数学物理方法分离变量法公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

本章中心内容本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题用分离变量法求解各种有界问题第二章第二章 分离变量法分离变量法1第第1页页第第1页页本章基本要求本章基本要求n掌握有界弦自由振动解及其物理意义掌握有界弦自由振动解及其物理意义n着重掌握分离变量法解题思绪、着重掌握分离变量法解题思绪、解题环节及其关键问题解题环节及其关键问题-本征值问题本征值问题2第第2页页第第2页页分离变量法关键：分离变量法关键：本章考虑问题本章考虑问题（1 1）混合问题（混合问题（2 2）边值问题）边值问题本章层次：本章层次：3偏微分方程偏微分方程常微分方程常微分方程齐次方程齐次方程+齐次边界条件齐次边界条件非齐次方程非齐次方程+齐次边界条件齐次边界条件非齐次方程非齐次方程+非齐次边界条件非齐次边界条件第第3页页第第3页页分离变量法思绪起源分离变量法思绪起源物理上由乐器发出声音能够分解为各种不同频率单物理上由乐器发出声音能够分解为各种不同频率单音，每种单音振动时形成正弦曲线，能够表示成音，每种单音振动时形成正弦曲线，能够表示成42.1 2.1 齐次方程问题齐次方程问题特点：含两个变量函数能够表示为两个分别只含一个特点：含两个变量函数能够表示为两个分别只含一个变量函数之积。变量函数之积。第第4页页第第4页页这个定解问题这个定解问题特点特点是：偏微分方程是是：偏微分方程是线性奇次线性奇次，边界，边界条件也是条件也是奇次奇次。研究两端固定弦自由振动研究两端固定弦自由振动定解问题定解问题解：解：这是解分离变量这是解分离变量泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：5研究两端固定弦自由振动研究两端固定弦自由振动定解问题定解问题（第一类齐次边界条件）（第一类齐次边界条件）由前面思绪，设由前面思绪，设第第5页页第第5页页 x,t 是互相独立变量是互相独立变量（求非零解）（求非零解）1 1 1 1、分离变量分离变量分离变量分离变量代入方程中，代入方程中，分离过程：分离过程：得出两个常微分方程：得出两个常微分方程：代入边界条件：代入边界条件：6第第6页页第第6页页高数中结论：高数中结论：2 2 2 2、求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问题求解本征值问题7若有二阶常系数线性齐次方程若有二阶常系数线性齐次方程其中其中p p、q q为常数，则特性方程为为常数，则特性方程为第第7页页第第7页页 本方程特性方程本方程特性方程r2+=0，由上面结论知，方程解，由上面结论知，方程解与与不同取值相关，分情况讨论：不同取值相关，分情况讨论：8(1)(2)此时此时此时此时X X X X（x x x x）=0=0=0=0，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；第第8页页第第8页页C2是是积分常数积分常数9非零解非零解(3)则则则则X X X X（x x x x）一族非零解为）一族非零解为）一族非零解为）一族非零解为 上解称为满足边界条件固有解（特性解），上解称为满足边界条件固有解（特性解），上解称为满足边界条件固有解（特性解），上解称为满足边界条件固有解（特性解），称为固称为固称为固称为固有值（特性值），有值（特性值），有值（特性值），有值（特性值），sinsinsinsin函数称为固有函数（特性函数）。函数称为固有函数（特性函数）。函数称为固有函数（特性函数）。函数称为固有函数（特性函数）。第第9页页第第9页页固得到下面一族解：固得到下面一族解：A、B 是积分常数是积分常数3 3 3 3、解出时间函数，得到一族解解出时间函数，得到一族解解出时间函数，得到一族解解出时间函数，得到一族解时间函数解时间函数解10解方程解方程 n=1,2,31,2,3 第第10页页第第10页页代入初始条件，有代入初始条件，有 普通情况下满足不了，怎么办？！普通情况下满足不了，怎么办？！利用叠加原理！利用叠加原理！114 4 4 4、通过初始条件，求出通解通过初始条件，求出通解通过初始条件，求出通解通过初始条件，求出通解第第11页页第第11页页此时要满足初始条件，则此时要满足初始条件，则 12第第12页页第第12页页则定解问题最后解为则定解问题最后解为13第第13页页第第13页页5 5 5 5、物理意义：、物理意义：、物理意义：、物理意义：是驻波，（固有振动模式）是驻波，（固有振动模式）相邻节点之间距离等于半波长相邻节点之间距离等于半波长 波长波长=节点数节点数 n+1 n+1,位置位置 lnlnnlnlx,)1(,2,0-=14第第14页页第第14页页15本征频率本征频率lnavlannn22,=p pw wp pw w n=1n=1 时时,1lap pw w=基频基频基波基波（决定了音调）（决定了音调）n n 1 1 时时lannp pw w=谐谐频频谐波（决定了音色）谐波（决定了音色）波腹波腹波节波节第第15页页第第15页页（4 4）拟定级数解中待定常数（利用初始条件）拟定级数解中待定常数（利用初始条件）6 6 6 6、分离变量法概要：分离变量法概要：分离变量法概要：分离变量法概要：（1 