章数学建模概述市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST第第一一章章 数学建模概述数学建模概述1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模1.2 1.2 数学建模基本问题数学建模基本问题1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 1.4 插值法与最小二乘法简介插值法与最小二乘法简介第第1页页第第1页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模数学广泛地应用于各个领域，如数学广泛地应用于各个领域，如:老式物理老式物理学、天文学、力学，及当代工程技术、社会学、天文学、力学，及当代工程技术、社会生活、信息技术等。生活、信息技术等。计算机技术发展为数学广泛应用创造了条计算机技术发展为数学广泛应用创造了条件，尤其是一些数学软件开发使用，使得诸件，尤其是一些数学软件开发使用，使得诸多数学思想、办法得以实现。多数学思想、办法得以实现。第第2页页第第2页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST 生物学生物学 航空宇宙航空宇宙 滤波设计滤波设计第第3页页第第3页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST 动力传播系统动力传播系统第第4页页第第4页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学模型数学模型(Mathematical Model)数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模第第5页页第第5页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，依据其依据其内在规律内在规律，做出必要，做出必要简化假设简化假设，利用适当利用适当数学工具数学工具,得到一个得到一个数学结构数学结构数学模型数学模型(Mathematical Model)数学模型是实际对象一个抽数学模型是实际对象一个抽象模拟，它用数学符号、数学公象模拟，它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现实式、图表、算法或程序描述现实对象中数量关系。对象中数量关系。第第6页页第第6页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)建立数学模型全过程建立数学模型全过程（包括表述、求解、解释、验证等）（包括表述、求解、解释、验证等）第第7页页第第7页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模全过程数学建模全过程现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型现实对象解答现实对象解答数学模型解答数学模型解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目和信息将实际问题根据建模目和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当数学办法求得数学模型解答选择适当数学办法求得数学模型解答将数学语言表述解答将数学语言表述解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象信息检查得到解答用现实对象信息检查得到解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践第第8页页第第8页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.2 1.2 数学建模基本问题数学建模基本问题数学建模办法数学建模办法数学建模基本过程数学建模基本过程数学模型分类数学模型分类如何学好数学建模如何学好数学建模数学建模竞赛数学建模竞赛第第9页页第第9页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST测试分析办法：测试分析办法：对客观事物特性不能准确结对客观事物特性不能准确结识，只能通过对问题观测数据测量和分析，识，只能通过对问题观测数据测量和分析，找到与数据吻合最好模型。找到与数据吻合最好模型。如：如：回归分析办法，方差分析办法等。回归分析办法，方差分析办法等。数学建模办法数学建模办法机理分析办法：机理分析办法：依据对客观事物特性结识，依据对客观事物特性结识，分析其因果关系，通过推理分析得到数学模分析其因果关系，通过推理分析得到数学模型。型。如：如：微分方程办法，最优化办法等。微分方程办法，最优化办法等。第第10页页第第10页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模基本过程数学建模基本过程1.模型准备模型准备 理解问题实际背景，明确建模目的，理解问题实际背景，明确建模目的，搜集掌握必要数据资料。搜集掌握必要数据资料。2.模型假设模型假设 在明确建模目的在明确建模目的,掌握必要资料基础上掌握必要资料基础上,通过对资料分析计算通过对资料分析计算,找出起主要作用原因找出起主要作用原因,经经 必要精炼、简化必要精炼、简化,提出若干符合客观实际假设。提出若干符合客观实际假设。3.模型建立模型建立 在所作假设基础上，利用适当数学工在所作假设基础上，利用适当数学工 具去刻划各变量之间关系具去刻划各变量之间关系,建立相应数学结构建立相应数学结构 即建立数学模型。即建立数学模型。4.模型求解模型求解 选择适当办法（解析法、数值法、画图法选择适当办法（解析法、数值法、画图法等）求解数学模型。等）求解数学模型。5.模型分析与检查模型分析与检查 对模型进行理论或计算分析，并用对模型进行理论或计算分析，并用实际数据检查是否符合实际。实际数据检查是否符合实际。在难以得出解析解时，也应当在难以得出解析解时，也应当借助借助 计算机计算机 求出数值解。求出数值解。实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第第11页页第第11页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学模型分类数学模型分类分类原则分类原则详细类别详细类别建模目的建模目的描述、优化、预报、决议描述、优化、预报、决议 对某个实际对某个实际问题理解进问题理解进一步程度一步程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量模型中变量特性特性连续型模型、离散型模型连续型模型、离散型模型或拟定性模型、随机型模型或拟定性模型、随机型模型等等建模中所用建模中所用数学办法数学办法初等模型、微分方程模型、初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等差分方程模型、优化模型等研究课题实研究课题实际范围际范围人口模型、生态系统模型人口模型、生态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、基因模型等济模型、基因模型等第第12页页第第12页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST如何学好数学建模如何学好数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大体有章可循技术大体有章可循艺术无法归纳成普遍合用准则艺术无法归纳成普遍合用准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人做过模型学习、分析、评价、改进别人做过模型 亲自动手，认真做几种实际题目亲自动手，认真做几种实际题目第第13页页第第13页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模竞赛数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛：美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一年至今，每年一次，时间在次，时间在2月初第一个周五至下周二，共月初第一个周五至下周二，共96小小时。