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第四章第四章 随机变量数字特性随机变量数字特性4.1 4.1 数学盼望数学盼望4.2 4.2 方差方差4.3 4.3 协方差及相关系数协方差及相关系数4.4 4.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵 第第1页页第第1页页4.1 4.1 数学盼望数学盼望例例1 1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为随机变量，分别记为X、Y，并含有下列分布律，并含有下列分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2 试问甲、乙两射手射击水平哪个较高？试问甲、乙两射手射击水平哪个较高？解解 由射手甲分布律知，甲命中由射手甲分布律知，甲命中1010环概率为环概率为0.60.6，即若射击，即若射击100100次，约有次，约有6060次命中次命中1010环，同理，约有环，同理，约有1010次命中次命中9 9环，环，2020次命次命中中8 8环，环，1010次命中次命中7 7环这样，环这样，甲平均每次命中环数约为甲平均每次命中环数约为由此可见，射手甲射击水平略高于射手乙射击水平。由此可见，射手甲射击水平略高于射手乙射击水平。同理，射手乙平均每次命中同理，射手乙平均每次命中环数约为环数约为第第2页页第第2页页 若级数若级数 绝对收敛，则称此级数绝对收敛，则称此级数 和为随机变量和为随机变量X X数学盼望，记为数学盼望，记为E(X)E(X)即即定义定义定义定义1 1 1 1 设离散型随机变量设离散型随机变量X X分布律为分布律为 定义定义定义定义 设连续型随机变量概率密度为设连续型随机变量概率密度为f(x),),若积分若积分 绝对收敛，则称此积分值绝对收敛，则称此积分值 为随机变量为随机变量X X数学盼望，记为数学盼望，记为E(X)E(X)即即 注注注注 1 1）数学盼望简称为盼望，又称为均值数学盼望简称为盼望，又称为均值第第3页页第第3页页例例例例2 2 2 2 设设X服从指数分布，其概率密度为服从指数分布，其概率密度为求求2）数学盼望数学盼望 完全由随机变量完全由随机变量 概率分布所拟定概率分布所拟定.若若 服从某一分布也称服从某一分布也称 是这一分布数学盼望是这一分布数学盼望.第第4页页第第4页页例例例例3 3 设设X(),求求 E(X).解解解解 X分布律为分布律为第第5页页第第5页页例例例例4 4 设设XU(a,b),求求 E(X).解解解解X概率密度为概率密度为第第6页页第第6页页例例例例5 5 5 5 设设 XN(,2)，求求第第7页页第第7页页串联时系统寿命串联时系统寿命 例例例例6 6 6 6 设有设有2 2个互相独立电子元件，其寿命个互相独立电子元件，其寿命Xk k(k=1,2)(k=1,2)均服从同一指数分布，其概率密度为均服从同一指数分布，其概率密度为 求将这求将这2 2个元件串联构成系统平均寿命个元件串联构成系统平均寿命解解解解 Xk k分布函数为分布函数为其分布函数为其分布函数为第第8页页第第8页页解解 由由X分布律可列出下表：分布律可列出下表：1/51/101/103/103/10 X 1 0 1 2 3X1 21 0 1 22X 2 0246 1 0 1 4 9例例1 1 设随机变量设随机变量X分布律为分布律为 X 1 0 1 2 3 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10求求(1)Y=X1 (2)Y=2X (3)Y=分布律分布律第第9页页第第9页页 (1)X (1)X是离散型随机变量是离散型随机变量,分布律为：分布律为：若级数若级数 绝对收敛，则绝对收敛，则(2)X(2)X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x),),若若积分积分 绝对收敛，则绝对收敛，则定理定理定理定理1 1 1 1 设设Y Y是随机变量是随机变量X X函数：函数：Y=g(X)（g g为连续函数）为连续函数）第第10页页第第10页页证证证证（1 1）由离散型随机变量函数分布，有）由离散型随机变量函数分布，有Y=g(X)（2 2）设）设X X是连续型随机变量且满足是连续型随机变量且满足2.52.5节定理条件，节定理条件，Y Y=g g(X X)概率密度为概率密度为第第11页页第第11页页定理推广定理推广：设设Z Z是随机变量是随机变量X,YX,Y函数：函数：Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）为二元连续函数）(1)(1)若若(X,Y)(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为 