2011年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）.doc

2011年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）﹣1﹣2的结果是（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【微点】有理数的减法．
【思路】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，计算即可．
【解析】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣（1+2）＝﹣3，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了有理数减法，关键是正确把握法则．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．2a+3b＝5ab C．（a3）2＝a9 D．a3÷a2＝a
【微点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【思路】分别根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方及同底数幂的除法计算各数即可．
【解析】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、（a3）2＝a6，故本选项错误；
D、a3÷a2＝a，故本选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查的是合并同类项、幂的乘方与积的乘方及同底数幂的除法等知识，比较简单．
3．（3分）抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1﹣6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（　　）

A．出现的点数是7 B．出现的点数不会是0
C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数
【微点】随机事件．
【思路】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
【解析】解：A、不可能发生，是不可能事件，故本选项错误，
B、是必然事件，故正确，
C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
4．（3分）函数有意义的自变量x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
【微点】函数自变量的取值范围．
【思路】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解析】解：根据二次根式有意义，1﹣2x≥0，
解得：x．
故选：A．
【点拨】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
5．（3分）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　）

A．75° B．95° C．105° D．120°
【微点】三角形的外角性质．
【思路】求出∠ACO的度数，根据三角形的外角性质得到∠AOB＝∠A+∠ACO，代入即可．
【解析】解：∠ACO＝45°﹣30°＝15°，
∴∠AOB＝∠A+∠ACO＝90°+15°＝105°．
故选：C．

【点拨】本题主要考查对三角形的外角性质的理解和掌握，能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．
6．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）

A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
【微点】三角形的稳定性．
【思路】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解析】解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．

【点拨】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
7．（3分）下列关于矩形的说法，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
【微点】矩形的判定与性质．
【思路】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解析】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
8．（3分）由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（　　）

A． B． C． D．
【微点】由三视图判断几何体．
【思路】从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
【解析】解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了有三视图判断几何体的组成，关键是熟练把握从各方面看可以得到的结论．
9．（3分）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包．请问这次采购派男女村民各多少人？（　　）
A．男村民3人，女村民12人 B．男村民5人，女村民10人
C．男村民6人，女村民9人 D．男村民7人，女村民8人
【微点】二元一次方程组的应用．
【思路】可设男女村民各x、y人，由题意一个相等关系是x+y＝15，再一个相等关系是2xy＝15，据此列方程组求解．
【解析】解：设男女村民各x、y人，由题意得：
，
解得：．
故选：B．
【点拨】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，其关键是找出两个相等关系列方程组求解．
10．（3分）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的
眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：1.414，1.732）（　　）

A．36.21米 B．37.71米 C．40.98米 D．42.48米
【微点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路】由已知设塔高为x米，则由已知可得到如下关系，tan30°，从而求出塔高．
【解析】解：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，AB两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，
所以设塔高为x米则得：
tan30°，
解得：x≈42.48，
即塔高约为42.48米．
故选：D．
【点拨】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得等腰直角三角形，根据直角三角函数列出方程求解．
11．（3分）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD＝30°，AC⊥BC，AB＝8cm，则△COD的面积为（　　）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【微点】等腰梯形的性质．
【思路】由已知∠ABD＝30°，可得∠CAB＝30°，又因为AC⊥BC，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形ACB的面积，再求出三角形COB的面积，所以求出三角形AOB的面积，又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积．
【解析】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB，
由SAS可证△DAB≌△CBA，
∴∠CAB＝∠DCA＝30°，
∵∠CAB＝30°，又因为AC⊥BC，
∴∠DAB＝∠CBA＝60°，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴CD＝AD＝BC＝4cm，
∴AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝4cm，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD＝4cm，
∴S△ABC4×48cm2，
设DO为x，则CO＝x，则AO＝BO＝（4x）cm，
在Rt△COB中，CO2+BC2＝BO2，
即：x2+42＝（4x）2
∴D0cm，
∴S△ADO4，
∴S△AOB＝S△ABC﹣S△ADO
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴（）2
∴S△DOC，
故选：A．

