2013年四川高考文科数学试卷(word版)和答案.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合，集合，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
（A）棱柱 （B）棱台
（C）圆柱 （D）圆台
3、如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5、抛物线的焦点到直线的距离是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6、函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7、某学校随机抽取个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是（ ）

8、若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、设函数（，为自然对数的底数）。若存在使成立，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、的值是____________。
12、如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________。
13、已知函数在时取得最小值，则____________。
14、设，，则的值是____________。
15、在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是_______。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和。

17、(本小题满分12分)
在中，角的对边分别为，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影。

18、(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数

…
…
…
…

运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数

…
…
…
…

当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

19、(本小题满分12分)
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。
（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）

20、(本小题满分13分)
已知圆的方程为，点是坐标原点。直线与圆交于两点。
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是线段上的点，且。请将表示为的函数。

21、(本小题满分14分)
已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且
（Ⅰ）指出函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；
（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。

答案：
2013年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）（2013•四川）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）

A．
∅
B．
{2}
C．
{﹣2，2}
D．
{﹣2，1，2，3}

考点：
交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
找出A与B的公共元素即可求出交集．
解答：
解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，
∴A∩B={2}．
故选B
点评：
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．
棱柱
B．
棱台
C．
圆柱
D．
圆台

考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：
解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故选D．
点评：
考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

3．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　）

A．
A
B．
B
C．
C
D．
D

考点：
复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
解答：
解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．
所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选B．
点评：
本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．

4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）

A．
￢p：∃x∈A，2x∈B
B．
￢p：∃x∉A，2x∈B
C．
￢p：∃x∈A，2x∉B
D．
￢p：∀x∉A，2x∉B

考点：
命题的否定；特称命题．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
解答：
解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：
￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选C．
点评：
本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．

5．（5分）（2013•四川）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（　　）

A．

B．
2

C．

D．
1

考点：
抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离．
解答：
解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），
∴点F（2，0）到直线的距离d==1．
故选D．
点评：
熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．

6．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
解答：
解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
点评：
本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．

7．（5分）（2013•四川）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
频率分布直方图；茎叶图．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．
解答：
解：根据题意，频率分布表可得：
分组
频数
频率
[0，5）
1
0.05
[5，10）
1
0.05
[10，15）
4
0.20
…
…
…
[30，35）
3
0.15
[35，40）
2
0.10
合计
100
1.00
进而可以作频率直方图可得：

故选：A．
点评：
本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．

8．（5分）（2013•四川）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　）

A．
48
B．
30
C．
24
D．
16

考点：
简单线性规划．菁优网版权所有
专题：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：
先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．
解答：
解：满足约束条件的可行域如图所示
在坐标系中画出可行域，
平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，
则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．
经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，
则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．
z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．
故选C．

点评：
借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

9．（5分）（2013•四川）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c，从而可得答案．
解答：
解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），
则+=1，
∴y0=，
∴P（﹣c，），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴kAB=kOP，即==，
∴b=c．
设该椭圆的离心率为e，则e2====，
∴椭圆的离心率e=．
故选C．
点评：
本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

A．
[1，e]
B．
[1，1+e]
C．
[e，1+e]
D．
[0，1]

考点：
函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析：
根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得ex=x2﹣x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
解答：
解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得ex=x2﹣x+a
记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A

点评：
本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）（2013•四川）lg+lg的值是　1　．

考点：
对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接利用对数的运算性质求解即可．
解答：
解：==1．
故答案为：1．
点评：
本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．

12．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=　2　．

考点：
平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
依题意，+=，而=2，从而可得答案．
解答：
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
点评：
本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．

13．（5分）（2013•四川）已知函数在x=3时取得最小值，则a=　36　．

考点：
函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
专题：
导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
分析：
由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．
解答：
解：由题设函数在x=3时取得最小值，
∵x∈（0，+∞），
∴得x=3必定是函数的极值点，
∴f′（3）=0，
f′（x）=4﹣，
即4﹣=0，
解得a=36．
故答案为：36．
点评：
本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．

14．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是　　．

考点：
二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．菁优网版权所有
专题：
压轴题；三角函数的求值．
分析：
已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答：
解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα=﹣，
则tan2α===．
故答案为：
点评：
此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

15．（5分）（2013•四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　（2，4）　．

考点：
一般形式的柯西不等式．菁优网版权所有
专题：
压轴题；直线与圆．
分析：
如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．
解答：
解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），
∴AC，BD的方程分别为：，，
即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．
解方程组得Q（2，4）．
故答案为：（2，4）．

点评：
本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2013•四川）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

考点：
等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求
解答：
解：设等比数列的公比为q，
由已知可得，a1q﹣a1=2，4
联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0
∴或q=1（舍去）
∴=
点评：
本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力

17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

考点：
两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的含义与物理意义；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量在方向上的投影．
解答：
解：（Ⅰ）由，
可得，
即，
即，
因为0＜A＜π，
所以．
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=﹣7（舍去）．
向量在方向上的投影：=ccosB=．
点评：
本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．

18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100
1027
376
697
乙的频数统计表（部分）
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100
1051
696
353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

考点：
程序框图；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：
图表型；算法和程序框图．
分析：
（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；
（II）当n=2100时列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
解答：
解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；
∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：

输出y的值为1的频率
输出y的值为2的频率
输出y的值为3的频率
甲

乙

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
点评：
本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）

考点：
直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行．
等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE，运算求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，
故直线l与平面A1BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．
而AA1∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC
∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，
故DE⊥平面AA1C1C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．
∵===1，
∴三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE=×1×=．
点评：
本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．

20．（13分）（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．

考点：
直线与圆的位置关系；函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
专题：
直线与圆．
分析：
（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；
（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．
解答：
解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），
根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，
则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），
∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，
代入=+得：=+，
即=+=，
由（*）得到x1+x2=，x1x2=，
代入得即m2=，
∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，
由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），
根据题意得点Q在圆内，即n＞0，
∴n==，
则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．
点评：
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．

21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
专题：
压轴题；导数的综合应用．
分析：
（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1；
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．
解答：
解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1，

当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
∴x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；
（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；
两直线重合的充要条件是，
由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，
令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．
点评：
本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．

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