1）将偏微分方程化简为常微分方程（）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)U=XT)（2 2）拟定固有值和固有函数（利用边界条件）拟定固有值和固有函数（利用边界条件）（3 3）拟定形式解（级数形式解）拟定形式解（级数形式解）16第第16页页第第16页页17例：求解例：求解（第二类齐次边界条件）（第二类齐次边界条件）解：解：设设第第17页页第第17页页18此时边界条件为：此时边界条件为：相应相应特性值问特性值问题题为：为：此时此时此时此时X X X X（x x x x）=0=0=0=0，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；(1)第第18页页第第18页页19 同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；(2)非零解非零解(3)第第19页页第第19页页20则特性解为则特性解为则特性解为则特性解为将特性值代入将特性值代入将特性值代入将特性值代入T T T T（t t t t）方程，解出）方程，解出）方程，解出）方程，解出则则则则u u u u（x x x x，t t t t）特解族为）特解族为）特解族为）特解族为第第20页页第第20页页同样很难满足初始条件，由叠加原理得同样很难满足初始条件，由叠加原理得 21此时要满足初始条件，有此时要满足初始条件，有 第第21页页第第21页页22故定解问题最后解为故定解问题最后解为第第22页页第第22页页2.2 有限长杆上热传导23第第23页页第第23页页24第第24页页第第24页页25此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为第第25页页第第25页页26由初始条件有由初始条件有 第第26页页第第26页页2.3 二维拉普拉斯方程定解问题 （1）圆域）圆域 由于边界形状是个圆周，圆域边界条件中由于边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是是不可直接分离，故化为极坐标求解。不可直接分离，故化为极坐标求解。27第第27页页第第27页页28第第28页页第第28页页第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件变量分离形式解点约束条件变量分离形式解29第第29页页第第29页页30周期本征值问题周期本征值问题欧拉方程欧拉方程第第30页页第第30页页第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程31第第31页页第第31页页依据叠加原理，得到级数解依据叠加原理，得到级数解32第第32页页第第32页页第三步：利用边界条件第三步：利用边界条件利用傅立叶级数系数求解公式利用傅立叶级数系数求解公式33第第33页页第第33页页欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程附录：欧拉方程34第第34页页第第34页页欧拉方程算子解法欧拉方程算子解法:35第第35页页第第35页页则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:36第第36页页第第36页页 （2）矩形域）矩形域37第第37页页第第37页页38第第38页页第第38页页39叠加后级数解为叠加后级数解为第第39页页第第39页页40第第40页页第第40页页泛定方程泛定方程边界条件边界条件本征值问题本征值问题本征值本征值本征函数本征函数 k=1,2,3k=1,2,3 k=0,1,2,3 41k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第第41页页第第41页页422.4 非奇次方程解法 研究一根弦在两端固定情况下，受逼迫力作研究一根弦在两端固定情况下，受逼迫力作用所产生振动现象。用所产生振动现象。即考虑下列定解问题：即考虑下列定解问题：第第42页页第第42页页43 怎么办？！怎么办？！很明显现在不能直接用前面变量分离起手式很明显现在不能直接用前面变量分离起手式进行分解，由于等式右边非齐次尾巴没办法处理！进行分解，由于等式右边非齐次尾巴没办法处理！现在情况下，弦振动和现在情况下，弦振动和两个原因两个原因相关，一是相关，一是外力外力，二是，二是初始状态初始状态。有否经历过类似情景？是否有可借鉴类似情有否经历过类似情景？是否有可借鉴类似情况？况？第第43页页第第43页页44 借用结论：借用结论：这里我们用一招移花接木！这里我们用一招移花接木！全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 零输入零输入=初始状态引起振动，与外力无关；初始状态引起振动，与外力无关；零状态零状态=外力引起振动，与初始状态无关外力引起振动，与初始状态无关第第44页页第第44页页45 设解为：设解为：初始状态原因初始状态原因（零输入）（零输入）外力原因外力原因（零状态）（零状态）第第45页页第第45页页46 （零输入响应）（零输入响应）（零状态响应）零状态响应）第第46页页第第46页页47 对对V（x，t），可直接用前面变量分类法求），可直接用前面变量分类法求出：出：第第47页页第第47页页48 对对W（x，t），如何求？），如何求？