三名学生构成一队参赛，要完毕以包括数学时。三名学生构成一队参赛，要完毕以包括数学建模全过程为素材撰写论文（建模全过程为素材撰写论文（英文英文）。）。全国大学生数学建模竞赛：全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一年至今，每年一次，时间在次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共月下旬第一个周五至下周一，共72小时。三名学生构成一队参赛，要完毕以包括数小时。三名学生构成一队参赛，要完毕以包括数学建模全过程为素材撰写论文。学建模全过程为素材撰写论文。第第14页页第第14页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 稳定椅子稳定椅子1.3.2 商人安全过河商人安全过河1.3.4 人口增长预测人口增长预测1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第15页页第第15页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.3.1 稳定椅子稳定椅子问题分析问题分析模型假设模型假设通常通常 三只脚着地三只脚着地 放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿同样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形四条腿同样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。椅子能在不平地面上放稳吗？椅子能在不平地面上放稳吗？问问 题题第第16页页第第16页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)对称性对称性用用(对角线与对角线与x轴夹角轴夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 函数函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形对称性正方形对称性两个两个 距离距离xBADCODC B A 第第17页页第第17页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTf(),g()是是连续函连续函数数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数学问题数学问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证实：证实：存在存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来模型构成模型构成第第18页页第第18页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型求解模型求解给出一个简朴、粗糙证实办法给出一个简朴、粗糙证实办法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g连续性知连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数基本性质据连续函数基本性质,必必存在存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).由于由于f()g()=0,因此因此f(0)=g(0)=0.建模关键建模关键:假设条件本质与非本质假设条件本质与非本质 考察四脚连线呈长方形椅子考察四脚连线呈长方形椅子和和 f(),g()拟定拟定评注和评注和思考思考:第第19页页第第19页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河方案由商人决定但是乘船渡河方案由商人决定.商人们如何才干安全过河商人们如何才干安全过河?问题分析问题分析多步决议过程多步决议过程决议决议 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员船上人员要求要求在安全前提下在安全前提下(两岸随从数不比商人多两岸随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)1.3.2 商人安全过河商人安全过河第第20页页第第20页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型构成模型构成yk第第k次渡河前此岸随从数次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程状态过程状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上商人数次渡船上商人数vk第第k次渡船上随从数次渡船上随从数dk=(uk,vk)决议决议D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决议决议集集合合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按状按状态态转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决议问题多步决议问题xk第第k次渡河前此岸商人数次渡河前此岸商人数设设第第21页页第第21页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决议允许决议 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案规格化办法规格化办法,易于推广易于推广考虑考虑4 4名商人各带一名随从情况名商人各带一名随从情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2评注和评注和思考思考:第第22页页第第22页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台背景背景1.3.3 传送系统效率传送系统效率 在机械化生产车间里你能够看到这样情景：排在机械化生产车间里你能够看到这样情景：排列整洁工作台旁工人们紧张地生产同一个产品，列整洁工作台旁工人们紧张地生产同一个产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干个钩子，工人们将产品挂在通过他上方钩子上带个钩子，工人们将产品挂在通过他上方钩子上带走。走。第第23页页第第23页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.3.3 传送系统效率传送系统效率问题问题 衡量这种传送系统效率能够看它是否及时地把衡量这种传送系统效率能够看它是否及时地把工人们生产产品带走。显然在工人数目不变情况工人们生产产品带走。显然在工人数目不变情况下传送带速度越快下传送带速度越快,带上钩子越多带上钩子越多,效率会越高。我效率会越高。我们要们要结构一个衡量传送系统效率指标结构一个衡量传送系统效率指标,并且在一些并且在一些简化假设下简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人建立一个模型来描述这个指标与工人数目数目,钩子数量等参数关系钩子数量等参数关系.传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台第第24页页第第24页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST问题分析问题分析系统稳态系统稳态生产系统周期性运转生产系统周期性运转传送系统效率传送系统效率一个周期效率一个周期效率一个周期内传送带运走产品数占产品总数一个周期内传送带运走产品数占产品总数百百分比分比作为衡量传送带效率作为衡量传送带效率数量数量指标指标1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第25页页第第25页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST问题分析问题分析每人做完一件产品后每人做完一件产品后,要么恰有空钩通过他工作台要么恰有空钩通过他工作台,使他可将产品挂上运走使他可将产品挂上运走,要么没有空钩通过要么没有空钩通过,迫使他迫使他放下这件产品并马上投入下件产品生产。