1、一、换元积分法一、换元积分法二、惯用定积分公式及应用二、惯用定积分公式及应用第三节第三节 定积分换元积分定积分换元积分第1页第1页1.定理 设函数 在 上连续；函数 在 （或 ）上有连续导数；当 在 在 （或 ）上改变时，在 上改变，且 ，则有上式叫做定积分换元公式.一、换元积分法第2页第2页证证 设 ，第3页第3页则则 2.2.阐明阐明(1)(1)定积分换元公式中，用定积分换元公式中，用 把原变把原变量量 换成新变量换成新变量 时（这如同不定积分第二类时（这如同不定积分第二类换元），积分限也要换成相应于新变量换元），积分限也要换成相应于新变量 积积分限，但分限，但 相应值也许不唯一，只要任取
2、一相应值也许不唯一，只要任取一第4页第4页值即可值即可.(3)(3)换元公式也可反过来使用，即换元公式也可反过来使用，即(2)(2)求出换元后求出换元后 一个原函数一个原函数 时，只要将新变量时，只要将新变量 积分上下限分积分上下限分别代入别代入 中相减即可，不必象不定积分中相减即可，不必象不定积分那样再把那样再把 变成原变量变成原变量 函数函数 .第5页第5页换元过程为换元过程为 （这如同不定积分第一类（这如同不定积分第一类换元），且换元），且 ,;,;若此换元若此换元过过程是采用凑微分法，没有写出新程是采用凑微分法，没有写出新变变量量 ，则则不必不必换换元，即元，即 第6页第6页.解解 换
3、元：换元：，；换限：换限：，3.3.例题例题 例例1 1 计算计算第7页第7页注注 第一步是采用换元（不定积分第二类换第一步是采用换元（不定积分第二类换元法），换元同时必须换限。在计算元法），换元同时必须换限。在计算时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，第8页第8页补充补充：由定积分几何意义知，该积分值等由定积分几何意义知，该积分值等于由于由 ，直线，直线 所所围图形面积（见右图）围图形面积（见右图）.面积值为圆面积面积值为圆面积 .因此没有换限因此没有换限.第9页第9页例例2 2 计算计算 .解法解法1.1.换限：换限：，换元换元：，原式原式 .第1
4、0页第10页解法解法2.2.例例3 3 计算计算 .解解 第11页第11页第12页第12页例例4 4 设设 求求 解解 第13页第13页2 2解解 第14页第14页第15页第15页1.1.设设 在在 上连续，则上连续，则 （1 1）若若 为偶函数，为偶函数，（2 2）若若 为奇函数，为奇函数，二、惯用定积分公式及应用第16页第16页 证证 第17页第17页2.2.设设 是以是以 为周期连续函数，则为周期连续函数，则 证证 第18页第18页第19页第19页3.3.若若 在在 上连续，则上连续，则 证证 第20页第20页4.4.若若 在在 上连续，则上连续，则 证证 第21页第21页因此因此 第22页第22页解解 例例5 5 计算计算 .5.5.例题例题 第23页第23页例例6 6 计算计算 .解解 设设 ,则则 利用定积分公式利用定积分公式得得 第24页第24页例例7 7 计算计算 .解解 被积函数被积函数 是以是以 为周期连为周期连 续函数，利用定积分公式续函数，利用定积分公式得得 第25页第25页例例8 8 计算计算 .解解 积分区间为积分区间为 ，被积函数为，被积函数为 型，利用定积分公式型，利用定积分公式得得第26页第26页
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