小学二年级奥数下册第九讲-整数的分拆习题+答案.doc

第九讲 整数的分拆
　　例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？

　　解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.
　　由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：
　　小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.
　　例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？
　　解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.
　　7=1+2+4
　　9=1+8
　　10=2+8
　　13=1+4+8
　　14=2+4+8
　　15=1+2+4+8
　　外星人可按以上方式付款.
　　例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.
　　解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8.
　　这样由8×5=40及200-40=160，
　　可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.
　　最后得到下式：88+88+8+8+8=200.
　　例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.
　　解：1=1×1=12=1（特例）
　　4=2×2=22=1+3
　　9=3×3=32=1+3+5
　　16=4×4=42=1+3+5+7
　　25=5×5=52=1+3+5+7+9
　　36=6×6=62=1+3+5+7+9+11
　　49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13
　　64=8×8=82
　　=1+3+5+7+9+11+13+15
　　81=9×9=92
　　=1+3+5+7+9+11+13+15+17
　　100=10×10=102
　　=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
　　观察上述各式，可得出如下猜想：
　　一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积（平方）.
　　检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.
　　121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
　　144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23

　　结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.
　　例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？
　　解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：
　　1，2，3，4，5，6，7，8，9.
　　分析 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.
　　但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.
　　逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.
　　可见共有4种不同的写法.
　　例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.
　　解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9.
　　下面进行变化，如从9中取1加到2上，
　　又得12=1+3+8.
　　继续按类似方法变化，可得下列各式：
　　12=1+4+7=2+3+7，
　　12=1+5+6=2+4+6.
　　12=3+4+5.
　　共有7种不同的分拆方式.
　　例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.
　　解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-（9+8）=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，
　　以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：

　　21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种
　　∴ 共有11种不同的分拆方式.
　　例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和.

　　26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：
　　10+10+8+4+1=33种.
　　总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行.

习题九
　　1.把15分拆成不大于9的两个整数之和有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
　　2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.
　　3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
　　4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
　　5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.
　　6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.
　　7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？
　　8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？
　　9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分？
　　10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.
　　11.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组那么和为10的自然数组共有多少个？

习题九题答
　　1.解：共有2种不同的分拆方式：
　　15=9+6
　　15=8+7
　　2.解：共8种.

　　3.解：共12种.

　　4.解：共6种.
　　15=9+3+2+1
　　15=8+4+2+1

11、显微镜的发明，是人类认识世界的一大飞跃，把有类带入了一个崭新的微观世界。为了看到更小的物体，人们又研制出了电子显微镜和扫描隧道显微镜。电子显微镜可把物体放大到200万倍。　　15=7+5+2+1

13、清洁的自来水被用来洗脸、刷牙、洗衣、拖地后就成了污水。　　=7+4+3+1
　　15=6+53+1

17、近年来，我国积极推广“无车日”活动，以节约能源和保护环境。科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车，减少对空气的污染。　　=6+4+3+2
　　5.解：同第4题答案.
　　6.解：同第4题答案.
　　7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：

8、铁生锈的原因是什么？人们怎样防止铁生锈？　　87=64+16+4+2+1.

2、你知道哪些昆虫？　　8.解：从已有经验中可知6×636，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.

2、人们通常处理垃圾的方法有填埋或焚烧。　　即得100=64+6+6+6+6+6+6.

二、问答：　　9.解：仿例7解法，得下列分拆式：
　　1000=888+88+8+8+8.
　　10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：

23、我国是世界上公认的火箭的发源地，早在距今1700多年前的三国时代的古籍上就出现了“火箭”的名称。　　25×3=75（分）.

1、世界是由物质构成的。我们身边的书、橡皮、电灯、大树、动物、植物包括我们自己都是由物质构成的。　　所以其余的7枚硬币的价值是：

1、焚烧处理垃圾的优缺点是什么？　　100-75=25（分）.
　　将25分拆成7个数之和，（注意没有各数不同的限制）
　　25=1+1+1+1+1+10+10.
　　所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.
　　11.解：共8个.它们是（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3，3，4）.