数学建模-公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

MATLAB数学试验数学试验第三章第三章 矩阵代数矩阵代数 10/10/1第三章 矩阵代数第1页第1页第三章第三章 矩阵代数矩阵代数n n3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n3.4 建模试验：投入产出分析和基因遗传建模试验：投入产出分析和基因遗传10/10/2第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第2页第2页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n线性方程组线性方程组n n记为记为 A x=b10/10/3第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第3页第3页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n线性方程组线性方程组若秩若秩若秩若秩(A)(A)秩秩秩秩(A,b)(A,b)，则无解；，则无解；，则无解；，则无解；若秩若秩若秩若秩(A)=(A)=秩秩秩秩(A,b)=n,(A,b)=n,存在唯一解；存在唯一解；存在唯一解；存在唯一解；若秩若秩若秩若秩(A)=(A)=秩秩秩秩(A,b)n,(A,b)n,存在无穷多解；存在无穷多解；存在无穷多解；存在无穷多解；通解是齐次线性方程组通解是齐次线性方程组通解是齐次线性方程组通解是齐次线性方程组 Ax=0 Ax=0 基础解系与基础解系与基础解系与基础解系与 Ax=b Ax=b 一一一一个特解之和。个特解之和。个特解之和。个特解之和。10/10/4第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第4页第4页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n逆矩阵逆矩阵n n方阵方阵A称为可逆，假如存在方阵称为可逆，假如存在方阵B，使，使A B=B A=E，记，记 B=A-1n n方阵方阵A可逆充足必要条件可逆充足必要条件:A0n nA-1=A*/|A|这里这里A*为为A伴随矩阵伴随矩阵n n（A E）行变换行变换（EA-1）10/10/5第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第5页第5页3.1 预备知识：线性代数预备知识：线性代数n n特性值与特性向量特性值与特性向量 对于方阵对于方阵A，若存在数，若存在数 和非零向量和非零向量x 使使 A x=x，则称，则称 为为A一一个特性值，个特性值，x 为为A 一个相应于特性值一个相应于特性值 特特性向量。性向量。n n特性值计算特性值计算归结为特性多项式求根。归结为特性多项式求根。n n特性向量计算特性向量计算：齐次线性方程组：齐次线性方程组(A-E)x=0 所有一组线性无关解。所有一组线性无关解。10/10/6第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第6页第6页3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n运算符运算符n nAA(共轭共轭共轭共轭)转置转置转置转置,A.,A.转置转置转置转置 n nA+BA+B与与与与A-BA-B 加与减加与减加与减加与减n nk+Ak+A与与与与k-Ak-A 数与矩阵加减数与矩阵加减数与矩阵加减数与矩阵加减n nk*Ak*A或或或或A*kA*k 数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵数乘矩阵 n nA*BA*B 矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法 n nAkAk 矩阵乘方矩阵乘方矩阵乘方矩阵乘方n n左除左除左除左除ABAB 为为为为AX=BAX=B解解解解n n右除右除右除右除B/AB/A 为为为为XA=BXA=B解解解解10/10/7第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第7页第7页3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n矩阵运算与数组运算区分矩阵运算与数组运算区分n n数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义数定义n n矩阵加、减、数乘等运算与数组运算是一矩阵加、减、数乘等运算与数组运算是一致致 n n矩阵乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方矩阵乘法、乘方和除法与数组乘法、乘方和除法不同和除法不同n n数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没故数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没故意义。但在意义。但在MATLAB中有定义。中有定义。10/10/8第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第8页第8页3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n特殊矩阵生成特殊矩阵生成n nzeros(m,n)zeros(m,n)m m行行行行n n列零矩阵列零矩阵列零矩阵列零矩阵;n nones(m,n)ones(m,n)m m行行行行n n列元素全为列元素全为列元素全为列元素全为1 1阵阵阵阵;n neye(n)eye(n)n n阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵阶单位矩阵;n nrand(m,n)rand(m,n)m m行行行行n n列列列列0,10,1上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵上均匀分布随机数矩阵10/10/9第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第9页第9页3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n矩阵处理矩阵处理 