微积分的名称ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

微積分名稱微積分名稱Calculus一詞是源自拉丁文，原意是指石子。因為古歐洲人喜歡用石子來幫助計算，因此calculus被引申作計算意思。現時醫學上仍用calculus一詞代表石子。例：a calculous man不是指一位精通微積分人，而是一位患腎結石病人!第1页第1页微積分這個中文詞，最早見諸清代數學家李善蘭和英國人Wylie(偉烈亞力)在1859年合譯代微積拾級李善蘭在譯序中說：是書，先代數，次微分、次積分，由易而難，若階級之漸升。譯既竣，即名之曰代微積拾級。第2页第2页思绪和淵源思绪和淵源先積分，後微分，最後發展成為微積分積分概念：源於解決面積、體積、弧長及重心等問題微分概念：源於求變化率、曲線之切線，以及函數極大、極小值問題兩者是互逆運算第3页第3页積分概念三大支柱積分概念三大支柱窮竭法不可分元法平衡法第4页第4页窮竭法Antiphon(安提豐，約430BC)：隨著一個內接正多邊形邊數逐次成倍地增长，圓與正多邊形面積之差最終將被窮竭。第5页第5页Eudoxus(歐多克斯，約370BC)：假如從任何量中減去一個不小於它二分之一部分，再從餘下部分減去不小於它二分之一另一部分，等等，則最後將留下一個小於任何給定同類量量。第6页第6页窮竭法窮竭法當矩形數目愈來愈多，它們面積之和會愈來愈迫近曲邊形面積。第7页第7页不可分元法對一個平面片而言，其“不可分元”是指它一條弦(chord)對一個立體而言，其“不可分元”是指它一個平面截面第8页第8页不可分元法第9页第9页Democritus(德謨克利特 460370BC)根據不可分元想法，推出稜錐(或圓錐)體積是含有同樣底和高稜柱(或圓柱)體積三分之一。第10页第10页Cavalieri原理(卡瓦列利，15981647)：(1)若兩塊平面片處於二平行線之間，且被任意平行於此二平行線直線截得長度均相等，則這兩塊平面片面積相等。(2)若兩個立體處於二平行面之間，且被任意平行於此二平行面平面截得面積均相等，則這兩個立體體積相等。第11页第11页Cavalieri原理原理第12页第12页平衡法Archimedes(阿基米德，287212BC)平衡法是這樣：“為了找所求物體面積或體積，能够把它分成诸多窄平行條或平行層，然後(想像)把這些平行條或平行層掛在槓桿一端，使它與已知容積和重心物體保持平衡。”阿基米德用平衡法求得球體體積公式。第13页第13页平衡法第14页第14页古中國極限思想古中國極限思想莊子天下篇曰：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。劉徽創割圓術，謂割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。祖氏父子：夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異。(注：“冪”指截面面積，“勢”指高度)第15页第15页問題引路第一類問題：已知距離表為時間函數，求速度和加速度。反過來，已知加速度表為時間函數，求距離和速度。(例：Galileo曾探討此類問題)第二類問題：求已知曲線切線(例：Archimedes,Fermat,Barrow曾探討此類問題)第16页第16页第三類問題：求函數極大或極小值(例：Fermat,Barrow曾探討此類問題)第四類問題：求弧長、面積、體積、重心或物體之間引力(例：Archimedes,Barrow,劉徽及祖氏父子曾探討此類問題)第17页第17页第18页第18页第19页第19页促成微積分發展先驅促成微積分發展先驅Fermat(費馬)與Descartes(笛卡兒)分別創立解釋幾何(Analytic Geometry)，把代數與幾何結合Kepler(刻卜勒)發表運動三定律：(1)行星繞日運行軌道是橢圓形，以太陽為焦點；(2)從日至行星線段在相等時間內掃過相等面積；(3)行星繞日運行一周周期之平方與橢圓軌道半長軸之立方成正比。第20页第20页Galileo(伽利略)開展科學數學化方向。他在16一句名言：大自然奧秘都寫在這部永遠展開在我們面前偉大書本上，假如我們不先學會它所用語言，就不能理解它.這部書是用數學語言寫。第21页第21页牛頓牛頓(Newton 16421727)第22页第22页牛頓牛頓(Newton 16421727)貢獻貢獻1665年11月發現流數法(微分法)1666年5月發現反流數法(積分法)1669年完毕運用無窮多項方程分析學(17印行)。在論文中，他給出了求變量相對於時間瞬時變化率之普遍办法。另外，他證明了面積能够由求變化率逆過程得到(即微積分基本定理)第23页第23页1671年和1676年分別完毕流數法和無窮級數及求曲邊形面積；但論文完毕後，到1742及1693年才刊印。1687年，好友哈雷(Halley)為他出版自然哲學數學原理(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)。這是一本包括力學理論和流數法鉅著第24页第24页第25页第25页第26页第26页萊布尼茲萊布尼茲(Leibnitz 16461716)第27页第27页萊布尼茲萊布尼茲(Leibnitz 16461716)貢獻貢獻1684年發表一種求極大極小和切 線新办法，適用於分式和無窮量，以及這種新办法奇妙類型計算 創立微積分符號，對微積分傳播和發展產生很大影響，且始终沿用至今。第28页第28页他使用差計算(Calculus Differentialis)，後來成為專門術語微分學(Differential Calculus)另外，求和運算(Calculus Summatorius)由數學家約翰伯努利改為求整運算，之後成為專門術語積分學(Integral Calculus)兩者合稱為微積分(Calculus)第29页第29页第30页第30页第31页第31页Newton和和Leibnitz研究共同點研究共同點創立更普通和普遍微積分办法以代數办法代替幾何办法以微分、積分办法解決變率、切線、極值及求和問題第32页第32页Newton和Leibnitz研究不同點牛頓發展概念 ，而萊布尼茲著重微分dx牛頓研究微分概念是用來解決物理問題，萊布尼茲是為理解曲線切線問題牛頓經常將函數表為級數，逐項微分或積分；而萊布尼茲則用閉式(closed-form)第33页第33页萊布尼茲研究方式較理論化和條理化，且使用較簡單符號，令微積分便於普及和流傳後世。第34页第34页