概率与统计数学期望公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第七章第七章 数字特性及极限理论数字特性及极限理论数学盼望数学盼望方差和原则差方差和原则差协方差和相关系数协方差和相关系数大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理第1页第1页一、数学盼望概念一、数学盼望概念三、数学盼望性质三、数学盼望性质二、随机变量函数数学盼望二、随机变量函数数学盼望四、小结四、小结第一节第一节 数学盼望数学盼望第2页第2页引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)A,B 两人赌技相同两人赌技相同,各出各出赌金赌金100元元,并商定先胜三局者为并商定先胜三局者为胜胜,取得所有取得所有 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,假如要分赌金假如要分赌金,该如何分派才算公平该如何分派才算公平?一、数学盼望概念一、数学盼望概念 第3页第3页A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过三局把已赌过三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有下列四种情况则结果有下列四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 第4页第4页因此因此,A 能能“盼望盼望”得到数目应为得到数目应为 而而B 能能“盼望盼望”得到数目得到数目,则为则为故有故有,在赌技相同情况下在赌技相同情况下,A,B 最后获胜最后获胜也许性大小之比为也许性大小之比为即即A 应取得赌金应取得赌金 而而 B 只能取得赌金只能取得赌金第5页第5页因而因而A盼望所得赌金即为盼望所得赌金即为X“盼望盼望”值值,等于等于X 也许值与其概率之积累加也许值与其概率之积累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局前提局前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最后所得赌金最后所得赌金.则则X 所取也许值为所取也许值为:其概率分别为其概率分别为:第6页第6页 设某射击手在同样条设某射击手在同样条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中环数是一个随机变量命中环数是一个随机变量).射中次数统计下列射中次数统计下列引例引例2 射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率第7页第7页解解平均射中环数平均射中环数设射手命中环数为随机变量设射手命中环数为随机变量 Y.第8页第8页 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”稳定值稳定值 平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数也许值与其概率之积累加射中环数也许值与其概率之积累加第9页第9页1.离散型随机变量数学盼望离散型随机变量数学盼望第10页第10页分赌本问题分赌本问题A 盼望所得赌金即为盼望所得赌金即为 X 数学盼望数学盼望射击问题射击问题 “平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 数学盼望数学盼望第11页第11页关于定义几点阐明关于定义几点阐明 (3)随机变量数学盼望与普通变量算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一个加权平均,与普通平均值不同,它从本质上表达了随机变量 X 取可能值真正平均值,也称均值.(2)级数绝对收敛性级数绝对收敛性确保了级数和不确保了级数和不随级数各项顺序改变而改变随级数各项顺序改变而改变,之因此这样要之因此这样要求是由于数学盼望是反应随机变量求是由于数学盼望是反应随机变量X 取也许值取也许值平均值平均值,它不应随也许值排列顺序而改变它不应随也许值排列顺序而改变.第12页第12页随机变量随机变量 X 算术平均值为算术平均值为假设假设它从本质上表达了随机变量它从本质上表达了随机变量X 取也许值平均值取也许值平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个也许值是等概率分布时取各个也许值是等概率分布时,X 盼望值与算术平均值相等盼望值与算术平均值相等.第13页第13页试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?实例实例1 谁技术比较好谁技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手第14页第14页解解故甲射手技术比较好故甲射手技术比较好.第15页第15页实例实例2 发行彩票创收利润发行彩票创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张,每张每张2元元.设头等奖设头等奖1个个,奖金奖金 1万元万元,二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各100元元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10 元元.每张每张彩票成本费为彩票成本费为 0.3 元元,请计算彩票发行单位创收利请计算彩票发行单位创收利润润.解解设每张彩票中奖数额为随机变量设每张彩票中奖数额为随机变量X,则则第16页第16页每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票创收利润为万张彩票创收利润为第17页第17页实例实例3 如何拟定投资决议方向如何拟定投资决议方向?某人有某人有10万元钞票，想投资于某万元钞票，想投资于某项目，预估成功机会为项目，预估成功机会为 30%，可得利，可得利润润8万元万元，失败机会为失败机会为70%，将损失，将损失 2 万元若存入银行，同期间利率为万元若存入银行，同期间利率为5%，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行利息存入银行利息:故应选择投资故应选择投资.第18页第18页2.连续型随机变量数学盼望定义连续型随机变量数学盼望定义第19页第19页解解因此因此,用户平均等待用户平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.实例实例4 用户平均等待多长时间用户平均等待多长时间?设用户在某银行窗口等待服务时间设用户在某银行窗口等待服务时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求用户等待服务平均时间试求用户等待服务平均时间?第20页第20页1.离散型随机变量函数数学盼望离散型随机变量函数数学盼望解解二、随机变量函数数学盼望二、随机变量函数数学盼望设随机变量设随机变量 X 分布律为分布律为第21页第21页则有则有因此离散型随机变量函数数学盼望为因此离散型随机变量函数数学盼望为若若 Y=g(X),且且则有则有第22页第22页2.连续型随机变量函数数学盼望连续型随机变量函数数学盼望若若 X 是连续型是连续型,它分布密度为它分布密度为 f(x),则则3.二维随机变量函数数学盼望二维随机变量函数数学盼望第23页第23页第24页第24页解解实例实例5 设设(X,Y)分布律为分布律为第25页第25页由于由于第26页第26页第27页第27页实例实例6 第28页第28页解解第29页第29页第30页第30页实例实例7 解解第31页第31页因此盼望所得为因此盼望所得为第32页第32页第33页第33页1.设设 C 是常数是常数,则有则有证实证实2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证实证实比如比如三、数学盼望性质三、数学盼望性质第34页第34页4.设设 X,Y 是互相独立随机变量是互相独立随机变量,则有则有3.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有证实证实阐明阐明 连续型随机变量连续型随机变量 X 数学盼望与离散型随机数学盼望与离散型随机变量数学盼望性质类似变量数学盼望性质类似.第35页第35页解解实例实例8第36页第36页第37页第37页四、小结四、小结数学盼望是一个实数,而非变量,它是一个加权平均,与普通平均值不同,它从本质上表达了随机变量 X 取可能值真正平均值.2.数学盼望性质数学盼望性质第38页第38页思考问题思考问题1 1商店销售策略商店销售策略第39页第39页思考问题思考问题2 分组验血分组验血第40页第40页第41页第41页到站时刻到站时刻概率概率思考问题思考问题3第42页第42页