n ntrace(A)trace(A)迹迹迹迹(对角线元素和对角线元素和对角线元素和对角线元素和)n ndiag(A)diag(A)A A对角线元素构成向量对角线元素构成向量对角线元素构成向量对角线元素构成向量;n ndiag(x)diag(x)向量向量向量向量x x元素构成对角矩阵元素构成对角矩阵元素构成对角矩阵元素构成对角矩阵.n ntril(A)Atril(A)A下三角部分下三角部分下三角部分下三角部分n ntriu(A)Atriu(A)A上三角部分上三角部分上三角部分上三角部分n nflipud(A)flipud(A)矩阵上下翻转矩阵上下翻转矩阵上下翻转矩阵上下翻转n nfliplr(A)fliplr(A)矩阵左右翻转矩阵左右翻转矩阵左右翻转矩阵左右翻转n nreshape(A,m,n)reshape(A,m,n)矩阵矩阵矩阵矩阵A A元素重排成元素重排成元素重排成元素重排成mm行行行行n n列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵 10/10/10第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第10页第10页3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n矩阵分析矩阵分析 n nrank(A)rank(A)秩秩秩秩n ndet(A)det(A)行列式行列式行列式行列式;n ninv(A)inv(A)逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵;n nnull(A)null(A)Ax=0Ax=0基础解系；基础解系；基础解系；基础解系；n north(A)orth(A)A A列向量正交规范化列向量正交规范化列向量正交规范化列向量正交规范化n nnorm(x)norm(x)向量向量向量向量x x范数范数范数范数n nnorm(A)norm(A)矩阵矩阵矩阵矩阵A A范数范数范数范数10/10/11第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第11页第11页3.2 矩阵代数矩阵代数MATLAB指令指令n n特性值与原则形特性值与原则形n neig(A)eig(A)方阵方阵方阵方阵A A特性值特性值特性值特性值n nV,D=eig(A)V,D=eig(A)返回方阵返回方阵返回方阵返回方阵A A特性值和特性向量。其中特性值和特性向量。其中特性值和特性向量。其中特性值和特性向量。其中D D为特性值构成对角阵，每个特性值相应为特性值构成对角阵，每个特性值相应为特性值构成对角阵，每个特性值相应为特性值构成对角阵，每个特性值相应V V列为属列为属列为属列为属于该特性值一个特性向量。于该特性值一个特性向量。于该特性值一个特性向量。于该特性值一个特性向量。n nV,J=jordan(A)V,J=jordan(A)返回返回返回返回A A相同变换矩阵和约当原则相同变换矩阵和约当原则相同变换矩阵和约当原则相同变换矩阵和约当原则形形形形 10/10/12第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第12页第12页3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解 n n 矩阵除法矩阵除法 n n(1)(1)当当当当A A为方阵，为方阵，为方阵，为方阵，ABAB结果与结果与结果与结果与inv(A)*Binv(A)*B一致；一致；一致；一致；n n(2)(2)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B存在存在存在存在唯一解唯一解唯一解唯一解,AB,AB将给出这将给出这将给出这将给出这个解；个解；个解；个解；n n(3)(3)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B为不定方程组为不定方程组为不定方程组为不定方程组(即即即即无穷多解无穷多解无穷多解无穷多解)，ABAB将给出一个含有最多零元素将给出一个含有最多零元素将给出一个含有最多零元素将给出一个含有最多零元素特解特解特解特解；n n(4)(4)当当当当A A不是方阵不是方阵不是方阵不是方阵,AX=B,AX=B若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）若为超定方程组（即无解）,AB,AB给出给出给出给出最小二乘意义上近似解最小二乘意义上近似解最小二乘意义上近似解最小二乘意义上近似解，即使得向量，即使得向量，即使得向量，即使得向量AXAXB B模达到最小。模达到最小。模达到最小。模达到最小。10/10/13第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第13页第13页3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n例例3.1 解方程组解方程组 10/10/14第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第14页第14页3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n例例3.2 线性方程组通解线性方程组通解n n用用用用rrefrref化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解化为行最简形以后求解n n用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用用除法求出一个特解，再用nullnull求得一个齐次组基求得一个齐次组基求得一个齐次组基求得一个齐次组基础解系础解系础解系础解系n n用符号数学工具箱中用符号数学工具箱中用符号数学工具箱中用符号数学工具箱中solvesolve求解求解求解求解(第七章第七章第七章第七章)10/10/15第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第15页第15页3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n相同对角化及应用相同对角化及应用 n n假如假如假如假如n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵A A有有有有n n个线性无关特性向量，则必存在个线性无关特性向量，则必存在个线性无关特性向量，则必存在个线性无关特性向量，则必存在正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵P P,使得使得使得使得 P P-1-1AP=AP=,其中其中其中其中 是是是是A A特性值构成特性值构成特性值构成特性值构成对角矩阵，对角矩阵，对角矩阵，对角矩阵，P P列向量是相应列向量是相应列向量是相应列向量是相应n n个正交特性向量。