 9) P P 考虑到惯性对变形影响， 将 r m = k O h其中 为试验常数， 则： T - 3 0 一 旦 ( 1 0) k D 根据文献 4 研究 ， 屈服剪应力 与固体浓度 的 n次方 成正比， 即 ， 而对混凝土 + + ， 因此式 ( 1 0 ) 可 P c Ps Pa 表达为 ： 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m + + T - 3 0 一 ! ! f 1 1 ) 切 考虑到混凝土表观密度变化在一定范围内， 且引入砂石平 均表观密度P 概念， 则： T = 3 0 - k oC ( 1 十 SP c pP SG 1 ( 1 2 ) L 、 厶 此式( 1 2 ) 也可写为 ： ( 3 0 一 T ) k o ( 1 +SP C S pp ) sG J 或 c ： 二 ! 竺 + 1 P C S p p s G ( 1 4 ) 2 2 公 式验 证 采用大连理工大学建筑材料实验室 1 4 3 2组试验数据进行 ，、 a 验证分析。 实际上， + + 一 = 1 一 ， 其中 为单位用水量( 用 Pc Ps P G 小数表示) ， 该式表示 1 m3 混凝土固含量。因此为了方便， 式( 1 2 ) 也可用式( 1 5 ) 表达。 结果表明， 对于未使用外加剂的普通混凝 土， 单位用水量与坍落度之间有着明显统计相关性( 图 5 ) 。 由试 验确定的各参数为： n = 9 ， K= 1 6 0 ， 相关系数 r = 0 9 ， 则： 7 1_3 0 1 6 0 ( 1 一W) ( 1 5 ) x = l n ( 1 一 1 图 5 混凝土单位 用水量与坍落度之间的关系( 未使用外加剂 ) 分析统计数据的同时也发现， 对于使用外加剂的混凝土 ， 由 于不同种类外加剂的差异较大， 尤其是各种减水剂的减水率差 别较大， 使得单位用水量与坍落度之间不呈现明显的统计相关 性， 而是稳定在某一范围内( 图 6 ) 。 对于 C 2 0 C 6 0的普通混凝 土， 其单位用水量的范围： W= 1 6 0 2 4 5 k g ， 平均值 W= 1 9 5 7 2 k g ， 方差 o = 1 6 7 8k g 。 c m 图 6 混凝土单位用水量 与坍落度之间的关系( 使用外加剂 ) 因此， 对于使用外加剂的混凝土， 如用式( 9 ) 计算单位用水 量时， 应首先根据式( 9 ) 计算 出未加外加剂时的用水量 ， 再 由试验确定外加剂减水率 ， 则使用外加剂时的单位用水量 W： - W0 ( 1 - y ) t 。 为验证式( 1 5 ) 的正确性， 根据式( 1 2 ) 计算得到各坍落度值 所对应的单位用水量 ， 同时根据各坍落度值及粗骨料的最大粒 径查表得到所对应的单位用水量 ， 将它们与实际单位用水量相 比较( 见图 7 ) ， 可见由公式计算及查表得到的单位用水量值相 接近， 且与实际单位用水员叱较吻合。 T c m 图 7 由坍落度按不同方法确定的单位用水量与实际单位用水量的对比 3 最佳砂率公式 根据最佳砂率的概念， 在用水量和水泥同一定的条件下， 使 坍落度最大的砂率为最佳砂率 ， 这事实上是式( 1 2 ) 的 求极值 问题， 根据式( 1 2 ) ， 最佳砂率本质上就是确定最佳砂灰比S C， 也就是求满足最佳砂率的 s c即 0 。 经严袼推导满足 d ( S C ) 。 ， 亦即满足 一 S印 = 。 ，印 = d S p ， 考虑到式( 5 ) 砂率计算公式， 代入后经整理， 得到： + eS(皇 + )- 2 (1+ P s 峥e。 说明满足最佳砂率的灰砂比S C， 满足式( 1 6 ) ， 它是一个一 元二次方程。 如果从另一角良， 即从满足混凝土工作性条件下 ， 使水泥 用量最少的砂率为最佳砂率的话 ， 也就是根据式( 1 4 ) ， 求另一 个极值问题即 d ( S C 一 ) 0 ， 同样可推导出式( 1 6 ) 。 分析式( 1 6 ) 可知， 最佳砂率取决于水泥、 砂、 石的品种和密度 P 。 、 、 P 。 ， 集料的密实性系数 e ， 水灰比 W C和最佳砂灰比 5 C k 。 由于式( 1 6 ) q 1 + 0 ， 且常数项为负值 ， 因此式( 1 6 ) 属下 e 凹抛物线， 且有一个是正值解 ： 斗 ) _ 2 ( 1+ + )： e ( 1 7 ， 所 以 ： 蛤 e ： 1 W 一 1 W ： Ps 一 + 考 蒯竽 幢删 争 ( s 转换为线性关系的j 戈 ( 1 9 ) ： 。 1 ( 1 9 ) 式中， ： ， 将式( 1 8 ) 或式( 1 9 ) 代入式( 6 ) 即可求得最佳 1 + Ps 砂率 ， 图 8 所示。 