【小学奥数题库系统】1-1-1-1-整数加减法速算与巧算.教师版.doc

整数加减法速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。

知识点拨

一、基本运算律及公式
一、加法
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：a＋b＝b＋a
其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.
总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).
总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法
在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．
在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．
如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c
a－（b－c）＝a－b＋c
在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）
a－b＋c＝a－（b－c）
a－b－c＝a－（b＋c）

二、加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质：凑整
常用的思想方法：
1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．
2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．
4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）

例题精讲

模块一：分组凑整
【例 1】 计算： （1）117＋229＋333＋471＋528＋622
（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）
（3）756－248－352
（4）894－89－111－95－105－94
【考点】分组凑整 【难度】1星 【题型】计算
【解析】 在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。几个数相加，可以先把可以凑整的几个数分成一组；一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：
（1）式 ＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）
＝450＋700＋1150
＝（450＋1150）＋700
＝1600＋700＝2300
（2）式 ＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650
＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332）
＝3000＋500＋800
＝4300
（3）式 ＝756－（248＋352）
＝756－600
＝156
（4）式 ＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105）
＝800－200－200
＝400
【答案】（1）2300 （2）4300 （3）156 （4）400

【巩固】 计算 ．
【考点】分组凑整 【难度】1星 【题型】计算
【关键词】2010年 学而思杯
【解析】 原式

【答案】140

【巩固】 计算：．
【考点】分组凑整 【难度】1星 【题型】计算
【解析】 原式

【答案】
【巩固】 同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！ 也当一次小老师！
⑴
⑵
⑶
⑷
【考点】分组凑整 【难度】1星 【题型】计算
【解析】 ⑴ 原式()()；
⑵ 原式()()；
⑶ 原式()；
⑷ 原式()()()；
【答案】（1）347 （2）20159 （3）1800 （4）700

【巩固】
【考点】分组凑整 【难度】1星 【题型】计算
【解析】 原式.
【答案】600

【巩固】 计算
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】11106

【巩固】 计算： （1）1348－234－76＋2234－48－24
（2）1847－1936＋536－154－46
（3）264+451-216+136-184+149
【考点】分组凑整 【难度】1星 【题型】计算
【解析】 在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注意运算符号的变化或者带着符号搬家．具体分析如下：
（1）式 ＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）
＝1300＋2000－100
＝3200
（2）式 ＝1847－（1936－536）－（154＋46）
＝1847－1400－200
＝247
（3）式 .
【答案】（1）3200 （2）247 （3）600

【巩固】
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛
【解析】 配对简算：，所填数
【答案】55

【例 2】 看谁的方法最巧呢？
⑴
⑵
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 ⑴通过观察这道题我们会发现，所有的加数是一些连续的数按顺序排列着，每相邻两数的差都相等，求这列连续数的和．可采用“移位分组”的方法解．我们把1和20，2和19，3和18……两个数一组；每组两个数的和都是21；有20个数，每两个数一组，共有10组．因此，解法有二．
（方法一）原式．一般地，像这样一类题，一列数的第一个数称为首项，最后一个数称为末项，这列数的个数称为项数．可归纳为一列连续数的和＝(首项+末项)×项数÷2．
（方法二）原式．
⑵这列数的首项是4，末项是36．每相邻两数的差都是2，这列数一共有17个数，故项数是17．这道题是求相邻差为2的17个连续自然数的和，可以这样解．
原式．
【答案】（1）210 （2）340

【例 3】 计算：
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果都是0，剩下第一项，结果是2005.
【答案】2005

【巩固】 计算： 。
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，2年级
【分析】原式

【答案】

【巩固】 计算．
51
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2010年，学而思杯，2年级
【解析】 原式

【答案】

【巩固】 计算：100-99+98-97+96-95+……+4-3+2-1=_
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2005年，希望杯，4年级，1试
【解析】 原式=(100-99)+(98-97)+(96-95)+……(4-3)+(2-1)=1+1+1+……+1+1=50
【答案】

【巩固】 （2＋4＋6＋……＋2006）－（1＋3＋5+7+……2005）＝
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2006年，希望杯，4年级，1试
【解析】 原式＝（2-1）+（43）+（6-5）+……+（2006-2005）
＝1+1+1+……+1
＝1×（2006÷2）
＝1003
【答案】

【巩固】 计算：

【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 从1989开始，每6个数一组，，以后每一组6个数加、减后都等于9. .最后剩下三个数3，2，1，.因此，原式
.
【答案】

【巩固】 仔细考虑，相信你可以找到巧妙算法的．

【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 先观察算式，看看算式中的数有什么规律？符号有什么规律？再进行计算．根据题目的特征，我们把算式从左至右每两个数作为一组，每组的计算结果均为1：，，，…，．整个算式成了求100个1的和，因此整个算式的结果等于100．原式
【答案】

【例 4】 看到下面的算式不要害怕，仔细考虑，相信你可以找到巧算的方法的.

