2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）.docx

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
文科数学
一、选择题
1.设集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
依题意可知，所以.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）

A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
答案：
C
解析：
A.低于万元的比率估计为，正确.
B.不低于万元的比率估计为，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D.万到万的比率为，正确.
3.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.下列函数中是增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵，，在上单调递减，在上单调递减，故A，B，C错误；在上单调递增，故D正确.
5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
双曲线的渐近线为，则点到双曲线的一条渐近线的距离为.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
代入，知，故.
7.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.故选D.

8.在中，已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由余弦定理可得，解得.
9.记为等比数列的前项和.若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
由等比数列的性质可知：成等比数列，即成等比数列，所以，即，故选A.

10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
求出所有的排列数，先将个排成一排，有个空位，当每个空位排一个，即从个空位中选个，有种排法，此时个不相邻；当两个相邻时，即从个空位中选出一个来排两个，有种选法，从而总的排法数有个，再根据古典概型概率公式可得概率，故选C.

11.若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
.

∴
∴
∴.
又∵.如图，.

12.设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
∵是定义在上的奇函数，

∴，
∴
∴周期为的周期函数.
∴.
二、填空题
13.若向量满足，，，则 .
答案：

解析：
，∴，∴，∴，
∴，∴.
14.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为
.
答案：

解析：
圆锥底面半径，体积，则圆锥的高，则母线长，则圆锥的侧面积.
15.已知函数的部分图像如图所示则 .

答案：

解析：
由图可知，由，
所以.
16.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 .
答案：
解析：
答案：

解析：
如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.
设，，则，得.所以，四边形面积为.

三、解答题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，

答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为；
（2）由题意.
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
答案：
见解析
解析：
∵为等差数列，设公差为.∴，即.
∴，∴.
∴，∴，
即，又同样满足通项公式，所以是等差数列.
19．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．

答案：
见解析；
解析；
（1），则.
又则.
,.
（2）连，取中点连，，
由为，的中点，则，
又，，则共面，故面.
又在侧面中，则
又，则.

20.设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.
答案：
见解析
解析：
（1）
∵，，∴，∴当时函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
∴在上递减，在上递增，
（2）当时，结合函数单调性可知若与无交点时
即.
化简可得即.所以参数的取值范围为
21.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由.
答案：
见解析
解析：
（1）， .
（2）设，，.
，所以
①.
，所以
②.
所以，是方程的两根.
又，所以
.
所以，即直线与相切.

22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.
答案：
见解析
解析：
（1）.
（2）设，，由
.
又在上，所以
.
则为为圆心，半径为的圆，所以
所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.

23.已知函数，.
（1）画出和的图象；
（2）若，求的取值范围.

答案：
见解析；
解析：
（1）；

（2）当时，恒不满足，此时；
当时，恒成立，必有
.
当时，
时，，，所以.
时，，，令，所以.
时，，.
，所以.
所以，.