1、第1页第1页一、概念与公式一、概念与公式1.定义定义2.通项公式通项公式3.前前 n 项和公式项和公式二、等比数列性质二、等比数列性质 1.首尾项性质首尾项性质:有穷等比数列中有穷等比数列中,与首末两项距离相等两与首末两项距离相等两项积相等项积相等,即即:尤其地尤其地,若项数为奇数若项数为奇数,还等于中间项平方还等于中间项平方,即即:a1an=a2an-1=a3an-2=.若数列若数列 an 满足满足:=q(常数常数),则称则称 an 为等比数列为等比数列.an+1anan=a1qn-1=amqn-m .na1 (q=1);Sn=a1-anq 1-q=(q1).a1(1-qn)1-q a1an
2、=a2an-1=a3an-2=a中中2.第2页第2页尤其地尤其地,若若 m+n=2p,则则 aman=ap2.2.若若 p+q=r+s(p、q、r、sN*),则则 apaq=aras.3.等比中项等比中项 假假如如在在两两个个数数 a、b 中中间间插插入入一一个个数数 G,使使 a、G、b 成成等等比比数列数列,则则 G 叫做叫做 a 与与 b 等比中项等比中项.5.顺次顺次 n 项和性质项和性质 4.若数列若数列 an 是等比数列是等比数列,m,p,n 成等差数列成等差数列,则则 am,ap,an 成等比数列成等比数列.6.若数列若数列 an,bn 是等比数列是等比数列,则数列则数列 anb
3、n,也也是等比数列是等比数列.anbnG=ab.若若 an 是公比为是公比为 q 等比数列等比数列,则则 ak,ak,ak 也成等也成等比数列比数列,且公比为且公比为 qn.k=2n+1 3n k=1 nk=n+1 2n 第3页第3页7.单调性单调性 8.若数列若数列 an 是等差数列是等差数列,则则 ban 是等比数列是等比数列;若数列若数列 an 是正项等比数列是正项等比数列,则则 logban 是等差数列是等差数列.三、判断、证实办法三、判断、证实办法1.定义法定义法;2.通项公式法通项公式法;3.等比中项法等比中项法.a10,q1,a10,0q0,0q1,a11,an 是递减数列是递减
4、数列;q=1 an 是常数列是常数列;q0)等等比数列比数列.(1)求使求使 anan+1+an+1an+2an+2an+3(n N*)成立成立 q 取值范取值范围围;(2)若若 bn=a2n-1+a2n(n N*),求求 bn 通项公式通项公式.(1)0q0.后三数成等比数列后三数成等比数列,其最后一个数是其最后一个数是 25,解得解得:a=16,d=4.故所求四数分别为故所求四数分别为 12,16,20,25.a-d+a+a+d=48,且且(a+d)2=25a.a-d=12,a+d=20.课后练习题课后练习题第11页第11页 2.在等比数列在等比数列 an 中中,a1+a6=33,a3a4
5、=32,an+1an.(1)求求 an;(2)若若 Tn=lga1+lga2+lgan,求求 Tn.解解:(1)an 是等比数列是等比数列,a1a6=a3a4=32.又又a1+a6=33,a1,a6 是方程是方程 x2-33x+32=0 两实根两实根.an+1an,a60,bn0,由由式得式得 an+1=bn bn+1.(1)证证:依题意有依题意有:2bn=an+an+1,an+1=bn bn+1.2222从而从而当当 n2 时时,an=bn-1 bn,代入代入得得 2bn=bn-1 bn+bn bn+1.22bn=bn-1+bn+1(n2).bn 是等差数列是等差数列.(2)解解:由由 a1
6、=1,b1=2 及及两式易得两式易得 a2=3,b2=2.32从而从而 bn=b1+(n-1)d=(n+1).22故故 an+1=(n+1)(n+2).12 an=n(n+1)(n2).12而而 a1=1 亦适合上式亦适合上式,an=n(n+1)(n N*).12 Sn=2(1-+-+-)n11212131 n+1 2n n+1=.第17页第17页 8.设数列设数列 an 前前 n 项和为项和为Sn(其中其中,n N*),若若 Sn=(c+1)-can,其中其中 c 为不等于为不等于-1 和和 0 常数常数.(1)求证求证 an 是等比数列是等比数列;(2)设数列设数列 an 公比公比 q=f
7、(c),数列数列 bn 满足满足:b1=,bn=f(bn-1)(其其中中,n N*,且且 n2).求数列求数列 bn 通项公式通项公式.13(1)证证:Sn=(c+1)-can(n N*),a1=(c+1)-ca1.(c+1)a1=c+1.c-1,a1=1.当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=can-1-can(c+1)an=can-1.an an-1 cc+1 =,这是一个与这是一个与 n 无关常数无关常数.c-1 且且 c 0,(2)解解:由由(1)知知q=f(c)=,cc+1bn=f(bn-1)=(n N*,且且n2).bn-1 bn-1+1 bn-11bn 1 =+1.bn-11bn 1即即 -=1.是以是以 =3 为首项为首项,1 为公差等差数列为公差等差数列.bn 1b1 1bn 1 =3+(n-1)1=n+2.an 是以是以 1 为首项为首项,为公比等比数列为公比等比数列.c+1cbn=.n+21第18页第18页
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