【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 算式中只有加减法运算，可以去掉括号重新组合，1～99共99个数，奇数有50个，偶数有49个，除1以外，将剩余的49个奇数和49个偶数两两分组重新组合这样每相邻的两个数的差都是1．
原式

【答案】

【巩固】 计算
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 算式中只有加减法运算，可以去掉括号重新组合，1～1999共1999个数，奇数有1000个，偶数有999个，除1以外，将剩余的999个奇数和999个偶数两两分组重新组合，这样每相邻的两个数的差都是1．
原式

【答案】

【巩固】 计算：
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这道题若按运算顺序计算，计算量较大去掉小括号，适当的改变运算顺序，看看能否巧算呢？我们先把所有的小括号去掉，然后把差为1000的每两个数作一组，便可很快巧算出结果来.
原式

【答案】

【例 5】 张老师带着600元钱去商店买文具用品，依次花掉50元、90元、80元、70元、60元、50元、40元、30元、20元、10元，你能快速算出最后张老师还剩多少钱吗？
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这道题可用移位凑整法来速算，题中的十个减数可移位凑成五个100．
原式
【答案】

【巩固】
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这道题用“移位凑整”的方法来速算就简单多了．把题目的18个减数移位后凑成9个100，从而达到巧算的目的．
原式

在加减法混合算式与连减算式中，将减数先结合起来，集中一次相减，可简化运算．
【答案】

模块二、加补凑整
【例 6】 计算 （1）298＋396＋495＋691＋799＋21
（2）195＋196＋197＋198＋199＋15
（3）98－96－97－105＋102＋101
（4）399＋403＋297－501

【考点】加补凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：
（1）（法1）原式 ＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1
＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）
＝300＋400＋500＋700＋800
＝2700
（法2）原式 ＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21
＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21
＝2700
（2）（法1）原式 ＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）
＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000
（法2）原式 ＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15
＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000
（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）
＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1
＝3
（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）
＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1
＝598
注：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”．
【答案】（1）2700 （2）1000 （3）3 （4）598

【巩固】 计算：所得和数的数字之和是多少？
【考点】加补凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式

故所得数字之和等于.
【答案】

【巩固】 ___________。
【考点】加补凑整 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2005年，第3届，走美杯，3年级，决赛
【解析】 本题利用加法凑整的原则进行计算

【答案】

【巩固】 计算：__________．
【考点】加补凑整 【难度】1星 【题型】计算
【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛
【解析】 根据凑整的原则将10进行拆分为

【答案】

【例 7】 同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！ 也当一次小老师！
⑴ 　　1 ⑵
【考点】加补凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 ⑴（方法一）
由于此题的各个加数恰好接近整十、整百、整千……把每个加数加上1后就凑成了整十、整百、整千……然后从总和中减去5个补数的和．
原式
（方法二）
把加数19分解成，然后运用加法交换律和结合律进行巧算
原式

．
⑵ 原式．(没有凑整的条件，我们可以创造凑整的条件)
【答案】（1） （2）

【巩固】 计算： （1）9+99+999+……[phone]
（2）
【考点】加补凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 （1） 本题可以把所有的加数均看成整十、整百、整千……的数，最后再进行补数
原式＝10+100+1000+……[phone]
＝1111111110-9
＝1111111101
（2） 原式＝
＝
【答案】（1）1111111101 （2）

【巩固】 计算下面各题
　　　 ⑴
⑵
【考点】加补凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 （1）原式
（2）原式
【答案】（1） （2）

【巩固】 计算：
【考点】加补凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 利用凑整求和的思想来计算．
原式
【答案】

【巩固】 (1997年“全国小学数学奥林匹克”竞赛试题)计算：
．
【考点】加补凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 方法一
原式

方法二
原式

【答案】

模块三、位值原理
【例 8】 求算式的计算结果的各位数字之和．
【考点】位值原理 【难度】4星 【题型】计算
【解析】

，
数字和为：．
【答案】

【例 9】 计算：．
【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式()()()()()()
()
【答案】

【例 10】 计算：
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 仔细观察我们可以发现1、2、3、4、5、6分别在个、十、百、千、万、十万6个数位上各出现过一次，所以
原式[()() ()
()()()]
[()]．
【答案】

【巩固】 计算：
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
【答案】

【巩固】 计算：
【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】第五届，希望杯
【解析】 原式()()．
【答案】

【巩固】
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 因为每个数位上都出现了1、2、3、4、5，所以
原式
答案】

【巩固】 计算：
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 括号内的7个加数，都是由1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成，换句话说，这7个数的每一位也分别是1、2、3、4、5、6、7，它们的和是28，即如果不进位，每一位的和都是28．所以
原式