放下这件产品并马上投入下件产品生产。工人们生产周期即使相同工人们生产周期即使相同,但稳态下每生产完一件但稳态下每生产完一件产品时刻不会一致产品时刻不会一致,能够认为是随机能够认为是随机,并且在一个周并且在一个周期内期内任一时刻也许性相同任一时刻也许性相同。系统稳态系统稳态生产系统周期性运转生产系统周期性运转工人们生产周期工人们生产周期(生产一件产品时间生产一件产品时间)相同相同1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第26页页第第26页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST系统稳态系统稳态生产系统周期性运转生产系统周期性运转工人们生产周期工人们生产周期(生产一件产品时间生产一件产品时间)相同相同 生产完一件产品时刻是生产完一件产品时刻是随机随机且在一个周期内任一时刻且在一个周期内任一时刻也许性相同也许性相同问题分析问题分析挂挂上产品时刻也是上产品时刻也是随机随机一个周期内传送带运走产品数占产品总数一个周期内传送带运走产品数占产品总数百百分比分比作为衡量传送带效率作为衡量传送带效率数量指标数量指标1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第27页页第第27页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型假设模型假设1）n个工作台个工作台均匀排列，均匀排列，n个工人生产互相独立，个工人生产互相独立，生产周期是常数；生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品时刻在）生产进入稳态，每人生产完一件产品时刻在 一个周期内是一个周期内是等也许等也许；3）一周期内）一周期内m个均匀排列挂钩个均匀排列挂钩通过每一工作台通过每一工作台 上方，到达第一个工作台挂钩都是空；上方，到达第一个工作台挂钩都是空；4）每人在生产完一件产品时都）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只能且只能触到一只 挂钩挂钩,若这只挂钩是空若这只挂钩是空,则可将产品挂上运走；则可将产品挂上运走；若该钩非空若该钩非空,则这件产品被放下则这件产品被放下,退出运送系统。退出运送系统。1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第28页页第第28页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型建立模型建立为拟定为拟定s s,从从工人工人考虑还是从考虑还是从挂钩挂钩考虑考虑,哪个以便哪个以便?传送带效率传送带效率=一周期内运走产品数一周期内运走产品数s(待定待定)生产总数生产总数 n（已知）（已知）=s/n=D 定义定义:从工人角度考虑从工人角度考虑,工人能将自己产品挂上钩子概率与工人所在位置相关工人能将自己产品挂上钩子概率与工人所在位置相关 在稳态下钩子没有顺序，处于同等地位在稳态下钩子没有顺序，处于同等地位 从钩子角度考虑从钩子角度考虑1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第29页页第第29页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型建立模型建立从钩子角度考虑：从钩子角度考虑：若求出一周期内每只挂钩非空概率若求出一周期内每只挂钩非空概率p，则，则 s=mp 设每只挂钩为空概率为设每只挂钩为空概率为q，则，则 p=1-q 设每只挂钩不被一工人触到概率为设每只挂钩不被一工人触到概率为r，则，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到概率为设每只挂钩被一工人触到概率为u，则，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有一周期内有m个挂钩通过每一工作台上方个挂钩通过每一工作台上方如何求概率如何求概率P P 1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第30页页第第30页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型解释模型解释若若(一周期运营一周期运营)挂钩数挂钩数m远不小于工作台数远不小于工作台数n,则则 传送带效率传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比一周期内运走产品数与生产总数之比)定义定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比一周期内未运走产品数与生产总数之比)提升效率路径：提升效率路径：增长增长m当当n远不小于远不小于1时时,E n/2m E与与n成正比成正比,与与m成反成反比比若若n=10,m=40,D 87.5%(89.4%)1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第31页页第第31页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口改变规律研究人口改变规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.4 人口增长预测人口增长预测目目第第32页页第第32页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式惯用计算公式 N(t)时刻时刻t人口人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数,今年人口今年人口 N0,年增长率年增长率 r=b-d，k 年后人口年后人口伴随时间增长，人口按指数规律无限增长伴随时间增长，人口按指数规律无限增长第第33页页第第33页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST指数增长模型应用及不足指数增长模型应用及不足 与与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合 适合用于适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代世纪后迁往加拿大欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地域人口增长规律世纪后多数地域人口增长规律 不能预测较长期人口增长过程不能预测较长期人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据 人口增长率人口增长率r不是常数不是常数(逐步下降逐步下降)第第34页页第第34页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降人口增长到一定数量后，增长率下降原因原因：1.资源、环境等原因对人口增长阻滞作用资源、环境等原因对人口增长阻滞作用2.阻滞作用随人口数量增长而变大阻滞作用随人口数量增长而变大假设假设r固有增长率固有增长率 (N很小时很小时)Nm人口容量（资源、环境能容纳最大数量）人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是是N减函数减函数第第35页页第第35页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST0dN/dtNNmNm/2NmtN0N(t)S形曲线形曲线,N增长先快后慢增长先快后慢N0Nm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)第第36页页第第36页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department