1、1 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数第第1页页第第1页页2本次课主要内容本次课主要内容(一一)、行波法、行波法(二二)、积分变换法、积分变换法行波法与积分变换法习题课行波法与积分变换法习题课第第2页页第第2页页3(一一)、行波法、行波法1、要点回顾、要点回顾(1)行波法合用范围是什么？行波法合用范围是什么？答：波动方程初值问题。答：波动方程初值问题。(2)行波法求解波动方程定解问题要领是什么？行波法求解波动方程定解问题要领是什么？答：引入变量替换，将方程化为变量可积形式，从而求出答：引入变量替换，将方程化为变量可积形式，从而求出其通解；用定解条件拟定通解中任意函数其通解；用定解条件拟定通解
2、中任意函数(或常数或常数)，从而，从而求出其特解。求出其特解。第第3页页第第3页页4(3)无限长弦自由振动问题达朗贝尔公式是什么？公式物理无限长弦自由振动问题达朗贝尔公式是什么？公式物理意义是什么意义是什么？答：答：(a)公式为：公式为：(b)物理意义：弦上任意扰动总是以行波形式分别向弦两物理意义：弦上任意扰动总是以行波形式分别向弦两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中系数个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中系数a。(4)如何求解无限长弦纯逼迫振动问题和普通逼迫振动问题如何求解无限长弦纯逼迫振动问题和普通逼迫振动问题？第第4页页第第4页页5答答(a)纯逼迫振动纯逼迫振动定解问题为：
3、定解问题为：求解办法：齐次化原理求解办法：齐次化原理(b)普通逼迫振动普通逼迫振动定解问题为：定解问题为：第第5页页第第5页页6求解办法：利用函数分解办法对定解问题进行拆分求解办法：利用函数分解办法对定解问题进行拆分答：答：(a)公式公式为：为：(5)三维自由振动泊松公式是什么？公式物理意义三维自由振动泊松公式是什么？公式物理意义是什么？是什么？(b)物理意义：物理意义：1)空间任意一点空间任意一点M在任意时刻在任意时刻t0状态完全状态完全由以该点为心，由以该点为心，at为半径球面上初始扰动决定；为半径球面上初始扰动决定；2)当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清楚当初始扰动限制在空间某
4、局部范围内时，扰动有清楚“前锋前锋”与与“阵尾阵尾”，即惠更斯原理成立。，即惠更斯原理成立。第第6页页第第6页页7答：答：(a)公式公式为：为：(5)二维齐次波动方程柯西问题泊松公式是什么？公式物理二维齐次波动方程柯西问题泊松公式是什么？公式物理意义是什么？意义是什么？(b)物理意义：物理意义：1)空间任意一点空间任意一点M在任意时刻在任意时刻t0状态完全状态完全由以该点为心，由以该点为心，at为半径圆盘域上初始扰动决定；为半径圆盘域上初始扰动决定；2)局部初始扰动对二维空间上任意一点扰动有连续后效，波局部初始扰动对二维空间上任意一点扰动有连续后效，波传播有清楚前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。
5、传播有清楚前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。第第7页页第第7页页82、典型题型、典型题型(1)利用行波法求解利用行波法求解例例1、求下面柯西问题解：、求下面柯西问题解：解：特性方程解：特性方程为：为：特性线方程为：特性线方程为：第第8页页第第8页页9令令：变换原方程化成原则型：变换原方程化成原则型：通解为通解为:代入条件代入条件得：得：第第9页页第第9页页10例例2、求波动方程古沙问题、求波动方程古沙问题第第10页页第第10页页11解：方程通解为：解：方程通解为：由由(2)得：得：又由又由(3)得：得：由由(4)与与(5)得：得：第第11页页第第11页页12因此：因此：又由又由(4)得：得：因此
6、：因此：(2)半无界问题求解半无界问题求解采用延拓或行波办法求解采用延拓或行波办法求解第第12页页第第12页页13例例3、半无限长杆端点受到纵向力、半无限长杆端点受到纵向力F(t)=Asint作用，求解作用，求解杆振杆振动动。解：定解问题为：解：定解问题为：Fun|x=0.YS0 x第第13页页第第13页页14解：办法解：办法1：延拓法：延拓法首先，当首先，当xat时，端点影响没有传到，因此有：时，端点影响没有传到，因此有：另一方面，当另一方面，当xat时，端点影响已经传到，因此定解问题时，端点影响已经传到，因此定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：延
7、拓后定解问题解为：延拓后定解问题解为：第第14页页第第14页页15欲使延拓后解限制在欲使延拓后解限制在x0上上时为时为原定解原定解问题问题解，只需解，只需让让延延拓解拓解满满足足边边界条件，即：界条件，即：为此：令为此：令只要：只要：又令又令第第15页页第第15页页16得到：得到：因此有：因此有：因此当因此当x00时：时：(2)求像函数求像函数(3)求原像函数求原像函数当当00时：时：像函数为像函数为：第第41页页第第41页页42由卷积定理由卷积定理：这里：这里：第第42页页第第42页页43于是得定解为：于是得定解为：第第43页页第第43页页44例例14、求解下列定解问题：、求解下列定解问题：解解:(1)作针对于时间变量作针对于时间变量Laplace变换变换 第第44页页第第44页页45(2)、求像函数：、求像函数：(3)、求原像函数：、求原像函数：第第45页页第第45页页46 因此原像函数：因此原像函数：例例15、求解下列定解问题、求解下列定解问题(习题习题5.4第第5题题)：第第46页页第第46页页47解解:(1)作针对于时间变量作针对于时间变量Laplace变换变换 (2)、求像函数：、求像函数：第第47页页第第47页页48(3)、求原像函数：、求原像函数：由延迟定理：由延迟定理：得：得：第第48页页第第48页页49因此原像函数为：因此原像函数为：第第49页页第第49页页
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