则则则则(2)(2)若若(X,Y)是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，第第12页页第第12页页例例例例7 7 7 7 设风速设风速V在在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到压上服从均匀分布，飞机机翼受到压 力力W=kV2,(k,(k为常数为常数),),求求W数学盼望数学盼望解解解解 风速风速V概率密度为概率密度为第第13页页第第13页页解解解解 设组织货源为设组织货源为t t（吨）（吨）(atb),tb),由题意国家收益由题意国家收益Y Y是是 X X函数：函数：例例8 国际市场每年对我国某种商品需求量国际市场每年对我国某种商品需求量X（吨）是（吨）是一随机变量，它服从一随机变量，它服从(a,b)上均匀分布设每售出该上均匀分布设每售出该商品一吨可认为国家创汇商品一吨可认为国家创汇s万元，但若销不出去而压于万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损仓库，则每吨亏损 万元，问应组织多少货源才使国万元，问应组织多少货源才使国家收益数学盼望最大？家收益数学盼望最大？第第14页页第第14页页第第15页页第第15页页解解解解 (X,Y)取值及相应概率下列表取值及相应概率下列表:(X,Y)(1,1)(1,2)(2.1)(2,2)XY2 1 4 2 8 X+Y 2 3 3 4 pk 0.4 0.2 0.3 0.1 X X Y Y 1 2 1 2 1 0.4 1 0.4 0.2 0.2 2 0.3 0.1 2 0.3 0.1例例例例9 9 9 9 设设(X,Y)(X,Y)联合分布律为联合分布律为求求数学盼望数学盼望第第16页页第第16页页例例例例10101010 设设(X,Y)(X,Y)服从服从G G上均匀分布（如图）上均匀分布（如图）求求X、Y及及XY数学盼望数学盼望012xyG解法一：由已知得解法一：由已知得第第17页页第第17页页解法二：解法二：同理同理第第18页页第第18页页假设下列随机变量数学盼望均存在假设下列随机变量数学盼望均存在1.E(C)=C,（C是常数）是常数）2.E(CX)=CE(X),（C是常数）是常数）3.E(X Y)=E(X)E(Y),4.设设X与与Y互相独立互相独立,则则 E(XY)=E(X)E(Y)数学盼望性质:注注 1 1）性质性质3 3、4 4可推广到有限个情况可推广到有限个情况.2 2）对于性质对于性质4 4来讲反之不成立来讲反之不成立.第第19页页第第19页页证证证证 (仅对仅对(X,Y)(X,Y)为连续型随机变量证实性质为连续型随机变量证实性质3,4)3,4)设设(X,Y)(X,Y)概率密度为概率密度为f（x,y），其边沿概率密度），其边沿概率密度 分别为分别为 fX（x），），fY（y），则），则又若又若X与与Y互相独立，则互相独立，则第第20页页第第20页页例例例例11111111 一民航机场送客车，载有一民航机场送客车，载有2020名乘客自机场开出，旅客名乘客自机场开出，旅客有有1010个车站能够下车，如到达一站没旅客下车就不断车假个车站能够下车，如到达一站没旅客下车就不断车假设每位旅客在各站下车是等也许，且旅客之间在哪一站下设每位旅客在各站下车是等也许，且旅客之间在哪一站下车互相独立以车互相独立以X X表示停车次数，求表示停车次数，求E(X)E(X)由题意由题意 注注注注 这种引进新随机变量，将原随机变量分解成有限个随这种引进新随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和机变量之和,再求数字特性办法含有一定普遍意义再求数字特性办法含有一定普遍意义.解解 引入随机变量引入随机变量则则 第第21页页第第21页页解解解解 由于由于X X与与Y Y互相独立，则互相独立，则 与与 也互相独立，也互相独立，例例例例12121212 设设X X、Y Y互相独立，分别服从参数为互相独立，分别服从参数为,指数分布：指数分布：试求试求 第第22页页第第22页页例例例例 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分 别用别用X、Y表示，分布律分别为表示，分布律分别为 X 10 9 8 7 Y10 9 8 7 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.3 0.1 0.2试评估甲、乙技术水平试评估甲、乙技术水平 解解解解 甲乙平均命中环数为甲乙平均命中环数为 E(X)=8.9(环环)，E(Y)=8.9(环环)从平均水平看，甲、乙技术水平不相上下，从平均水平看，甲、乙技术水平不相上下，进一步考虑他们射击稳定性进一步考虑他们射击稳定性第第23页页第第23页页4.2 4.2 方差方差定义定义定义定义1 1 1 1 设设X是一随机变量，若是一随机变量，若 存在，则称为存在，则称为随机变量随机变量X方差，记为方差，记为D(X)D(X)或或Var(X)Var(X)即即并称并称 为为X随机变量随机变量均方差均方差或或原则差原则差，记，记(X)(X)1。