2014年湖南高考理科数学试题及答案.doc

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.

一、 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1． 满足的复数
A． B． C． D．
2．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，学科网当选取简单随机抽样、zxxk系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是则
A． B． C． D．
3．已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
4．的展开式中的系数是zxxk
A．－20 B．－5 C．5 D．20
5．已知命题在命题
①②③④中，真命题是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于
A． B． C． D． 输出S
是
否
t<0?
t=2t2+1
S=t-3
结束
开始
输入t

6
正视图
12
8
侧视图
俯视图
7． 一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A．1 B．2 C．3 D．4
8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B． C． D．
9．已知函数则函数的图象的一条对称轴是
A． B． C． D．
10．已知函数zxxk的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．
（一）选做题（请考生在第1112，13三题中任选两题作答，学科网如果全做，则按前两题记分）
11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线交于两点，则，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是
12．如图3，已知是的两条弦，则的半径等于

13．若关于的不等式的解集为，则
（二）必做题（14－16题）
14．若变量满足约束条件，且的最小值为－6，则
15．如图4，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过
16．在平面直角坐标系中，为原点，动点满足的最大值是
三、解答题：本大题共6小题，共75分．学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．
（I） 求至少有一种新产品研发成功的概率；
（II） 若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

18． （本小题满分12分）
如图5，在平面四边形中，
（I） 求的值；
（II） 若求zxxk的长．

19． （本小题满分12分）
如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．
（I） 证明：
（II） 若的余弦值．

20． （本小题满分13分）
已知数列{}满足
（I） 若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；
（II） 若，且{}是递增数列，{}学科网是递减数列，zxxk求数列{}的通项公式．

21． （本小题满分13分）
如图7，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知且
（I） 求的方程；
（II） 过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．

22． （本小题满分13分）
已知常数
（I） 讨论在区间上的单调性；
（II） 若存在学科网两个极值点且求的zxxk取值范围．

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.满足为虚数单位)的复数( )
A． B． C． D．
【解】选B.由,即选B.
2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是则( )
A． B． C． D．
【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即,故选D.
3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解】选C.由函数奇偶性,联想转化:.
4.的展开式中的系数是( )
A．－20 B．－5 C．5 D．20
【解】选A.二项式的通项为,
令时,,故选A.
5.已知命题若,则,命题若,则.在命题①②
输出S
是
否
t<0?
t=2t2+1
S=t-3
结束
开始
输入t
③④中,真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【解】选C.显然真假,所以可知复合命题①、③正确,选C.
6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于( )
A. B．
C． D．
【解】选D. 由程序框图可知
①当时,运行程序如下,;
②当时,则;
6
正视图
12
8
侧视图
俯视图
综上①②可知,故选D.
7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、
打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、
宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱
柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其
三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角
三角形内切圆的半径,则,故选B.
8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两
年生产总值的年平均增长率为( )
A． B． C． D．
【解】选D.设两年的年平均增长率为,
则有,故选D.
9.已知函数且,则函数的图象的一条对称轴是( )
A． B． C． D．
【解】选A.由得,,即,
可化为,即,可得,
也所以,经检验可知A选项符合.
10.已知函数与的图象上存在关于轴对称
的点,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解】选B.依题意在曲线取一点,则在曲线上存在一点与之对应(关于轴对称),所以在上有解,
x
y
O
即,也即在上
有解,由于分别为上增函数、
减函数,于是结合图象易知,方程在上
有解的充要条件为,即,选B.

二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.
(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
11.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线为参数)交于
两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 的极坐标方程是 .
【解】填.依题意曲线的普通方程为,
A
B
C
O
设直线的方程为,因为弦长,所以圆心到直线的距离,
所以圆心在直线上,故.
12.如图右,已知是的两条弦,,

A
B
D
C
O
则的半径等于 .
【解】填.设,易知,
中由勾股定理可得,连接,则有
.
13.若关于的不等式的解集为,则 .
【解】填 -3 .由题可得,故填.
(二)必做题(14-16题)
y
4
y=k
y=x
y=-2x+z
4
A
x
O
B
C
14.若变量满足约束条件,且的最小值为－6,
则 .
【解】填 -2 .如右图所示,,且可行域为三角形,
故当目标函数过点时,有最小值,
y
O
A
C
D
E
B
F
G
x
即,即.
15.如图右,正方形和正方形的边长分别为,
原点为的中点,抛物线经过两点,
则 .
【解】填.由条件可知在抛物线
上,代入点易得,又代入点得,,即,
可化为,得,又因为,所以,即求.
16.在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,则
x
y
A
C
D
E
B
D¢
O
1
的最大值是 .
【解】填.由知,动点在上,
设,则,
其几何意义为上动点与定点间距离的平方,
如右图所示,由平面几何知,.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲、乙两组的研发相互独立.
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获
利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
【解】(Ⅰ)记{甲组研发新产品成功},{乙组研发新产品成功}.由题设知
相互独立,且,又记事件 “至少有一种新产品研发成功”为,
则……………6分
(Ⅱ)记该企业可获利润为(万元),则的可能取值有0,100,120,220.