【点拨】此题主要考查等腰梯形的性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形两条对角线相等．
12．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1x2，a，b的大小关系为（　　）
A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2
【微点】抛物线与x轴的交点．
【思路】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）＝1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．
【解析】解：用作图法比较简单，首先作出y＝（x﹣a）（x﹣b）图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
答案是：x1＜a＜b＜x2．
故选：C．

【点拨】本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（4分）分解因式：a3﹣a＝　a（a+1）（a﹣1）　．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解析】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点拨】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．（4分）如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A＝　25　度．

【微点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【思路】根据AB∥CD，CP交AB于O，可得∠POB＝∠C，再利用AO＝PO，可得∠A＝∠P，然后即可求得∠A的度数．
【解析】解：∵AB∥CD，CP交AB于O，
∴∠POB＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠POB＝50°，
∵AO＝PO，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝25°
故答案为25．
【点拨】此题主要考查学生对平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．要求学生应熟练掌握．
15．4分）2011年4月第六次全国人口普查，结果显示：绵阳市常住人口为461万人，用科学记数法表示这一数据为　4.61×106　．
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：将461万用科学记数法表示为4.61×106．
故答案为：4.61×106．
【点拨】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．（4分）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　（，）　．

【微点】坐标与图形性质；正多边形和圆．
【思路】先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交y轴于G，那么∠GOE＝30°；在Rt△GOE中，则GE，OG．即可求得E的坐标，和E关于y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出．
【解析】解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝1．
∴GE，OG．
∴A（﹣1，0），B（，），C（，）D（1，0）E（，），F（，）．
故答案为：（，）

【点拨】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．
17．（4分）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于　2　cm．

【微点】翻折变换（折叠问题）．
【思路】连接A、C，则EF垂直平分AC，推出△OEC∽△BCA，根据勾股定理，可以求出AC的长度，根据相似比求出OE即可．
【解析】解：连接AC，与EF交于O点，
∵E点在AB上，F在CD上，因为A、C点重合，EF是折痕，
∴AO＝CO，EF⊥AC，
∵AB＝8，BC＝4，
∴AC＝4，
∵AE＝CE，
∴∠EAO＝∠ECO，
∴△OEC∽△BCA，
∴OE：BC＝OC：BA，
∴OE，
∴EF＝2OE＝2．
故答案为：2．

【点拨】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，解题的关键是作好辅助线找到相关的相似三角形．
18．（4分）观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第　15　个图形共有 120个★．

【微点】规律型：图形的变化类．
【思路】观察图形特点，从中找出规律，它们的★数分别是，1，3，6，10，15，…，总结出其规律，根据规律求解．
【解析】解：通过观察，得到星的个数分别是，1，3，6，10，15…，
第一个图形为：1×（1+1）÷2＝1，
第二个图形为：2×（2+1）÷2＝3，
第三个图形为：3×（3+1）÷2＝6，
第四个图形为：4×（4+1）÷2＝10，
…，
所以第n个图形为：n（n+1）÷2个星，
设第m个图形共有120个星，
则m（m+1）÷2＝120，
解得：m＝15．
故答案为：15．
【点拨】此题考查的是图形数字变化类问题，其关键是观察图形分析数字关系找出规律求解．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（16分）（1）化简：；
（2）解方程：．
【微点】负整数指数幂；二次根式的混合运算解分式方程．
【思路】（1）首先进行化简，把括号和绝对值号去掉，合并同类项；
（2）首先找到公分母去分母，然后整理整式方程，求x的值，最后要进行检验．
【解析】（1）原式＝4﹣（3﹣2）4﹣3+21．

