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2011年西藏中考数学真题及答案

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
2．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=75°，则∠3的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
4．（3分）反比例函数的图象经过点，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．（3分）由四舍五入得到的近似数0.630，下列说法正确的是（　　）
A．精确到百分位，有2个有效数字
B．精确到千分位，有2个有效数字
C．精确到百分位，有3个有效数字
D．精确到千分位，有3个有效数字
6．（3分）下列分解因式正确的是（　　）
A．x2﹣4=（x+2）（x+2） B．x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3
C．2m2n﹣8n3=2n（m2﹣4n2） D．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2
7．（3分）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）

A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C
8．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是﹣2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．18 B．36 C． D．
10．（3分）如图．点O是△ABC的内心，若∠ACB=70°，则∠A0B=（　　）

A．140° B．135° C．125° D．110°
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣3，﹣2），B（1，2），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　）
A．（2，6） B．（3，5） C．（6，2） D．（5，3）
12．（3分）如图，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，展开后的三角形的周长是（　　）

A．6+2 B．6+4 C．4+2 D．4+4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：|﹣1|﹣（﹣2）2=　 　．
14．（3分）若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是　 　．
15．（3分）如图，云丹同学要制作一个高PO=8cm，底面直径AB=12cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则他所需纸板的面积是　 　cm2（结果保留π）

16．（3分）为迎接“五一”劳动节，拉萨某商场举行优惠酬宾活动．某件商品的标价为630元，为吸引顾客，按标价的90%出售，这时仍可盈利67元，则这件商品的进价是　 　元．
17．（3分）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是　 　mm．

18．（3分）在实数范围内定义运算“☆”，其法则为：a☆b=a2﹣b2，则8☆（4☆3）=　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共46分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中a=﹣1．
20．（5分）解不等式组：，并将它的解集在数轴上表示出来．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．
（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知AD=4，AB=5，AC=6，求外接圆的半径．

22．（6分）为庆祝西藏和平解放60周年，在布达拉宫广场上空飘着印有“和谐西藏，大美西藏”的气球P以增添节日气氛．如图，A，B是地面上相距100m的两观测点，它们分别在气球下方的两侧，从A处测得仰角∠PAB=30°，从B处测得仰角∠PBA=45°，求气球P的高度（结果保留根号）

23．（8分）2011年西安世界园艺博览会于4月28日开幕．调查统计前20天参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图（部分未完成）
西安世园会前20天参观人数的频数分布表
组别（万人）
组中值（万人）
频数
频率
1.5～2.5
2
5
0.25
2.5～3.5
a
6
0.30
3.5～4.5
4
6
0.30
4.5～5.5
5
3
b
请根据以上图表提供的信息，解决下列问题：
（1）表中a=　 　，b=　 　；并在图中补全频数分布直方图；
（2）求出日参观人数不低于4万人的天数及所占的百分比；
（3）利用以上信息，试估计西安世园会（会期178天）的参观人数．

24．（8分）为欢迎中外游客来西藏旅游观光，拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线，其最大高度为7米，底部宽度OE为14米，如图以O点为原点，OE所在直线为X轴建立平面直角坐标系．
（1）写出顶点M的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OE上，设长OA为x米，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB，的长度之和为l，当x为何值时，l最大，最大值是多少？

25．（8分）已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S△MOD=2S△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2011年西藏中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=．
故选：C．
2．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，
解得x≤3．
故选：D．
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=75°，则∠3的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠4，又∠4=∠5，
∴∠5=∠1，又∠1=50°，
∴∠5=50°，
又∵∠6=∠2=75°，
则∠3=180°﹣（∠5+∠6）=55°．
故选：A．

4．（3分）反比例函数的图象经过点，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【解答】解：将点代入y=得，
a=2×=1，
故选：C．
5．（3分）由四舍五入得到的近似数0.630，下列说法正确的是（　　）
A．精确到百分位，有2个有效数字
B．精确到千分位，有2个有效数字
C．精确到百分位，有3个有效数字
D．精确到千分位，有3个有效数字
【解答】解：精确到千分位，有3个有效数字：6，3，0．
故选：D．
6．（3分）下列分解因式正确的是（　　）
A．x2﹣4=（x+2）（x+2） B．x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3
C．2m2n﹣8n3=2n（m2﹣4n2） D．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2
【解答】解：A、应为x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故选项错误；
B、x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3，不是分解因式，故选项错误；
C、2m2n﹣8n3=2n（m2﹣4n2）=2n（m+2n）（m﹣2n），故选项错误；
D、x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2，故选项正确．
故选：D．
7．（3分）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）