由于 + 本质上是水泥浆体积浓度的倒数； e s 是粗集料 Pc 【 J 31 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m S p S 一 口 。 P 。 S | C 图 8 计算过程p 一【 S ， q 【 S p 孔隙单位体积粗集料质量， 是种虚拟粗集料密度。 而 l + = 一 Ps Ps 1 _ 也可定义为虚拟密度砂率的倒数， 因此 = 垦旦一 是表征虚拟 l + P0 密度砂率与水泥浆体积浓度的比值。 粗细集料确定时 1 + 基 Ps 本为定值 ， 但如再使 W C一定时， 就唯一确定。 因此， 不同强 度等级混凝土就有相应的 值 ， 进而有对应的 s c 以确定该 混凝土的最佳砂率。 由式( 1 9 ) 看出口是唯一确定最佳砂灰t s c 的参数， 称 之为最佳砂灰比参数。 从式( 1 9 ) 可知 卢 0 ， 即使水灰比等于 0 ， 卢 也不可能等于 0 ， 因此 S C k 2 。 则 o s c k 2 。 4 实例 为验证最佳砂率数学模型的正确性， 特别引入参考文献 5 的 试验数据。 该文献选用原材料为 5 2 5普通硅酸水泥( 相当于 I S C 标准的 P O 4 2 5 级水泥) ； 超细矿渣平均粒径 1 2 o l i x m； I 级粉煤 灰， 烧失量 1 7 ， 4 5 tx m筛余量9 2 ， 需水量比8 7 ； 中砂， 细度模 数2 4 ； 碎石 5 2 5 mm， 连续级配I 夕 加剂为高浓度萘系F D N A型。 文献 5 】 定义的最佳砂率是采用砂石最低孔隙率方法确定， 如表 2 所示。 文献 5 从表 2认为砂石混合物最低孑 L 隙率为 2 1 2 ， 对应 的最佳砂率为 3 8 。 而混合孔隙率为 2 1 8 时， 对应砂率为4 5 和 3 3 。 实际上， 由物料填充角度， 得到的砂率并非是最佳砂率 ， 因为这与最佳砂率的基本概念截然不同。 对于 3 8 砂率、 0 4 水胶比混凝土配合比， 见表 3 。 由表 3可以看出， 3 8 砂率 O 4水胶比配制的混凝土外加 剂以及胶凝材料对 S C都有显著的影响， 如图 9 所示。 表 2 不 同石 砂 比对应砂石混合孔隙率 浆料富余 水泥 矿渣 粉煤灰 砂 石 水 F D N 坍落度 表观密度 抗压强度 MP a 骊亏 系数 g g g k g k g g 。 c m ( k 咖 ) i 6 0 0 5 0 0 4 0 0 蝴 旺 3 0 0 萎 2 0 0 1 0 0 鲻 O 1 Si C 图 9 砂灰比 s C与外加剂、 胶凝材料 用量之 间关 系 Wl W6试样砂率 3 8 ， 胶凝材料平均用量为4 4 5 4 2 k g m ； 而 w7 、 W9 、 Wl 1 、 W1 3试样砂率 4 5 ， 胶凝材料平均用量为 3 2 4 3 2 8 k g m ， 其胶凝材料用量远比Wl W6要少。 而从原始数据可以计算 ， + = 0 7 4 、 e s= 1 6 1 ， 则卢 = o 4 6 ， Pc L 因此 qk = 1 8 1 6 ， 恰恰与编号 W1 1 基本一致 ， 其 c k = 1 8 0 9 ； 而 将用式( 1 9 ) 计算的最佳砂灰比 1 8 1 6代入式( 6 ) ， 得到S p - 4 4 ， 试样 W1 1 的 2 8抗压强度也是所有样品中最高的， 达 5 5 5 i , l P a ， 同时也满足工作性要求。 5结 论 最佳砂率本质上就是确定最佳砂灰比 5 ， 也就是求满足 下转第 3 5页 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 加热温度， 图 4 N S C的强热减量 ( T G D T A) ( a ) O P C( 1 O O 嘴 )( b ) NS C 0 O O O 倍) 图 5 NS C间隔带 SE M图谱( 2 8 d) 体， 能看到的只是大量的C S H水化物和未水化的G MF S 颗粒。 这 一 点可用NS C的T G DT A图谱( 图4 ) 来证实， 在C a ( Oi l ) ： 的分解 温度 4 5 0附近并未出现吸热峰值， 说明NS C在水化过程中几 乎不生成 C a ( O H) ： ， 因而不存在由C a ( O H ) 晶体所形成的间隔 带， 为NS C中的骨料和水泥硬化体紧紧黏结在一起创造了条件。 这是NS C的水化反应的最大特点， 是区别于 O P C水化反应的根本 标志5 】 ， 也是长期强度远高于 O P C的主要原因之一。 至于 BS C 的强度特点则位于 NS C和OP C之间。 2 3 NS C与钢 筋黏 结力 钢筋和混凝土的黏结力是判断其结构物稳定性的重要指标。 