（2）原方程去分母可化为2x（2x+5）﹣2（2x﹣5）＝（2x﹣5）（2x+5），
展开，得4x2+10x﹣4x+10＝4x2﹣25，
整理，得6x＝﹣35，解得．
检验：当时，2x+5≠0，且2x﹣5≠0，
所以是原分式方程的解．
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算、负整数指数幂的运算、解分式方程，解题的关键在于，化简、去分母、合并同类项、掌握负整数指数幂的运算法则．
20．（12分）鲁班家装公司为芙蓉小区做家装设计，调查员设计了如下问卷，对家装风格进行专项调查．

通过随机抽样调查50家客户，得到如下数据：
A B B A B B A C A C A B A D A A B
B A A D B A B A C A C B A A D A A
A B B D A A A B A C A B D A B A
（1）请你补全下面的数据统计表：
家装风格统计表
装修风格
划记
户数
百分比
A中式
正正正正正
25
50%
B欧式

C韩式

5
10%
D其他
正

10%
合计

50
100%
（2）请用扇形统计图描述（1）表中的统计数据；（注：请标明各部分的圆心角度数）
（3）如果公司准备招聘10名装修设计师，你认为各种装修风格的设计师应分别招多少人？
【微点】统计表；扇形统计图．
【思路】（1）根据频率和为1，可以计算出B欧式的百分比．再根据其它频数和频率的比值计算；
（2）分别计算出各种装修风格对应的在扇形统计图中的圆心角，画图即可；
（3）根据频数和频率，数据总和的关系即可求出招聘各种装修风格的设计师人数．
【解析】解：（1）补全的统计表为：
装修风格
划记
户数
百分比
A中式
正正正正正
25
50%
B欧式
正正正
15
30%
C韩式
正
5
10%
D其他
正
5
10%
合计

50
100%
（2）A中式50%×360°＝180°，B欧式30%×360°＝108°，
C韩式10%×360°＝36°，D其他10%×360°＝36°．
扇形统计图如右图所示．

（3）∵10×50%＝5，10×30%＝3，10×10%＝1，10×10%＝1，
∴中式设计师招5人，欧式设计师招3人，韩式设计师招1人，其他类型设计师招1人．
【点拨】本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，计算量略大，难度中等．主要考查利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
21．（12分）右图中曲线是反比例函数的图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，△AOB的面积为2，求n的值．

【微点】反比例函数综合题．
【思路】（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以n+7＜0即可求解；
（2）图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S|k|，可利用△AOB的面积求出n值．
【解析】解：（1）这个反比例函数图象的另一支位于第四象限．
由n+7＜0，
解得n＜﹣7，
即常数n的取值范围是n＜﹣7；

（2）在中令y＝0，得x＝2，
即OB＝2．
过A作x轴的垂线，垂足为C，如图．
∵S△AOB＝2，即OB•AC＝2，
∴2×AC＝2，解得AC＝2，即A点的纵坐标为2．
把y＝2代入中，得x＝﹣1，即A（﹣1，2）．
所以，
解得n＝﹣9．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质和反比例函数 中k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．
22．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD＝12，∠BCD＝60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．

【微点】直角梯形；相切两圆的性质．
【思路】（1）证明两个锐角的和等于90°即可；
（2）求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，
∴AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠ABO＝∠CBO，∠DCO＝∠BCO．
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO＝180°．
∴2∠CBO+2∠BCO＝180°，
于是∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣90°＝90°，
即OB⊥OC．

（2）解：设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD．
设⊙O1的半径为r．
∵∠BCD＝60°，且由（1）知∠BCO＝∠O1CM，
∴∠O1CM＝30°．
在Rt△O1CM中，CO1＝2r，O1M＝r．
在Rt△OCD中，OC＝2OD＝AD＝12．
∵⊙O1与半圆O外切，
∴OO1＝6+r，于是，
由OO1+O1C＝OC，即6+r+2r＝12，
解得r＝2，
因此⊙O1的面积为4π．

