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数学物理方程主要内容三种基本方程、五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数通解法行波法（达朗贝尔公式）分离变量法(Fourier级数法)积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数叠加原理齐次化原理三种基本问题初值问题边值问题混合问题回顾一：第1页第1页哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla 拉普拉斯算子 一些常见符号与梯度算子相关场论运算 平面上拉普拉斯算子 第2页第2页(4)按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和 变变系数微分方程系数微分方程；(5)按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程(1)按自变量个数，分为二元和多元方程按自变量个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和 非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程；(3)按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程和高阶微分方程；回顾二：偏微分方程普通分类偏微分方程普通分类 第3页第3页 判断下列方程类型：一阶线性三阶拟线性一阶非线性Warm-up第4页第4页调和方程调和方程：热传导方程：波动方程：回顾三：三类典型偏微分方程 琴弦振动；杆、膜、液体、气体等振动；电磁场振荡等 热传导中温度分布；流体扩散、粘性液体流动 空间静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布 或 第5页第5页1.3 1.3 定解条件和定解问题定解条件和定解问题 通解和特解 定解条件 定解问题第一章第一章 偏微分方程定解问题偏微分方程定解问题1.5 1.5 叠加原理和齐次化原理（冲量原理）叠加原理和齐次化原理（冲量原理）第6页第6页7举例举例（设未知函数为二元函数）（设未知函数为二元函数）1.2.作变量代换解为：解为：1.2.1 通解与特解通解与特解为任意函数为任意函数第7页第7页8举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：第8页第8页例 验证是方程解，其中f,g是任意两个二阶连续可微函数，a为正常数。解：故移项即证。第9页第9页例：二维Laplace方程 一些特解：特解特解 中心对称解：周期称解：多项式称解：第10页第10页什么是定解问题？什么是定解问题？泛定方程泛定方程：描述某类物理现象共同规律数学表示 式偏微分方程（比如，波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等等）。注-它解可含任意函数，因而不能用来拟定或反应一个真实物理过程。定解条件定解条件：伴随一个完整物理过程发生详细条件，普通包括初始条件初始条件与边界条件边界条件。初始条件：初始条件：用来阐明某一详细物理现象初始状态条件初始状态条件。边界条件边界条件：用来阐明某一详细物理现象边界上约束情况条件边界上约束情况条件。注注：初始条件个数与方程中出现未知函数u对时间变量t导数阶数相关。边界条件和初始条件反应了详细问题特殊环境和历史，即个性。其它条件其它条件：能够用来阐明某一详细物理现象情况条件。定解问题：定解问题：泛定方程加上适当定解条件就构成一个定解问题，即定解问题定解问题=泛定方程泛定方程+定解条件定解条件。基本概念基本概念第11页第11页 初始时刻温度分布：B、热传导方程初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程初始条件不含初始条件，只含边界条件条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程初始条件1、初始条件、初始条件描述系统初始状态描述系统初始状态系统各点初位移系统各点初速度1.3 1.3 定解条件定解条件第12页第12页(2)自由端：弹性杆x=a 端既不固定，又不受位移方向力作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上情况描述系统在边界上情况A、波动方程边界条件(1)固定端：对于两端固定弦横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 弹簧支承。或或：第13页第13页B、热传导方程边界条件(1)第一类（第一类（Dirichlet）边界条件）边界条件(设S为给定区域V 边界)(2)第二类（第二类（Neumann）边界条件）边界条件(3)第三类（第三类（Robin）边界条件）边界条件牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质热量跟物体表面和外面温差成正比。