1、3.5 曲线凹凸性与函数图形描绘一、曲线凹凸性与拐点一、曲线凹凸性与拐点二、函数图形描绘二、函数图形描绘返返 回回第1页第1页一、曲线凹凸性与拐点 凡呈凸形弧段其切线总位于曲线上方凡呈凸形弧段其切线总位于曲线上方,凡呈凹形凡呈凹形弧段弧段,其切线总位于曲线下方其切线总位于曲线下方.返返 回回第2页第2页定义定义1若曲线若曲线在某区间内位于其切线在某区间内位于其切线则称该曲线在此区间内是凹则称该曲线在此区间内是凹,此区间为凹区间此区间为凹区间.反之反之,若曲线位于其切线下方若曲线位于其切线下方,则称曲线在此区间是则称曲线在此区间是凸凸,此区间称为凸区间此区间称为凸区间.上方上方,返返 回回第3页
2、第3页定理定理1 1返返 回回第4页第4页证证返返 回回第5页第5页因此因此返返 回回第6页第6页返返 回回第7页第7页例例1 1解解注意到注意到,第8页第8页定义定义2设函数设函数在某区间内连续在某区间内连续,则曲线则曲线在该区间内凹凸分界点在该区间内凹凸分界点,叫做该曲线拐点叫做该曲线拐点.第9页第9页定理定理2（拐点必要条件）（拐点必要条件）注意：注意：定理定理3返返 回回第10页第10页例例1间与拐点间与拐点.解解间间.返返 回回第11页第11页返返 回回第12页第12页例例2 2解解返返 回回第13页第13页注意注意:例例3 3解解返返 回回第14页第14页二、函数图形描绘定义定义1
3、.曲线水平渐近线和垂直渐近线曲线水平渐近线和垂直渐近线返返 回回第15页第15页1 1）.垂直渐近线垂直渐近线返返 回回第16页第16页返返 回回第17页第17页2 2）.水平渐近线水平渐近线因此因此返返 回回第18页第18页返返 回回第19页第19页2.函数图形描绘函数图形描绘描绘函数图形其普通环节为：描绘函数图形其普通环节为：（1）拟定函数定义域，并讨论其对称性和周期性；）拟定函数定义域，并讨论其对称性和周期性；（2）讨论函数单调性，极值点和极值；）讨论函数单调性，极值点和极值；（3）函数图形凹凸区间和拐点；）函数图形凹凸区间和拐点；（4）讨论函数图形水平渐近线和垂直渐近线；）讨论函数图形
4、水平渐近线和垂直渐近线；（5）依据需要补充函数图形上若干点（如与坐标轴）依据需要补充函数图形上若干点（如与坐标轴交点等等）；交点等等）；（6）描图）描图.返返 回回第20页第20页例例4返返 回回解：第21页第21页将上述讨论列为下表将上述讨论列为下表返返 回回第22页第22页返返 回回第23页第23页例例5 5解解求该函数一阶导数和二阶导数，得求该函数一阶导数和二阶导数，得返返 回回第24页第24页返返 回回第25页第25页 依据以上结论，即可描绘出所给函数图形依据以上结论，即可描绘出所给函数图形.返返 回回1第26页第26页例例6 6解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.返返 回回第27页第27页列表拟定函数升降区间列表拟定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点返返 回回第28页第28页作图作图返返 回回第29页第29页第30页第30页第31页第31页第32页第32页第33页第33页第34页第34页例例解解求该函数一阶导数和二阶导数，得求该函数一阶导数和二阶导数，得返返 回回第35页第35页将上述情况归结为下表：将上述情况归结为下表：由于由于返返 回回第36页第36页返返 回回第37页第37页
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