2015年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.docx

2015年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1．已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）

A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在圆中，是弦的三等分点，弦，分别经过点，若，，，则线段的长为（ ）

A． B．3 C． D．
6．已知双曲线（）的一条渐近线过点（），且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数函数，其中，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 ．

11．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ．
12．在的展开式中，的系数为 ．
13．在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，则的值为 ．
14．在等腰梯形中，已知。动点和分别在线段和上，且，则的最小值为 ．
三、解答题
15．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间内的最大值和最小值．

16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名。从这名运动员中随机选择人参加比赛。
（Ⅰ）设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（Ⅱ）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长。

18．已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列。
（Ⅰ）求的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．

19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，．
（Ⅰ）求直线的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围。

20．已知函数其中，且.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，
求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程（为实数）有两个正实数根，求证：．

2015年高考天津市理科数学真题答案
一、选择题
1．答案：A
解析过程：
,所以，选A
2．答案：C
解析过程：
不等式所表示的平面区域如下图所示，

当所表示直线经过点时，有最大值，选C
3．答案：B
解析过程：
输入；
不成立；
不成立
成立
输出,选B
4．答案：A
解析过程：
，
所以“”是“”的充分不必要条件，选A
5．答案：A
解析过程：
由相交弦定理可知，
，
又因为是弦的三等分点，
所以，
所以，选A
6．答案：D
解析过程：
双曲线（）的渐近线方程为，
由点在渐近线上，所以，
双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，
所以，由此可解得，
所以双曲线方程为，选D
7．答案：C
解析过程：
因为函数为偶函数，所以，即，
所以

所以，选C
8．答案：D
解析过程：
由得，
所以，
即
,
所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，
即函数与函数的图象的4个公共点，
由图象可知.选D

二、填空题
9．答案：-2
解析过程：
是纯虚数，
所以，即
10．答案：
解析过程：
由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，
高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，
所以该几何体的体积.
11．答案：
解析过程：
两曲线的交点坐标为，
所以它们所围成的封闭图形的面积
.
12．答案：

解析过程：
展开式的通项为
，
由得r=2，
所以，所以该项系数为
13．答案：
解析过程：
因为，所以，
又，
解方程组得，由余弦定理得
，
所以.
14．答案：
解析过程：
因为，

，
，

三、解答题
15．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值
解析过程：
（Ⅰ）解：由题意得

=

所以，的最小正周期
（Ⅱ）解：因为在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
，，.
所以，在区间上的最大值为，最小值为.21
16．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由题意得
所以，事件发生的概率为.
（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

所以，随见变量的分布列为

随机变量的数学期望
17．答案：
见解析
解析过程：
如图，以为原点建立空间直角坐标系，

依题意可得,,,
,.
又因为M,N分别为和的中点，得,.
（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量.
=.由此可得，
又因为直线平面，所以平面．
（Ⅱ）解：，．
设为平面的法向量，则
即
不妨设，可得.．
设为平面的法向量，则
又，得
不妨设，可得．
因此有，于是．
所以，二面角的正弦值为。
（Ⅲ）解：依题意，可设，其中，
则，从而．
又为平面的一个法向量，
由已知，得=，
整理得，又因为，解得．
所以，线段的长为．
18．答案：
见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知，有，
即，所以．
又因为，故，由，得．
当时，；
当时．
所以，的通项公式为
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得.设的前n项和为，
则 ，
，
上述两式相减，得

整理得，.
所以，数列的前n项和为，．
19．答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
解析过程：
（Ⅰ）解：由已知有，又由，可得.
设直线的斜率为，则直线的方程为．
由已知，有+，解得．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为，
直线的方程为，
两个方程联立，消去y，整理得，
解得，或.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，
解得，所以椭圆的方程为.
（Ⅲ）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，
得，即，
与椭圆方程联立消去，
整理得．
又由已知，得，
解得或．
设直线的斜率为，得，即，
与椭圆方程联立，整理可得.
①当时，有，
因此，于是，得.
②当时，有，
因此，于是，得.
综上，直线的斜率的取值范围是.
20．答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ）解：由=，
可得==，
其中，且.
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时.
令=0，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：

↘
↗
↘
所以，在，上单调递减，在内单调递增。
（2）当为偶数时.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，
则，.
曲线在点处的切线方程为，
即，
令，即，
则．
由于在上单调递减，
故在上单调递减，
又因为，
所以当时，，当时，，
所以在内单调递增，在上单调递减，
所以对于任意的正实数，都有，
即对于任意的正实数，都有．
（Ⅲ）证明：不妨设．
由（Ⅱ）知，
设方程的根为，可得，
当时，在上单调递减．
又由（Ⅱ）知，可得．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，
可得，
当，，
即对于任意的，．
设方程的根为，可得．
因为在上单调递增，
且，因此．
由此可得．
因为，所以，
故.所以，．