个正交特性向量。个正交特性向量。个正交特性向量。n n使用使用使用使用MATLABMATLAB函数函数函数函数eigeig求得每个特性向量都是单位求得每个特性向量都是单位求得每个特性向量都是单位求得每个特性向量都是单位向量向量向量向量(即模等于即模等于即模等于即模等于1)1)，并且属于同一特性值线性无关，并且属于同一特性值线性无关，并且属于同一特性值线性无关，并且属于同一特性值线性无关特性向量已正交化，因此由此容易进行相同对角化。特性向量已正交化，因此由此容易进行相同对角化。特性向量已正交化，因此由此容易进行相同对角化。特性向量已正交化，因此由此容易进行相同对角化。10/10/16第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第16页第16页3.3 计算试验：线性方程组求解计算试验：线性方程组求解n n例例3.3 用相同变换矩阵用相同变换矩阵P将将A相同对角化，相同对角化，并求并求 10/10/17第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第17页第17页3.4 建模试验建模试验设有设有n个经济部门，个经济部门，xi为部门为部门i总产出，总产出，cij为部门为部门j单位产品对部门单位产品对部门i产品消耗，产品消耗，di为外部对部门为外部对部门i需需求，求，fj为部门为部门j新创造价值。新创造价值。分派平衡方程组分派平衡方程组消耗平衡方程组消耗平衡方程组 i=1,2,n10/10/18第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第18页第18页投入产出分析投入产出分析令令 C=（cij），），X=(x1,xn),D=(d1 1,dn n)，F=(f1 1,fn n),则则 X=CX+D令令 A=EC，E为单位矩阵，则为单位矩阵，则 AX=DC称为称为直接消耗矩阵直接消耗矩阵A称为称为列昂杰夫（列昂杰夫（Leontief）矩阵）矩阵。10/10/19第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第19页第19页Y=1,1,1BY表示各部门总投入，称为投入向量。新创造价值向量 F=XY B=CB表示各部门间投入产出关系，称为投入产出矩阵。10/10/20第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第20页第20页投入产出分析投入产出分析 例例3.4 3.4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，和一条铁路，开采一元钱煤，煤矿要支付开采一元钱煤，煤矿要支付0.250.25元元电费及电费及0.250.25元运送费元运送费;生产一元钱电力，发电厂生产一元钱电力，发电厂要支付要支付0.650.65元煤费，元煤费，0.050.05元电费及元电费及0.050.05元运送费元运送费;创收一元钱运送费创收一元钱运送费,铁路要支付铁路要支付0.550.55元煤费和元煤费和0.100.10元电费，元电费，在某一周内煤矿接到外地金额在某一周内煤矿接到外地金额5000050000元定元定货，发电厂接到外地金额货，发电厂接到外地金额2500025000元定货，外界对地元定货，外界对地方铁路没有需求。方铁路没有需求。10/10/21第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第21页第21页解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,则问三个公司间一周内总产值多少才干满足本身及外界需求？三个公司间互相支付多少金额？三个公司各创造多少新价值?10/10/22第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第22页第22页直接消耗矩阵C=外界需求向量D=产出向量X=则原方程为则原方程为(E-C)X=D 投入产出矩阵为B=C*diag(X)总投入向量Y=ones(1,3)*B新创造价值向量F=X-Y10/10/23第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第23页第23页表3.3投入产出分析表(单位：元)消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915总产出102088561632833010/10/24第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第24页第24页后代是从父母体基因对中各继承一个基因，形成自己基因型。假如所考虑遗传特性是由两个基因A和a控制，那么有三种基因型，上表给出父母基因型所有也许组合使其后代形成每种基因正确概率。基因遗传基因遗传10/10/25第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第25页第25页例5 设金鱼某种遗传病染色体正常基由于A，不正常基由于a,那么AA，Aa，aa分别表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。设初始分布为90%正常金鱼，10%隐性患者，无显性患者。考虑下列两种配种方案对后代该遗传病基因型分布影响方案一：同类基因结合，均可繁殖；方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正常金鱼结合繁殖10/10/26第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第26页第26页解 设初始分布X(1)=(0.90.10),第n代分布为X(n)=A=B=则X(n)=An-1X(1)X(n)=Bn-1X(1)分别是两种情况下第n代基因型分布10/10/27第三章第三章 矩阵代数矩阵代数第27页第27页