第第48页页第第48页页49第第49页页第第49页页50第第50页页第第50页页51第第51页页第第51页页52 设设解法二解法二第第52页页第第52页页53第第53页页第第53页页54第第54页页第第54页页55 原方程解为：原方程解为：第第55页页第第55页页56 例例 在环形域在环形域 内求解下列定解问题内求解下列定解问题解解由于求解区域是环形区域，因此改选取平由于求解区域是环形区域，因此改选取平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间关系间关系第第56页页第第56页页57将上述定解问题用极坐标表示出来：将上述定解问题用极坐标表示出来：利用上节求出圆域拉普拉斯方程本征函数，利用上节求出圆域拉普拉斯方程本征函数，设解为设解为第第57页页第第57页页58 代入方程并整理得到：代入方程并整理得到：比较两端系数可得比较两端系数可得第第58页页第第58页页59再由边界条件得再由边界条件得通解为：通解为：求解得求解得第第59页页第第59页页60特解有特解有因此有因此有代入边界条件有代入边界条件有原定解问题解为原定解问题解为第第60页页第第60页页612.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理设有定解问题设有定解问题 边界条件非齐次，若用前面办法分离变量，由边界条件边界条件非齐次，若用前面办法分离变量，由边界条件没有办法得到只与某个常微分方程相关详细边界函数值。没有办法得到只与某个常微分方程相关详细边界函数值。怎么办？！怎么办？！第第61页页第第61页页62想办法把边界条件化为齐次！想办法把边界条件化为齐次！设法作一代换将边界条件化为齐次，令设法作一代换将边界条件化为齐次，令因此要求因此要求选取选取W(x,t)使使V(x,t)边界条件化为齐次，即边界条件化为齐次，即第第62页页第第62页页63 普通这样函数是很容易找到，最简朴如选取关于普通这样函数是很容易找到，最简朴如选取关于x x线线性函数：性函数：代入代入w w（x x，t t）要满足边界条件，可求出：）要满足边界条件，可求出：第第63页页第第63页页64此时关于此时关于V定解问题为定解问题为因此只要做下列代换，因此只要做下列代换，V将满足齐次边界条件。将满足齐次边界条件。第第64页页第第64页页65其中其中关于关于V V（x x，t t）问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。）问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。第第65页页第第65页页66 当边界条件不同时，方法一致（关键在与当边界条件不同时，方法一致（关键在与w（x，t）选取），）选取），W（x，t）形式不同。）形式不同。惯用最简朴惯用最简朴w w（x x，t t）形式）形式第第66页页第第66页页67通过上式能够求出通过上式能够求出W W（x x）形式。）形式。注：若注：若f f，u u1 1，u u2 2都与都与t t无关，则可选取无关，则可选取W W（x x）（与）（与t t无关），无关），使使V V（x x，t t）同时满足齐次方程和齐次边界条件，此时）同时满足齐次方程和齐次边界条件，此时 W W（x x）需满足：）需满足：第第67页页第第67页页68此时此时u u（x x，t t）=V=V（x x，t t）+W+W（x x），则），则V V（x x，t t）满足）满足第第68页页第第68页页69例1：求形式解，其中A,B均为常数。解：令代入方程有第第69页页第第69页页70通过二次积分即边界条件求得：则V方程为：第第70页页第第70页页71利用分离变量法，带齐次边界方程解为利用第二个初始条件代入第一个初始条件有即第第71页页第第71页页72由傅里叶系数公式可得因此，原定解问题解为：第第72页页第第72页页73例2 求定解问题其中b,u1均为常数。解：令代入方程有第第73页页第第73页页74分解为两个方程（零输入响应）（零状态响应）第第74页页第第74页页75对于问题（I），能够直接采用分离变量法求解。代入有由边界条件有由此得到下面两个常微分方程第第75页页第第75页页76易求得特性值和特性函数为：代入含T方程有第第76页页第第76页页77它通解为从而问题（I）解可表示为其中Cn由初始条件拟定为第第77页页第第77页页78故所求解V（1）(x,t）为对于问题（II），能够用特性函数法求解，将方程自由项及解都按特性函数系来展开。第第78页页第第78页页79其中vn(t)满足由此可解得第第79页页第第79页页80从而问题（II）解为原方程解为第第80页页第第80页页本章小结分离变量法关键：偏微分方程常微分方程（1）基础齐次方程+齐次边界条件（直接变量分离法求解）（2）复杂化非齐次方程+齐次边界条件分解为齐次方程+齐次边界条件+非零初始条件（零输入）（直接变量分离法求解）非齐次方程+齐次边界条件+零初始条件（零状态）（固有函数法求解，设出级数解形式，求时间函数）81第第81页页第第81页页（3）近一步复杂化非齐次方程+非齐次边界条件1）做代换使边界条件齐次；2）同（2）综上（1）为（2）基础，（2）为（3）基础！82第第82页页第第82页页