1、解解是偶函数是偶函数,第1页第1页例设例设f(x)在在 a,b可导，且满足可导，且满足证实：存在证实：存在，使得使得，由罗尔定理由罗尔定理证证 由积分中值定理由积分中值定理，使得使得第2页第2页一、平面图形面积一、平面图形面积1.直角坐标情形直角坐标情形(1)以以 x 为积分变量为积分变量(2)以以 y 为积分变量为积分变量主要内容主要内容xy第3页第3页2.极坐标情形极坐标情形xxx第4页第4页2、直角坐标系直角坐标系情形情形弧弧1、参数方程情形、参数方程情形3、极坐标情形、极坐标情形弧弧二、弧长公式二、弧长公式弧长弧长第5页第5页(1)byoxa(2)1、已知平行截面面积已知平行截面面积A
2、(x)立体立体三、三、体积体积第6页第6页yboxa四、四、旋转体侧面积旋转体侧面积1.x=g(y)(c y d)绕绕 y 轴旋轴旋转转2.y=f(x)0 (a x b)绕绕 x 轴旋转轴旋转第7页第7页例例1.用定积分表示图中阴影部分面积用定积分表示图中阴影部分面积 A 及边界长及边界长 s.绕绕 y 轴旋转旋转体体积轴旋转旋转体体积V 解解 以以 y 为积分变量为积分变量第8页第8页抛物线部分直线段部分第9页第9页例例2.问问a 为何值时为何值时,曲线曲线与直线与直线及坐标轴所围图形绕及坐标轴所围图形绕 x 轴旋转轴旋转机动 目录 上页 下页 返回 结束 一周所得旋转体体积最小一周所得旋转
3、体体积最小?解解又又为唯一极小点为唯一极小点,因此因此时时 V 取最小值取最小值.第10页第10页例例3.证实曲边扇形证实曲边扇形绕极轴绕极轴证证:先求先求上小曲边扇形上小曲边扇形绕极轴旋转而成体积绕极轴旋转而成体积体积微元体积微元故旋转而成体积为旋转而成体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页第11页例例4.设有半径为设有半径为 R 半球形容器如图半球形容器如图.(1)以每秒以每秒 a 升速度向空容器中注水升速度向空容器中注水,求水深为求水深为为为h(0 h R)时水面上升速度时水面上升速度.(2)设容器中已注满水设容器中已注满水,求将其所有抽出所做功最求将其所有抽出所做功最少应为
4、多少少应为多少?解解:坐标系如图坐标系如图.则半圆方程为则半圆方程为设通过设通过 t 秒容器内水深为秒容器内水深为h,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页第12页(1)求求由题设由题设,通过通过 t 秒后容器内水量为秒后容器内水量为而高为而高为 h 球缺体积为球缺体积为半球可看作半圆半球可看作半圆绕绕 y 轴旋转而成轴旋转而成体积元素体积元素:故有故有两边对两边对 t 求导求导,得得at(升升),机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页第13页(2)将满池水所有抽出所做至少功将满池水所有抽出所做至少功为将所有水提为将所有水提相应于相应于微元体积:微元重力:薄层所需功元素薄层所需功元
5、素故所求功为故所求功为到池沿高度所需功到池沿高度所需功.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页第14页解解设木板对铁钉阻力为设木板对铁钉阻力为第一次锤击时所作功为第一次锤击时所作功为例例5 5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉阻力与用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉阻力与 铁钉进入木板深度成正比，铁锤在第一次锤击铁钉进入木板深度成正比，铁锤在第一次锤击 时将铁钉击入时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作功相等，厘米，若每次锤击所作功相等，问第问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入总深度为次击入总深度为 厘米厘米次锤击所作总功为次锤击所作总功为第15页第15页
6、依题意知，每次锤击所作功相等依题意知，每次锤击所作功相等次击入总深度为次击入总深度为第第 次击入深度为次击入深度为第16页第16页测测 验验 题题一、填空一、填空第17页第17页六、用定积分六、用定积分第18页第18页故所求旋转体体积为例例.求由求由与与所围区域绕所围区域绕旋转所得旋转体体积旋转所得旋转体体积.解解:曲线与直线交点坐标为曲线与直线交点坐标为曲线上任一点曲线上任一点到直线到直线距离为距离为则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第19页第19页例例.求抛物求抛物线线在在(0,1)内一条切线内一条切线,使使它与两坐标轴和抛物线所围图形面积最小它与两坐标轴和抛物线所围图形面积最小.解解:设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处切线方程为则该点处切线方程为面积面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页第20页即为最小点.所求切线得 0,1 上唯一驻点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页第21页例例解解由对称性由对称性,有有第22页第22页由对称性由对称性,有有第23页第23页A2A1法二 以 x 为积分区间第24页第24页A1A2第25页第25页
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