为此， 在大量的试验数据基础上， 进行了数理统计分析， 其结果 如图 6 所示， 表明NS C的黏结强度和抗压强度之间有一定的内 在联系， 其相关关系为： _ 0 0 8 2 x + 1 3 2 6 。 其中： Y 为黏结强度； 为 抗压强度； 相关系数为R Z =- 0 8 7 。 由相关系数中可以看到， 黏结强 度与抗压强度之间的相关关系并不是很密切。 这可能与试验统 计数量不足且在相关分析中未考虑混凝土的安全系数等因素有 上接 第 3 2页 最佳砂率的i s c ， 属于坍落度 或水泥用量 c对 S C求极值问 题 ， 即 = 。或 。 。 得到 q 2 一 卢， 称 卢为最佳 Pc - 砂灰比参数， 它是确定最佳砂灰比唯一参数， 。 l + Ps 最佳砂率取决于水泥、 砂石的品种和密度P o , P 。 、 P a ， 集料的 密实系数e 。 以及水灰比 W C 和最佳砂灰比 q 。 最佳砂灰比满足本文式( 1 6 ) ( 1 9 ) ， 代人式( 5 ) 、 ( 6 ) 可求得 最佳砂率。 参考文献 ： 1 WA N G L i - j i u ， A I H o n g - m e i C a l c u l a t i o n o f s a n d a g g r e g a t e r a t i o a n d w a 一 钢筋埋 深 c m 图 6 N SC与钢筋黏结力( 2 8 d) 关。 但龄期 2 8 d的 NS C黏结强度均高于 O P C和 AS T MC 2 3 4 规范所规定的黏结强度。 3结语 NS C是一种新型混凝土， 通过以上分析初步得出了如下结论： ( 1 ) NS C的和易性优于 O P C和 S B S 。 ( 2 ) NS C的早期强度主要来源于钙矾石及其形成的网络空 间结构。 ( 3 ) NS C的长期强度主要来源于 C S H水化物的数量及其 胶结力。 ( 4 ) 在NS C中无隔离带是长期强度远高于 O P C的主要原因。 ( 5 ) NS C的黏结强度大于 O P C， 且存在 0 0 8 2 x + 1 3 2 6的 相关关系。 参考文献 ： 1 11 R E G OU R D M 7 c o n g r e s s o f t h e c h e mi s t r y o f c e me n t J 1 9 8 0， i ( i i i ) 2 1 0 2 2 6 【 2 】VO I NO V I C HE T A L I A S i l i c a t e s i n d u s t r i d s J 1 9 7 6 ( 4 1 ) ： 2 0 9 2 1 2 3 】3 朴应模 无机激发齐 U 对无熟料高炉矿渣水泥的作用机理及强度效果 延边大学学报： 自然科学版， 2 0 0 3 ， 2 9 ( 3 ) ： 2 2 0 2 2 4 1 4 】 朴应模 ， 等 无机激发剂对高炉矿渣水泥抗压强度与细孔结构的影 O Nc 大韩建筑学会论文集， 2 0 0 1 ： 1 4 3 1 5 0 5 朴应模 无熟料高炉i 渣水泥的水化反应特征 J 哈尔滨工业大学学 报 ， 2 0 0 9 ， 4 1 ( 1 0 ) ： 2 1 0 2 1 3 作者简介 联 系地址 联系电话 秦毅( 1 9 7 1 一 ) ， 女， 讲师， 硕士。 辽宁省丹东市辽东学院( 北校区) 城市建设学院土木工程 系( 1 1 8 0 0 3 ) 1 3 8 41 5 8 9 5 5 2 t e r d o s a g e o f o r d i n a r y c o n c r e t e C o m e n t a n d C o n c r e t e R e s e a r c h ， 2 0 0 2 ， 3 2 ( 3 ) ： 4 3 2 王立久， 曹明莉， 艾红梅 混凝土密实系数研究【 M 】 混凝土 2 0 0 2 ( 8 ) ： 9 1 1 【 3 王立久建筑材料学 M 】 C 京： 中国电力出版社 ， 2 0 0 8 ( 2 ) ： 1 0 6 f 4 】 钱亍， 万兆忠 泥沙运动力学 M】 E 京： 北京科学出版社， 1 9 7 5 5 】 扬荣俊， 扬玉启， 朱连滨， 等 高性能混凝土配合比简易设计法， 水泥 基复合材料学与技术 M 】 - E 京： 中国建材工业出版社， 1 9 9 9 ： 1 2 0 1 2 3 作者简介： 王立久( 1 9 4 5 一 ) ， 男， 教授， 博士生导师。 联系地址： 大连理工大学建筑材料研究所 2 2 0室( 1 1 6 0 2 4 ) 联系电话 ： 1 3 6 1 0 9 5 8 2 0 1 35 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m