江苏省常州市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

江苏省常州市2019年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．﹣3的相反数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球
4．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（　　）

A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
5．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（　　）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
6．下列各数中与2+的积是有理数的是（　　）
A．2+ B．2 C． D．2﹣
7．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
8．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．计算：a3÷a＝　 　．
10．4的算术平方根是　 　．
11．分解因式：ax2﹣4a＝　 　．
12．如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于　 　°．
13．如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是　 　．
14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是　 　．
15．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝　 　．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝　 　°．

17．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝　 　．

18．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）计算：
（1）π0+（）﹣1﹣（）2；
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是　 　；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．

22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是　 　，这组数据的众数为　 　元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　 　；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
25．（8分）如图，在▱OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．
（1）求k的值；
（2）求点D的坐标．

26．（10分）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　 　
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　 　；当n＝5，m＝　 　时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝　 　（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝　 　；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．

28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：　 　；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　 　；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．解：（﹣3）+3＝0．
故选：C．
2．解：∵代数式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3．
故选：D．
3．解：该几何体是圆柱．
故选：A．
4．解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选：B．
5．解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．
故选：B．
6．解：∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1；
故选：D．
7．解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．
故选：A．
8．解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，
当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；
当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；
当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．解：a3÷a＝a2．
故答案为：a2．
10．解：4的算术平方根是2．
故答案为：2．
11．解：ax2﹣4a，
＝a（x2﹣4），
＝a（x+2）（x﹣2）．
12．解：∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
故答案为：55．
13．解：∵a﹣b﹣2＝0，
∴a﹣b＝2，
∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；
故答案为5．
14．解：作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3．
则根据勾股定理，得OP＝5．
故答案为5．
15．解：把代入二元一次方程ax+y＝3中，
a+2＝3，解得a＝1．
故答案是：1．
16．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°．
故答案为30．
17．解：连接OB，作OD⊥BC于D，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，
∴tan∠OBC＝，
∴BD＝＝＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，
∴tan∠OCB＝＝．
故答案为．

18．解：作PF⊥MN于F，如图所示：
则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD＝，BD＝＝10，
∵点P是AD的中点，
∴PD＝AD＝，
∵∠PDF＝∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
∴＝，即＝，
解得：PF＝，
∵CE＝2BE，
∴BC＝AD＝3BE，
∴BE＝CD，
∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，
∴△PNF∽△DEC，
∴＝＝2，
∴NF＝2PF＝3，
∴MN＝2NF＝6；
故答案为：6．

三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解：（1）π0+（）﹣1﹣（）2＝1+2﹣3＝0；
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1；
20．解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：

21．解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，
故答案为：AC′∥BD；
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE．

22．解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；
故答案为：30，10；
（2）这组数据的平均数为＝12（元）；
（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．
23．解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．
24．解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，
由题意得：＝，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，
则30﹣18＝12（个）．
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．
25．解：（1）∵OA＝2，∠AOC＝45°，
∴A（2，2），
∴k＝4，
∴y＝；
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，
∴AB⊥x轴，
∴B的横纵标为2，
∵点D是BC的中点，
∴D点的横坐标为1，
∴D（1，4）；
26．解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab， ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．
由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，

如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．
方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
27．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝
解得：b＝2
故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，
∴D（0，）
∴直线BD的解析式为y＝﹣+，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t﹣t+3），N（t，﹣ t+），H（t，0）
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣x+）＝﹣t+，NH＝﹣t+
∴MN＝NH
∵PM＝MN
∴﹣t2+3t＝﹣t+
解得：t1＝，t2＝3（舍去）
∴P（，）
∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°
∴BD＝＝
∴cos∠OBD＝
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝
在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝
∴PQ＝PE
在Rt△PFR中，cos∠RPF＝
∴PR＝PF
∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵﹣+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣
∴点G横坐标为﹣
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣ t+）
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|
①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+

∵PQ＝2QR
∴PQ＝PR
∴PE＝•PF，即6PE＝5PF
∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3）
解得：t1＝2，t2＝3（舍去）
∴P（2，3）
②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．
③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF
∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3）
解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去）
∴P（﹣，﹣
综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．

28．解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，
故答案为1．
②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，OC＝＝＝
∴OP+OC≥PC，
∴PC≤1+，
∴这个“窗户形“的宽距为1+．
故答案为1+．
（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，
∴当d＝5时．AM＝4，
∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
当d＝8时．AM＝7，
∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．
当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．

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