A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C
【解答】解：A、∵AB=AC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；
B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，
此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；
C、∵∠ADB=∠ADC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；
D、∵∠B∠C，
∴，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．
故选：B．
8．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（﹣2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（﹣2，0）和（4，0），
∴这条抛物线的对称轴是：x==1，即x=1；
故选：A．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．18 B．36 C． D．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ADC=120°，
∴∠A=60°，
过点B作BE⊥AD于E，
则∠ABE=90°﹣60°=30°，
∵AB=6，
∴AE=AB=×6=3，
在Rt△ABE中，BE===3，
所以，菱形ABCD的面积=AD•BE=6×3=18．
故选：C．

10．（3分）如图．点O是△ABC的内心，若∠ACB=70°，则∠A0B=（　　）

A．140° B．135° C．125° D．110°
【解答】解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠BAO=∠CAO=∠BAC，∠ABO=∠CBO=∠ABC，
∵∠ACB=70°，
∴∠ABC+∠BAC=180°﹣∠ACB=110°，
∴∠A0B=180°﹣（∠BAO+∠ABO）=180°﹣（∠BAC+∠ABC）=180°﹣×110°=125°．
故选：C．
11．（3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣3，﹣2），B（1，2），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　）
A．（2，6） B．（3，5） C．（6，2） D．（5，3）
【解答】解：由A（﹣3，﹣2）的对应点A′的坐标为（﹣2，2 ），
坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加1，纵坐标加4，
∴点B′的横坐标为1+1=2；纵坐标为2+4=6；
即所求点B′的坐标为（2，6．
故选：A．
12．（3分）如图，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，展开后的三角形的周长是（　　）

A．6+2 B．6+4 C．4+2 D．4+4
【解答】解：根据题意可得：三角形的底边为2（14÷2﹣5）=4，
腰的平方为：22+42=20，
因此等腰三角形的腰为：=2，
则展开后的三角形的周长为：4+2×2=4+4．
故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：|﹣1|﹣（﹣2）2=　﹣3　．
【解答】解：|﹣3|﹣（﹣2）2=1﹣4=﹣3．
故答案为﹣3．

14．（3分）若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是　外离或内含　．
【解答】解：外离或内含时，两圆没有公共点．
故答案为外离或内含．
15．（3分）如图，云丹同学要制作一个高PO=8cm，底面直径AB=12cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则他所需纸板的面积是　60π　cm2（结果保留π）

【解答】解：∵AB=12cm，
∴BO=6cm，
∵PO=8cm，
∴BP==10（cm），
∴侧面面积=π×6×10=60π（cm2）．
故答案为：60π．
16．（3分）为迎接“五一”劳动节，拉萨某商场举行优惠酬宾活动．某件商品的标价为630元，为吸引顾客，按标价的90%出售，这时仍可盈利67元，则这件商品的进价是　500　元．
【解答】解：设这件商品的进价是x元，由题意得：
630×90%=x+67，
解得：x=500，
故答案为：500．
17．（3分）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是　8　mm．

【解答】解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
则下面的距离就是2．
利用相交弦定理可得：2×8=AB×AB，
解得AB=8．
故答案为：8．

18．（3分）在实数范围内定义运算“☆”，其法则为：a☆b=a2﹣b2，则8☆（4☆3）=　15　．
【解答】解：由题意得，4☆3=16﹣9=7，8☆7=64﹣49=15．
故8☆（4☆3）=15．
故答案为：15．

三、解答题（本大题共7小题，共46分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中a=﹣1．
【解答】解：
=+
=+
=，
当a=﹣1时，==1．
20．（5分）解不等式组：，并将它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，由①得，x≥﹣；由②得，x＜1，
故此不等式组的解集为：﹣＜x＜1，
在数轴上表示为：

21．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．
（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O作直径AE，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知AD=4，AB=5，AC=6，求外接圆的半径．