0
100
120
220

且易知;
;
故所求的分布列为(如右表所示):
A
C
D
B
且.………………………………12分
18.(本小题满分12分)
如图右,在平面四边形中,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若求的长.
A
C
D
B
【解】(Ⅰ)如图右,在中,由余弦定理,得
……………5分
(Ⅱ)设,则,
因为,
且,所以,
同理,
于是,
,………………………………………10分
所以在中,由正弦定理有,即求.………………12分
A1
B1
C1
D1
O1
A
C
D

B
O
19.(本小题满分12分)
如图,四棱柱的所有棱长都相等,
四边形和四边形
均为矩形.
(Ⅰ)证明:底面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
A1
B1
H
C1
D1
O1
A
C
D
B
O
【解】(Ⅰ)证明:如图右,因为四边形为矩形,所以
,同理,
因为,所以,而,因此
底面.
由题设知,故底面;………………6分
(Ⅱ)解法1 如图右,由(Ⅰ)知底面,
所以底面,于是.
又由题设知四边形是菱形,所以,而,
故平面,于是过点作于,连结
则(三垂线定理),故是二面角的平面角.
不妨设,因为,所以,
在中而,于是,
故中,有,
A1
B1
z
H
C1
D1
O1
A
C
D
y
B
O
x
即二面角的余弦值为.……………………………………………12分
解法2 由题设知四边形是菱形,所以,
又(Ⅰ)已证底面,从而两
两垂直,如图右,以为原点,所在直线分
别分轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.
不妨设,因为,所以,
于是相关各点的坐标为,
易知是平面的一个法向量.设是平面一个法向量,
则,即 ,令,则,故,
设二面角的大小为,由图可知为锐角,于是
,
故二面角的余弦值为.……………………………………………12分
20.(本小题满分13分)
已知数列满足
(Ⅰ)若是递增数列,且成等差数列,求的值;
(Ⅱ)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.
【解】(Ⅰ)因为是递增数列,所以,而,
因为,又成等差数列,
所以,因而,解得或,
当时,,这与是递增数列矛盾.故;………………………………6分
(Ⅱ)由于是递增数列,因而,于是,……①
而,……②
由①②知,,即,……③
因为是递减数列,同理可得,故……④
由③④即知,,
所以

,
又当时,也适合上式,故.………………………13分
21.(本小题满分13分)
O
F3
A
x
y
F2
B
F1
F4
M
Q
P
如图右,为坐标原点,椭圆
的左、右焦点分别为,离心率为;双曲线
的左、右焦点分别为,离心率为.已知
且
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过作的不垂直于轴的弦为的中点.当直线与交于两点
时,求四边形面积的最小值.
【解】(Ⅰ)因为O
F3
A
x
y
F2
B
F1
F4
M
d
Q
P
所以,
得,从而,
于是,即,
故的方程分别为.………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)易知,依题意设,,
由,得,显然恒成立,
所以,
故,于是的中点,
故直线的斜率为,即直线,即,
由得,即,
由双曲线的对称性易,
由为的中点,显然到直线的距离相等,
即,所以,
又因为在直线的两侧,故,
于是,
又因为,即,
故四边形的面积为,
由,故当时,有最小值2,
综上所述,四边形面积的最小值为2.……………………………………………13分
22.(本小题满分13分)
已知常数,函数
(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;
(Ⅱ)若存在两个极值点且求的取值范围.
【解】(Ⅰ)由,()
①当时,;
②当时,由得,(舍去),
且由于二次函数的图象是开口向上的抛物线,故易知:
当时,,当时,,
综上所述,当时,在区间上单调递增;
当时,在区间上递减,在区间上递增.……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
①当时,,此时不存在极值点.
②当时,的两根为,
依题意是定义域上的两个极值点,故必有,
解得,结合二次函数的图象可知,
当时,分别是的极小值、极大值点.且.
而,

令,则,
于是,即在上递减,所以
①当时,,与的题意矛盾,舍去;
②当时,,符合题意.
综上可知,要使则必须有,即为所求.……13分