Chapt二阶常微分方程级数解法本证值问题.pptx

1柱坐标：体积元xyzO(,z)ze eze 2（一）（一）Laplace 方程方程 （1）球坐标系 分离变量解：代入（9.1.1）得到3 i）径向方程 该方程的解为：Euler 方程4 ii）单位球面上方程：可以进一步分离变量：极角方向极角方向：球函数方程球函数方程5 该方程称为连带 Legendre 方程。6当 m=0 时，称为 Legendre 方程：即：注意：因 x=cos,而 的变化范围是 0,所以 x 的变化范围是-1，+1。7（2）柱坐标系试分离变量解:代入方程(1)得到:8 对 方向有本征值问题:本征值问题的解:9分三种情况:(i)方向非齐次边界条件，方向非齐次边界条件，z方向齐次边界条件，方向齐次边界条件，仅当仅当 有满足有满足z方向齐次边界条件的解方向齐次边界条件的解 记axy10 对 方向:令(ii)方向齐次边界条件，方向齐次边界条件，z方向非齐次边界条件，方向非齐次边界条件，令：称为 m 阶 虚宗量 Bessel 方程。称为 m 阶 Bessel 方程。11(iii)12（二）波动方程（二）波动方程称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。13（三）输运方程（三）输运方程称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。14（四）（四）Helmholtz Helmholtz 方程方程（1）球坐标系分离变量解：i）单位球面上方程与上面的结果一样：15 ii）径向方程：称为球 Bessel 方程。令：上式化成（l+1/2)阶 Bessel 方程半奇数阶 Bessel 方程：16（2）柱坐标系三维波动方程和扩散方程，经时间与空间分离变量后，空间部分满足的是 Helmholtz 方程。在柱坐标下：令 i)对 方向,同样有本征值问题:17本征值问题的解:ii)对 z 方向：iii)对 方向:18 进一步令 19分 离 变 量 结 果方程球坐标柱坐标:Helm-hotz方程Laplace 方程R：R：Z：:R：209.2 常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法标准形式：其中：p(z)和 q(z)为方程的系数，是已知的复变函数。初值问题：求一定区域内方程的解。21边值问题：求实轴上x1,x2 区间方程的解。（一）方程的常点和奇点方程解的性质完全由 p(z)和 q(z)的解析性质决定。设p(z)和 q(z)在一定区域中，除若干个孤立奇点外，是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：常点：若系数 p(z)和 q(z)都在某点z0 及其邻域内解析，则 z0 点称 为方程的常点；奇点：若系数 p(z)和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为 方程的奇点；22(二)常点邻域上的级数解微分方程解析理论的基本定理:如果p(z)和q(z)在圆 内是单值解析的,则方程 在这圆内有唯一的一个解w(z)满足初值条件 是任意常数,并且w(z)在这圆内是单值解析的.z0R23在常点 z0 的邻域|z-z0|R内，w(z)是解析函数，故可展开成Taylor 级数：因此只要求出 系数 ak，方程的解即求得。24系数递推公式系数递推公式利用系数递推公式系数递推公式可从可从 开始逐一将所有系数用开始逐一将所有系数用 表示出来。表示出来。为两个任意常数，正是为两个任意常数，正是两个积分常数两个积分常数 25（三）Legendre 方程的级数解:在 x=0 的邻域上求 Legendre 方程的解：因 当 x=0,有限，因此是方程的常点。注意：当 x=1,p(x),q(x)为无限大，因此可设想 x=1是 Legendre 方程的奇点。26在 x=0邻域|x-01内，Taylor 级数为：代入 Legendre 方程：合并后：27因此系数的递推关系为 因此 Legendre 方程的通解可表示为：28级数的收敛半径：因为x=1是 离x=0 最近的奇点，因此级数的收敛半径 R=1。问题：在 x=1（即方向角为=0 和=，亦即x-y 平面上）端点，级数的收敛性如何？yOxy(,)29事实上:注意到:y0(x)和 y1(x)在x=1是发散的级数（见附录四），而且不存在在x=1二点都收敛的无限级数 满足Legendre 方程 是分离变量过程中出现的任意常数，当 而 l 取某些数值时，无穷级数可退化成多项式！30事实上,由 多项式经适当处理称 Legendre多项式l=2n,（n=0,1,2）,y0(x)最高幂次为x2n;从x2n+2 项起，系数为零；无限级数退化成最高幂次为x2n的多项式，从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y1(x)仍然是无限级数并且在x=1 发散。l=2n+1,(n=0,1,2),y1(x)最高幂次为x2n+1;从x2n+3项起，系数为零；无限级数退化成最高幂次为x2n+1的多项式，从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y0(x)仍然是无限级数并且在x=1 发散。31 “自然边界”条件:(1)二阶方程的另一个特解,可用其它方法得到(2)如果问题不包含=0 和=，这一特解应该包括。