若。若X为离散型随机变量，为离散型随机变量，2。若。若X为连续型随机变量为连续型随机变量,概率密度为概率密度为f（x）,则则3。计算公式：。计算公式：推导第第24页页第第24页页计算公式推导计算公式推导：由方差定义及数学盼望性质，有由方差定义及数学盼望性质，有第第25页页第第25页页例例例例1 1 1 1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分 别用别用X、Y表示，分布律分别为表示，分布律分别为 X 10 9 8 7 Y10 9 8 7 p 0.5 0.1 0.2 0.2 p 0.4 0.3 0.1 0.2试评估甲、乙技术水平试评估甲、乙技术水平 即即D(X),D(Y),由于由于 E(X2)=80.7,E(Y2)=80.5 于是于是 D(X)=E(X2)-E(X)2=1.49 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=1.29 因此，从稳定性来看，射手乙技术水平略高于射手甲因此，从稳定性来看，射手乙技术水平略高于射手甲解解解解 甲乙平均命中环数为甲乙平均命中环数为 E(X)=8.9(环环)，E(Y)=8.9(环环)从平均水平看，甲、乙技术水平不相上下，从平均水平看，甲、乙技术水平不相上下，进一步考进一步考 虑他们射击稳定性，虑他们射击稳定性，第第26页页第第26页页例例2 设随机变量设随机变量X含有概率密度含有概率密度求求D(X)解解:于是于是第第27页页第第27页页例例例例4 4 4 4 设设X服从指数分布，其概率密度为服从指数分布，其概率密度为求求例例例例6 6 6 6 设设X服从区间服从区间(a,b),b)均匀分布均匀分布，求求例例例例5 5 5 5 设设 X()，求求例例例例3 3 3 3 设设X服从服从0-10-1分布分布，其分布律为，其分布律为求求第第28页页第第28页页泊松分布:第第29页页第第29页页均匀分布第第30页页第第30页页方差性质假设下列方差均存在假设下列方差均存在1。D(C)=0,(C为常数为常数)2。D(CX)=C2D(X),(C为常数为常数)3。设设X与与Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有尤其，若尤其，若X与与Y互相独立，则有互相独立，则有D(XY)=D(X)+D(Y)4。D(X)=0X以概率以概率1取常数取常数C,即即PX=C=1,这里这里第第31页页第第31页页证证3 3 推广推广推广推广：设设X1,Xn是是n个互相独立随机变量，则个互相独立随机变量，则独独立立性性第第32页页第第32页页证证 X所有也许取值为所有也许取值为0,1,n,X=k表示表示X1,.,Xn中有中有k个个 取取1,n-k个取个取0，共有，共有 种方式，故种方式，故 证实：证实：X=X1+.+Xn服从参数为服从参数为n,p二项分布二项分布,求求E(X)，D(X).例例例例7 7 7 7 设设X1,.,Xn互相独立，且服从同一互相独立，且服从同一(0-1)分布分布,即即 即即X服从参数为服从参数为n,p二项分布二项分布 第第33页页第第33页页例例例例8 8 8 8 设设 XN(,2)，求求服从正态分布随机变量其分布完全由它数学盼望和方服从正态分布随机变量其分布完全由它数学盼望和方差所拟定差所拟定第第34页页第第34页页已知已知X与与Y互相独立，且互相独立，且则则若若 ，且，且 互相独立，则互相独立，则第第35页页第第35页页例例9 9设活塞直径（以设活塞直径（以cm计）计），气缸直径，气缸直径 ，X与与Y互相独立。任取一只活塞，互相独立。任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能任取一只气缸，求活塞能装入气缸概率装入气缸概率解解 由题意需求由题意需求由于由于故有故有第第36页页第第36页页切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式:证证证证（仅就（仅就X为连续型时来证）设为连续型时来证）设X概率密度为概率密度为f(x)，则，则定理定理定理定理 设随机变量设随机变量X数学盼望数学盼望E(X)=，方差，方差D(X)=2，则，则 对任意正数对任意正数，有，有 上式称为切比雪夫上式称为切比雪夫(chebyshev)(chebyshev)不等式不等式第第37页页第第37页页注注 此不等式给出了在随机变量分布未知情况下事件此不等式给出了在随机变量分布未知情况下事件 