1、3.2 微积分基本公式 3.2.1 原函数和不定积分概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式第1页第1页3.2.1 原函数和不定积分概念 一、案例 二、概念和公式引出第2页第2页 一、案例路程函数已知物体运动方程为，则其速度为 这里速度2t是路程t2导数，反过来，路程t2又称为速度2t什么函数呢？若已知物体运动速度v(t)，又如何求物体运动方程s(t)呢？第3页第3页 二、概念和公式引出二、概念和公式引出假如在开区间I内，可导函数 F(x)导函数为f(x),即当 时,或 则称函数 F(x)是函数f(x)在区间I内一个原函数原函数 原函数原函数第4页第4页若 是函数 在开区间 内
2、一个原函数，即其它符号名称与定积分中名称一致 不定积分不定积分在该区间 内不定积分不定积分，记作 称为 为任意常数）所有原函数表示式 则（C称为积分常数积分常数，第5页第5页或 或 函数不定积分与导数（或微分）之间运算关系：运算关系：第6页第6页3.2.2 基本积分表 一、案例 二、概念和公式引出第7页第7页一、案例一、案例 幂函数不定积分幂函数不定积分 于是类似地类似地,由基本初等函数求导公式，能够写出与之相应不定积分公式由基本初等函数求导公式，能够写出与之相应不定积分公式 由于是 一个原函数第8页第8页1.基本积分表 (1)为常数）(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)二、概念和公式引
3、出二、概念和公式引出第9页第9页(9)(10)(11)(12)(13)第10页第10页2、不定积分性质 即两个函数和（差）不定积分等于这两个函数不定积分和（差）。性质可推广到有限个函数情形为常数 即被积函数中不为常数因子能够提到积分号外(1)(1)性质性质1 1(2)(2)性质性质2 2第11页第11页3.2.3 微积分基本公式 一、案例 二、概念和公式引出 三、进一步练习第12页第12页列车快进站时必须减速若列车减速后速度为（km/min），问列车应当在离站台多远地方开始减速？解 由变速直线运动路程计算，有当列车速度为 时停下，解出（min）一、案例一、案例 列车制动列车制动 第13页第13
4、页，且 因此，求 即s（3)转化为求s(t),而（km）即列车在距站台1.5km处开始减速由速度与路程关系 知路程 满足列车从减速开始到停下来3min内所通过路程为将s(0)=0代入上式，得C=0，故第14页第14页原函数，则此公式称为微积分基本公式微积分基本公式，也称为牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式是连续函数 在区间 若函数上一个 二、概念和公式引出二、概念和公式引出微积分基本公式微积分基本公式第15页第15页2、定积分性质即两个函数和(差)定积分等于它们定积分和(差)性质可推广到有限个函数情形为常数 即被积函数常数因子能够提到积分号外(1)(1)性质性质1 1(2)(2)性质性质2 2第
5、16页第16页 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分简便办法，即求定积分值，只要求出被积函数 f(x)一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上增量F(b)F(a)即可.该公式把定积分计算归结为求原函数问题，揭示了定积分与不定积分之间内在联系.第17页第17页练习练习1 1 运动方程运动方程 已知一物体作直线运动，(1)求速度v与时间t函数关系；(2)求路程s与时间t函数关系 三、三、进一步练习进一步练习且当 时，加速度为 解(1)由速度与加速度关系 知速度 满足 且第18页第18页求不定积分，得 将代入上式得 C=2因此 (2)由路程与速度关系，知路程 满足且求不定积分，得 将代入上式得
6、C=3因此 第19页第19页练习练习2 2 磁场能量磁场能量 在电压和电流关联参考方向下，电感元件吸取功率为在dt时间内，电感元件在磁场中能量增长量为电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从0增大到i时，电感元件储存磁场能量为由此可见，磁场能量只与最后电流值相关，而与电流建立过程无关。第20页第20页练习练习3 3 电流函数电流函数 若t=0时i=2A，求电流i关于时间t函数.一电路中电流关于时间改变率为 解 由 得 将代入上式得 C=2因此 第21页第21页练习练习4 4 结冰厚度结冰厚度 起届时刻 t(单位：h)冰厚度（单位：cm），t 是正常数求y关于t函数给出，其中 是自结冰池塘结冰速度由 解 由,得 其中 t=0开始结冰，此时冰厚度为0，即有 y(0)=0代入上式，得 C=0.因此 第22页第22页
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