【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求的三角形的外接圆，AE为直径；

（2）∵∠B、∠E所对的弧都是，
∴∠B=∠E，
∵AD⊥BC，AE是直径，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴=，
∵AD=4，AB=5，AC=6，
∴=，
解得AE=．
所以，外接圆的半径为．

22．（6分）为庆祝西藏和平解放60周年，在布达拉宫广场上空飘着印有“和谐西藏，大美西藏”的气球P以增添节日气氛．如图，A，B是地面上相距100m的两观测点它们分别在气球下方的两侧，从A处测得仰角∠PAB=30°，从B处测得仰角∠PBA=45°，求气球P的高度（结果保留根号）

【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
∵从A处测得仰角∠PAB=30°，从B处测得仰角∠PBA=45°，A，B是地面上相距100m，
设BC=x，则AC=100﹣x，
∴CP=BC=x，
∴tan30°==，
解得：x=50（﹣1）m．
答：气球P的高度为50（﹣1）m．

23．（8分）2011年西安世界园艺博览会于4月28日开幕．调查统计前20天参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图（部分未完成）
西安世园会前20天参观人数的频数分布表
组别（万人）
组中值（万人）
频数
频率
1.5～2.5
2
5
0.25
2.5～3.5
a
6
0.30
3.5～4.5
4
6
0.30
4.5～5.5
5
3
b
请根据以上图表提供的信息，解决下列问题：
（1）表中a=　3　，b=　0.15　；并在图中补全频数分布直方图；
（2）求出日参观人数不低于4万人的天数及所占的百分比；
（3）利用以上信息，试估计西安世园会（会期178天）的参观人数．

【解答】解：（1）2.5﹣3.5小组的组中值是a=（2.5+3.5）÷2=3，
b=3÷20=0.15，

（2）不低于4万应有3+6=9天，所占百分比为9÷20=45%
∵世园会前20天的平均每天参观人数约为（2×5+3×6×+4×6+5×3）÷20=3.35（万人），
∴西安世园会（会期178天）的参观人数178×3.35=596.3万人
24．（8分）为欢迎中外游客来西藏旅游观光，拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线，其最大高度为7米，底部宽度OE为14米，如图以O点为原点，OE所在直线为X轴建立平面直角坐标系．
（1）写出顶点M的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OE上，设长OA为x米，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB，的长度之和为l，当x为何值时，l最大，最大值是多少？

【解答】解：（1）由题意结合图形可得点M坐标为（7，7），点E坐标为（14，0），
设抛物线解析式为：y=ax2+bx，则，
解得：，故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x；

（2）设A（x，0），则B（14﹣x，0），C（14﹣x，﹣x2+2x），D（x，﹣x2+2x），
故“脚手架”总长AD+DC+CB=（﹣x2+2x）+（14﹣2x）+（﹣x2+2x）=﹣x2+2x+14=﹣（x﹣）2+17.5，
∵此二次函数的图象开口向下，
∴当x=3.5米时，l有最大值，最大值为17.5米．
25．（8分）已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD=．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S△MOD=2S△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO=2，OD=4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO===，
∵tan∠APD=，
∴∠ADO=∠APD，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO+∠APD=90°，
∴∠PDA=180°﹣90°=90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．

（2）解：在△ADO中，OA=2，OD=4，由勾股定理得：AD=2，
在Rt△PDA中，tan∠APD==，
即PD=4，
由勾股定理得：AP==10，
∵OA=2，
∴OP=8，
即P（﹣8，0），
∵D（0，4），
∴设直线PD的解析式是：y=kx+4，
把P的坐标代入得：0=﹣8k+4，
解得：k=，
∴直线PD的解析式是y=x+4，
假如存在M点，使得S△MOD=2S△AOD，
设M的坐标是（x，x+4），
如图：
当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，
∵S△MOD=2S△AOD，
∴×4×（﹣x）=2××2×4，
解得：x=﹣4，
y=x+4=2，
即此时M坐标是（﹣4，2），
当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y=x+4得y=6，
此时M的坐标是（4，6），
即在直线PD上存在点M，使得S△MOD=2S△AOD，点M的坐标是（﹣4，2）或（4，6）．