【答案】

【巩固】 计算：
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2004年，陈省身杯
【解析】 观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、十、个位各出现过一次，所以，
原式．
【答案】

【巩固】 计算：
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】

【答案】

【巩固】 计算：()．
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ()
()
()
．(这里没有把先算出来，而是运用了除法中的巧算方法)
【答案】

【巩固】 计算：()()
【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式()()
【答案】

【例 11】 计算:
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 （法）原式

（法）原式

（法）原式
【答案】

【例 12】 求的末三位数．
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式，原式的末四位为．
【答案】

【巩固】 求的末三位数字．
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式的末三位数字和每个加数的末三位数字的和的末三位相同，这些加数的末三位中有个，个，个，，所以原式的末三位数字为．
【答案】

【巩固】 求这10个数的和．
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 方法一：

=
==
=
=.

方法二：先计算这10个数的个位数字和为；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为；
【答案】

【例 13】 从1到2009这些自然数中所有的数字和是多少？
【考点】位值原理 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 向大家介绍两种方法，（都是先算0到999）
方法一：我们把0到999全看成三位数，不足三位的在前面加0补齐．这样从0到999共1000个自然数，用了（个）数字，很显然这3000个数字中有300个0，300个1，…300个9，所以数字和为
方法二：组合法，比如0和999，1和998，…，245和754，…总之可以找到每两个数它们的和刚好是999，因为不存在进位，所以每两个数的数字和都是，共1000个数，所以可以组成500对，和就是：．
算完0到999后再看1000到1999，比较发现每个数都比0到999的多一个千位数1，所以1000到1999的和是．
最后还要算2000到2009的数字和：，所以这个题的结果是：．
【答案】

模块四、基准数
【例 14】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 当我们把几个比较接近的数相加时，可以先选一个与这些数都比较接近的数作为“基准数”，把加法转化成乘法，以达到简化运算的目的，然后再把原来每个数与基准数的差距“多退少补”，修正过来．原式

【答案】

【巩固】 计算：
【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，初赛
【解析】 根据加法凑整的原则
【答案】

【巩固】 ⑴
⑵
【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 ⑴①原式=
=
=
=2700
②原式=
　 =
　 =2700
⑵原式=
=
=3
【答案】⑴2700 ⑵3

【巩固】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 当许多大小不同，但彼此又比较接近的数相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、整千的数作为基准数，再把大于基准数的加数分成基准数与某数的和，把小于基准数的加数写成基准数减去某数的差的形式．本题中的数都接近或等于280，所以取280为基准数，可得下面解法．原式.
【答案】

【巩固】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 当许多大小不同，但彼此又比较接近的数相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、整千的数作为基准数，再找出每个加数与基准数的差，大于基准数的差要加上，小于基准数的差要减去，使计算简便．本题中的数都接近或等于380，所以取380为基准数，可得下面解法．
原式

【答案】

【巩固】 计算下面各题．
⑴ ⑵
【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 （1）原式

（2）原式

20、在观星过程中，我们看到的天空中有一条闪亮的“银河”光带，实际是由许许多多的恒星组成的一个恒星集团，被人们称为银河系。我们生活的地球在银河系。【答案】⑴928 ⑵1200

4、日常生活中我们应该如何减少垃圾的数量？
【巩固】 计算：
【考点】基准数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式

3、怎样做才是解决垃圾问题最有效的方法呢？（P73） 　
【答案】1086

【例 15】
【例 16】 8、铁生锈的原因是什么？人们怎样防止铁生锈？四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩(分数)如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75 ．求这10名同学的总分．
【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错．观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大．我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，使计算简便化．这10个数与80的差如下：6，，，3，11，，12，，4，，其中“”号表示这个数比80小．于是得到：总和() ．

5、草蛉是蚜虫的天敌，七星瓢虫吃蚜虫，蜻蜓吃蚊子。这道题所用的方法就叫做加法的基准数法．这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况．考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百且大小在中间部分的数．
【答案】

二、问答题：
【巩固】
【巩固】 2、你知道哪些昆虫？某小组有20人，他们的数学成绩分别是：87、91、94、88、93、91、89、87、92、86、90、92、88、90、91、86、89、92、95、88，求这个组的平均成绩？

第三单元 宇 宙【考点】基准数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 选90为基准数，平均成绩()
．
【答案】

4、“我迈出了一小步，但人类迈出了一大步。”这句话是阿姆斯特朗说的。
【巩固】 某农场有10块麦田，每块的产量如下(单位：千克)：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461求平均每块麦田的产量．
【考点】基准数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】
【解析】 19、阳光、空气、水、土壤、岩石、植物、动物……构成了我们周围的环境。我们人类也是环境中的一部分，我们都生活在一不定的环境之中。人与自然和谐相处，共同发展，是我们共同的责任。选450为基准数，则平均每块产量() (千克)．
【答案】千克