热互换系数；周围介质温度,(齐次边界条件)（齐次，表示绝热）热场第14页第14页1 1、定解问题、定解问题定解问题概念定解问题概念(1)初始问题初始问题（Cauchy问题）=泛定方程+初始条件：只有初始条件，没有边界条件定解问题；(2)边值问题边值问题=泛定方程+边界条件：没有初始条件，只有边界条件定解问题；(3)混合问题混合问题=泛定方程+初始条件+边界条件：既有初始条件，也有边界条件定解问题。第15页第15页波动方程波动方程输运方程输运方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程泊松方程泊松方程第一类边界条件第一类边界条件第二类第二类第三类第三类周期性周期性边界条件边界条件有界性有界性条件条件 演化方程演化方程 稳定方程稳定方程线性边界条件线性边界条件自然边界条件自然边界条件初始状态初始状态初始速度初始速度泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件定解问题定解问题第16页第16页2、定解问题适定性、定解问题适定性一个定解问题是否能够反应实际，从数学角度看主要是三个方面问题：解存在性解存在性:在给定定解条件下，定解问题是否有解定解问题是否有解?解唯一性解唯一性:在给定定解条件下，定解问题解若存在，是否解若存在，是否唯一唯一?解稳定性解稳定性：当定解条件当定解条件及方程中参数及方程中参数有微小变动时，解是有微小变动时，解是否有相应微小变动否有相应微小变动。假如当定解条件及方程中参数有微小改变时，其解仅有微小变动,则称该定解问题解是稳定稳定，不然称它解是不稳定不稳定。由于定解条件中一些已知量，通常总是利用试验得到数据，不可避免地会有一定误差，因此人们自然会关怀定解条件微小扰动是否会造成解改变很大。定解问题适定性（定解问题适定性（存在存在 +唯一唯一 +稳定稳定）：）：假如一个定解问题存在唯一稳定解，则此问题是适定。不然就称它为不适定。第17页第17页 由于许多数学物理问题均能够用适定定解问题由于许多数学物理问题均能够用适定定解问题来来处处理理，长长期期以以来来，人人们们认认为为不不适适定定数数学学物物理理问问题题研究是没故意义，然而在实际问题中经常碰到不适定研究是没故意义，然而在实际问题中经常碰到不适定问题。问题。比如，对于某物体，希望在某时刻含有一个实际比如，对于某物体，希望在某时刻含有一个实际温度分布，那么在初始时刻物体应当含有一个什么样温度分布，那么在初始时刻物体应当含有一个什么样温度分布才干达到此目的？温度分布才干达到此目的？这就是一个不适定问题它是所谓数学物理问题这就是一个不适定问题它是所谓数学物理问题反问题。反问题。通过研究，人们找到了处理这类不适定问题通过研究，人们找到了处理这类不适定问题一些办法。现在对不适定问题研究已成为偏微分一些办法。现在对不适定问题研究已成为偏微分方程一个主要研究方向。方程一个主要研究方向。第18页第18页线性方程解含有有限（无限）叠加特性 1.5.1 1.5.1 叠加原理：叠加原理：物理上，几个不同原因综合所产生效果等于这些不同原因单独产生效果累加。利用此原理，能够把一个复杂线性问题分解成若干个简朴线性问题来求解。第19页第19页-设设 满足方程满足方程 为常数，而级数为常数，而级数 收敛，且能够逐项微分两次，则收敛，且能够逐项微分两次，则 满足方程满足方程 ，若级数，若级数 收敛收敛。另，参见书本另，参见书本230230页（页（积分）叠加原理积分）叠加原理3 3。第20页第20页叠加原理应用应用应用：应用：齐次方程两个解线性组合仍为原方程解；齐次方程两个解线性组合仍为原方程解；非齐次方程特解加相应齐次方程解，结果为非齐次非齐次方程特解加相应齐次方程解，结果为非齐次方程解；方程解；两个非齐次方程解线性组合，为一个新非齐次方程两个非齐次方程解线性组合，为一个新非齐次方程解，新方程自由项为原方程自由项同样组合。解，新方程自由项为原方程自由项同样组合。多个多个非齐次方程解线性组合情况类似。非齐次方程解线性组合情况类似。第21页第21页一维非齐次波动方程一维非齐次波动方程cauchycauchy问题：问题：考虑无界弦逼迫振动问题（A）（B）解记为（C）解记为由叠加原理可知（可由达朗贝尔公式给出）1.5.2 齐次化原理（冲量原理）齐次化原理（冲量原理）第22页第22页一维非齐次波动方程一维非齐次波动方程cauchycauchy问题：问题：考虑无界弦逼迫振动问题（A）（B）解记为（C）解记为由叠加原理可知（可由达朗贝尔公式给出）1.5.2 齐次化原理（冲量原理）齐次化原理（冲量原理）第23页第23页（D）由达朗贝尔公式，可得问题（D）解为第24页第24页定理（齐次化原理齐次化原理1）设 是问题（D）解，则 是问题（C）解。另参见书本231-233页。注：齐次化原理作用就是将齐次化原理作用就是将非齐次方程非齐次方程定解问题定解问题求解求解转化为齐次方程转化为齐次方程定解问题求解。定解问题求解。第25页第25页设设 满足柯西问题满足柯西问题 其中，为关于自变量 常系数线性偏微分算子。则柯西问题柯西问题 解为齐次化原理齐次化原理2第26页第26页作 业#1DUE Next Wednesday,March 11第一章习题，234-236页，1(1)，4,6,8,10更正更正：题6中 ，即 是 函数。第27页第27页