概率一个预计办法概率一个预计办法第第38页页第第38页页例例1010一台设备由一台设备由10个独立工作元件构成，每一元件在时间个独立工作元件构成，每一元件在时间T发生故障概率为发生故障概率为0.05设在时间设在时间T发生故障元件数为发生故障元件数为X，试用切比雪夫不等式预计随机变量试用切比雪夫不等式预计随机变量X与其数学盼望偏差与其数学盼望偏差（a）小于）小于2；(b)不小于不小于2概率概率解解 （a）由题意知）由题意知Xb(10,0.05)，且，且由切比雪夫不等式，得由切比雪夫不等式，得 E(X)=0.5 D(X)=0.475(b)第第39页页第第39页页散点图（散点图（scatter diagram)：例例1第第40页页第第40页页4.3 4.3 协方差协方差 相关系数相关系数定义定义定义定义1 1 称称EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量为随机变量X与与Y 协方差协方差，记为记为Cov(X,Y)即即X与与Y相关系数相关系数:当当时时定义定义定义定义2 2第第41页页第第41页页计算公式计算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)2。D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)协方差性质：协方差性质：1。Cov(X,Y)=Cov(Y,X),2。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(a,b为常数为常数)3。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).第第42页页第第42页页相关系数性质：相关系数性质：推导推导：考虑用考虑用X某个线性函数某个线性函数a+bX来近似表示来近似表示Y，我们以，我们以均方误差均方误差 e 来衡量以来衡量以a+bX来近似表示来近似表示Y，其近似程度好坏。，其近似程度好坏。选取选取a，b使使 e 值最小。值最小。第第43页页第第43页页第第44页页第第44页页证证2o反之，若反之，若第第45页页第第45页页 数字特性数字特性 XY描述了随机变量描述了随机变量X与与Y线性相关程度线性相关程度,当当|XY|较小时较小时,表明表明X,Y线性相关程度较差；而当线性相关程度较差；而当|XY|较较大时大时,则表明则表明X,Y线性相关程度较好线性相关程度较好当当 XY=0时，称随机变量时，称随机变量X与与Y不相关不相关注注:1)若随机变量若随机变量X与与Y互相独立互相独立,则则X与与Y不相关不相关 2)若随机变量若随机变量X与与Y不相关不相关,则则X与与Y不一定不一定互相独立互相独立第第46页页第第46页页例例例例1 1 1 1 设设设设(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)均匀分布在以坐标原点为中心，均匀分布在以坐标原点为中心，均匀分布在以坐标原点为中心，均匀分布在以坐标原点为中心，R R R R为半径为半径为半径为半径圆内部，则圆内部，则圆内部，则圆内部，则随机变量随机变量X与与Y不相关不相关,但但X与与Y也也不不互相独立互相独立.解解：由已知得：由已知得第第47页页第第47页页故故因此因此X与与Y不相关不相关第第48页页第第48页页又由于又由于因此因此X与与Y也也不不互相独立互相独立第第49页页第第49页页例例例例2 2 2 2 设设(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X,Y互相独立互相独立X,Y不相关不相关解解解解设设则则第第50页页第第50页页第第51页页第第51页页第第52页页第第52页页注注 1)二维正态分布只要知道二维正态分布只要知道X、Y分布及相关系数即分布及相关系数即 拟定拟定.2)二维正态随机变量二维正态随机变量(X,Y)不相关不相关 二维正态随机变量二维正态随机变量(X,Y)独立独立 3)对对二维正态随机变量二维正态随机变量(X,Y)来讲来讲X与与Y不相关与独立不相关与独立 是等价是等价.第第53页页第第53页页4.4 4.4 矩矩 协方差矩阵协方差矩阵定义定义定义定义1 1 1 1 设设X，Y为随机变量，为随机变量，Xk阶原点矩阶原点矩，简称简称k阶矩：阶矩：Xk阶中心矩阶中心矩：X和和Yk+l阶混合矩阶混合矩：X和和Yk+l阶混合中心矩阶混合中心矩第第54页页第第54页页定义定义定义定义2 2 2 2 设设n维随机变量维随机变量 二阶混合中心矩都存二阶混合中心矩都存 在，称矩阵在，称矩阵为为n维随机变量维随机变量 协方差矩阵协方差矩阵。显然：显然：第第55页页第第55页页例例例例 设设 写出其协方差矩阵。写出其协方差矩阵。解解 由以前结果知由以前结果知协方差矩阵为协方差矩阵为第第56页页第第56页页