如果要求物理问题在=0 和=有限，那么分离变量过程出现的常数 l 只能取零 和正整数。“解在x=1 保持有限”这一条件使 l 只能取零 和正整数。Legendre 方程“自然边界”条件本征值问题329.3 正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法（一）奇点邻域上的级数解:系数 p(z)和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为方程的奇点。方程的奇点则可能同时也是解的奇点.因此，在 z0 点邻域的级数解应该是 Laurent 展开。33 定理定理 1 若点z0 为方程（9.3.1）的奇点，则在p(z)和q(z)都 解析的环形区域0|z-z0|R内,这方程的两个线性无关解是其中 是常数.34一般情况下,级数的系数是无限联立的代数方程，得不到系数的递推公式；但在一定的条件下，方程的二个线性独立解的级数中没有负幂项，这样的解称为正则解。在这种情况下,可得到系数递推公式.定理定理 2：方程(9.3.1)在他的奇点 z0 的邻域0|z-z0|1,或n2,则第二项或第三项为最低次幂项37令其系数为零,只能有若 则最低次幂项为第一项，或加上第二、第三项。令其系数为零。（当m=1,n=2）判定方程判定方程38 （三）Bessel 方程的级数解在 x=0 的邻域上求 阶 Bessel 方程的解 注意：是任意实数。x=0 是 p(x)的一阶极点，q(x)的二阶极点。因此 x=0 是Bessel 方程的正则奇点。39级数形式解：代入方程（1），得到即40 x0 的系数方程判定方程：（I）i)求 41 递推公式由于 故级数所有奇数项系数为零：42得到一个无穷级数解 令任意常数阶 Bessel 函数后面将详细讨论 Bessel 函数的特性。43收敛半径44ii)求 (s=s2=-)只要在 中 -得到另一个无限级数解 -阶 Bessel 函数45收敛半径：的收敛范围：应用中，用 和 的 线性组合构成 Bessel 方程第二个特解：一般解：阶 Neumann 函数。一般解：46（II）i）2 =2m,即=m,(m=1,2,3,.)第一个解仍然是 Jm(x)。对第二个解：a)若用 自k=2m起失效!47除非当递推公式成为此时可为任意常数，继续可用递推公式算出后面的系数，将解写作：由于v(x)之递推公式同 最多相差一常数因子，即：此时令 得 48b)若在 Jm(x)中m -m49亦取用结果m 阶 Neumann 函数5051ii)2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.)=l+1/2,半奇数：l=05253但 A=054一般,常数 A=0,因此线性独立解为：半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示：55可以证明公式：iii)2 =2m=0,56小结小结:(I)57(II)i）2 =2m (m=1,2,3,.)ii)2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.)iii)2 =2m=0,589.4 施图姆施图姆-刘维尔刘维尔(Sturm-Livouville)本征值问题本征值问题 -Sturm-Livouville 本征问题本征问题以乘上式得:-Sturm-Livouville 方程方程59 Legendre 方程的本征值问题 本征函数：本征值：60 Bessel 方程的本征值问题作变换 方程成为标准Bessel 方程 61 i)若k(x)0,q(x)0,正则斯刘本征问题正则斯刘本征问题ii)如果端点 x=a and/or x=b是 k(x)的零点,则 x=a and/or x=b 是方程 的奇点，在 x=a and/or x=b 处一定存在自然边界条件！奇异斯刘本征问题奇异斯刘本征问题iii)周期斯刘本征问题周期斯刘本征问题62 Sturm-Livouville 本征值问题的基本性质：（1）、如果 p(x),q(x)连续或者至多端点为一阶极点，则存在无限个本征值：相应的本征函数为：当本征值按上述次序排列时，则在 上相应本征函数的零点个数按从少到多的次序排列。在量子力学中，y1(x)和1 称为基态波函数和基态本征值（一般为能量）。63例：64（2）所有本征值 （3）对应于不同本征值 m,n 的本征函数 ym(x),yn(x)带权(x)正交：（4）本征函数 y1(x),y2(x),.是完备的。a,b 上平方可积的函数 f(x)可展成 广义 Fourier 级数：其中：是 yn(x)模：65关于函数系的完备性：如果对定义在 a,b 上的任意函数 f(x)，在平均收敛的意义上：则称函数系 y1(x),y2(x),.是定义在 a,b上的完备集。66 例：对应同一本征值=m2，有两个本征函数：简并问题：对应于同一个本征值，有两个或两个以上的线性无关的本征函数。67本章基本要求：本章基本要求：1掌掌握握球球坐坐标标、柱柱坐坐标标系系中中三三类类方方程程分分离离 变变数数的的方方法法，以以及及分分离离变变数数后后得得到到的的勒勒让德方程及贝塞尔方程的形式。让德方程及贝塞尔方程的形式。2了解勒让德方程及贝塞尔方程的级数解了解勒让德方程及贝塞尔方程的级数解 法，掌握解的结果。法，掌握解的结果。3掌握施图姆掌握施图姆刘维尔本征值问题及其性刘维尔本征值问题及其性 质。质。