【点拨】本题考查了相切两圆的性质及直角梯形的性质，解题的关键是根据相切两圆半径只间的关系确定两圆心之间的距离．
23．（12分）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．
【微点】一元一次不等式组的应用；三角形三边关系；勾股定理的逆定理．
【思路】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长．
（2）本题需先求出三边的长，再根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围．
（3）本题需先求出a的值，然后即可得出三角形的三边长．
【解析】解：（1）∵第二条边长为2a+2，
∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）
＝28﹣3a．

（2）当a＝7时，三边长分别为7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米，
根据题意得：
，
解得：a．
则a的取值范围是：a．

（3）在（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6．
当a＝5时，三角形的三边长分别为5，12，13．由52+122＝132知，恰好能构成直角三角形．
当a＝6时，三角形的三边长分别为6，14，10．由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形．
综上所述，能围成满足条件的小圈是直角三角形形状，它们的三边长分别为5米，12米，13米．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时要能根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m﹣1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知△的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；
（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出△ABC为等腰直角三角形；
（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x+m﹣1与x轴只有一个交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＝0，
解得，m＝2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，易得顶点B（1，0），
当x＝0时，y＝1，得A（0，1）．
由1＝x2﹣2x+1，解得，x＝0（舍）或x＝2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD＝1，BD＝xD﹣xB＝1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD＝45°，BC．
同理，在Rt△AOB中，AO＝OB＝1，于是∠ABO＝45°，AB．
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABO＝90°，AB＝BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3；
当y＝0时，x＝﹣1或x＝3，
∴E（﹣1，0），F（0，﹣3），即OE＝1，OF＝3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF＝∠EFO+∠OEF＝90°，
∴∠P1EM＝∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则，即EM＝3P1M．
∵EM＝x1+1，P1M＝y1，
∴x1+1＝3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x12﹣2x1﹣3）＝x1+1，
整理得，3x12﹣7x1﹣10＝0，解得，
，或x2＝﹣1（舍去）
把代入①中可解得，
y1．
∴P1（，）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得，即P2N＝3FN．
∵P2N＝x2，FN＝3+y2，
∴x2＝3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，
则有x2＝3（3+x22﹣2x2﹣3），
整理得3x22﹣7x2＝0，解得x2＝0（舍）或．
把代入②中可解得，
．
∴P2（，）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（，）或（，）．

【点拨】本题考查二次函数的综合运用，其中涉及求抛物线解析式和抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质．
25．（14分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

（1）若BD是AC的中线，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；
（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．
【微点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【思路】先设AB＝AC＝2a，CD＝a，则BCa，AD＝a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，
（1）BD是AC的中线，则CD＝AD＝x，则解得；
（2）BD是∠ABC的角平分线，则求得x，y值；
（3）由以上两个问题，从的比值求得x的值，则求得的值．
【解析】解：设CD＝AD＝a，则AB＝AC＝2a．
1）在Rt△ABD中，由勾股定理得：BDa，
∵∠A＝∠E＝90°，∠ADB＝∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴，
∴，
解得：CE，
∴；

（2）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝DF，
∵在Rt△ABC中，cos∠ABC，
在Rt△CDF中，sin∠DCF，
即，
∴，
即，
∴CD＝2（2）a，
∴AD＝AC﹣CD＝2a﹣2（2）a＝2（1）a，
∴BD2＝AD2+AB2＝8（2）a2，
∵Rt△ABD∽Rt△CED，
∴CEa2．
∴2．

（3）当D在A点时，1，
当D越来越接近C时，越来越接近无穷大，
∴的取值范围是1．
设AB＝AC＝1，CD＝x，AD＝1﹣x，
在Rt△ABD中，BD2＝12+（1﹣x）2，
又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴，即，
解得：CE，
若，则有3x2﹣10x+6＝0，
∵0＜x≤1，
∴解得
∴，
表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大，
∴探究的值能小于，此时AD．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题．

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