经典单方程计量经济学模型多元线回归模型市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第三章第三章 典型单方程计量经济学模型：典型单方程计量经济学模型：多元线性回归模型多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型 多元线性回归模型参数预计多元线性回归模型参数预计多元线性回归模型统计检查多元线性回归模型统计检查多元线性回归模型预测多元线性回归模型预测回归模型其它形式回归模型其它形式回归模型参数约束回归模型参数约束第1页第1页3.1 3.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、一、多元线性回归模型多元线性回归模型 二、二、多元线性回归模型基本假定多元线性回归模型基本假定 第2页第2页一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中解释变量有多个。普通表现形式普通表现形式：i=1,2,n其中:k为解释变量数目，j称为回归参数回归参数（regression coefficient）。第3页第3页也也被被称称为为总总体体回回归归函函数数随随机机表表示示形形式式。它它 非非随随机表示式机表示式为为:表示：表示：各变量各变量X X值固定期值固定期Y Y平均响应平均响应。习惯上习惯上：把常数项常数项当作为一虚变量虚变量系数，该虚变量样本观测值始终取1。于是：模型中解释变量数目为（模型中解释变量数目为（k+1）第4页第4页总体回归模型n个随机方程矩阵表示式矩阵表示式为:其中其中 j也被称为偏回归系数偏回归系数，表示在其它解释变量保持不变情况下，X j每改变1个单位时，Y均值E(Y)改变;或者说j给出了X j单位改变对Y均值“直接”或“净”（不含其它变量）影响。第5页第5页用来预计总体回归函数样本回归函数样本回归函数为：第6页第6页其其随机表示式随机表示式:ei称为残差残差或剩余项剩余项(residuals)，可当作是总体回归函数中随机扰动项 i近似替换。样本回归函数样本回归函数矩阵表示矩阵表示:或或其中其中：第7页第7页二、多元线性回归模型基本假定二、多元线性回归模型基本假定 假设1，解释变量是非随机或固定，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项含有零均值、同方差及不序列相关性。第8页第8页 假设3，解释变量与随机项不相关 假设4，随机项满足正态分布 第9页第9页上述假设上述假设矩阵符号表示矩阵符号表示 式：式：假设1，n(k+1)矩阵X是非随机，且X秩=k+1，即X满秩。假设2，第10页第10页假设4，向量 有一多维正态分布，即 同一元回归同样，多元回归还含有下列两个主同一元回归同样，多元回归还含有下列两个主要假设：要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量方差趋于有界常数，即n时，假设3，E(X)=0，即 第11页第11页 其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量离差为元素构成nk阶矩阵 假设6，回归模型设定是正确。或第12页第12页3.2 3.2 多元线性回归模型预计多元线性回归模型预计 一、一、普通最小二乘预计普通最小二乘预计 *二、二、最大或然预计最大或然预计 *三、三、矩预计矩预计 四、四、参数预计量性质参数预计量性质 五、五、样本容量问题样本容量问题 六、六、预计实例预计实例 第13页第13页说说 明明预计办法：预计办法：3大类办法：大类办法：OLS、ML或者或者MM在典型模型中多应用在典型模型中多应用OLS在非典型模型中多应用在非典型模型中多应用ML或者或者MM在本节中，在本节中，ML与与MM为选学内容为选学内容第14页第14页一、普通最小二乘预计一、普通最小二乘预计对于随机抽取n组观测值假如样本函数样本函数参数预计值已经得到，则有：i=1,2n 依据最最小二乘原小二乘原理理，参数预计值应当是右列方程组解 其中第15页第15页 于是得到关于待估参数预计值正规方程组正规方程组：解该（k+1）个方程构成线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数预计值$,jj=012 L。k第16页第16页正规方程组正规方程组矩阵形式矩阵形式即由于XX满秩，故有 第17页第17页 将上述过程用矩阵表示矩阵表示下列：即求解方程组：第18页第18页得到：于是：例例3.2.1：在例2.1.1家庭收入家庭收入-消费支出消费支出例中，第19页第19页可求得：于是：第20页第20页正规方程组正规方程组 另一个写法对于正规方程组正规方程组 于是 或(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组另一个写法。(*)(*)第21页第21页样本回归函数离差形式样本回归函数离差形式i=1,2n 其矩阵形式矩阵形式为：其中：在离差形式下，参数最小二乘预计结果为 第22页第22页随机误差项随机误差项 方差方差 无偏预计无偏预计 能够证实，随机误差项方差无偏预计量为：第23页第23页 *二、最大或然预计二、最大或然预计对于多元线性回归模型易知Y随机抽取n组样本观测值联合概率第24页第24页 对数或然函数为对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。即为变量Y或然函数或然函数 第25页第25页 因此，参数最大或然预计最大或然预计为为结果与参数普通最小二乘预计相同结果与参数普通最小二乘预计相同第26页第26页*三、矩预计三、矩预计（Moment Method,MM）OLS预计是通过得到一个关于参数预计值正规正规方程组方程组并对它进行求解而完毕。该该正规方程组正规方程组 能够从另外一个思绪来导:求盼望:第27页第27页称为原总体回归方程一组矩条件矩条件，表明了原总体回归方程所含有内在特性。第28页第28页由此得到正规方程组正规方程组 解此正规方程组即得参数MM预计量。易知易知MMMM预计量与预计量与OLSOLS、MLML预计量等价。预计量等价。矩办法矩办法是是工具变量办法工具变量办法(Instrumental Variables,IV)和和广义矩预计办法广义矩预计办法(Generalized Moment Method,GMM)基础基础第29页第29页 在矩办法矩办法中利用了关键是 E(X)=0 假如某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然能够构成一组矩条件。这就是IV。假如存在k+1个变量与随机项不相关，能够构成一组包括k+1方程矩条件。这就是GMM。第30页第30页 四、参数预计量性质四、参数预计量性质 在满足基本假设情况下，其结构参数 普通最小二乘预计、最大或然预计最大或然预计及矩预计矩预计仍含有：线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。同时，伴随样本容量增长，参数预计量含有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。第31页第31页 1、线性性、线性性 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定X相关行向量 2、无偏性、无偏性 第32页第32页 3、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性）这里利用了假设:E(X)=0第33页第33页其中利用了 和第34页第34页 五、样本容量问题五、样本容量问题 所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数预计量，无论其质量如何，所要求样本容量下限。最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量数目（包括常数项）数目（包括常数项）,即 n k+1由于，无多重共线性要求：秩(X)=k+1第35页第35页 2 2、满足基本要求样本容量、满足基本要求样本容量 从统计检查角度从统计检查角度：n30 时，Z检查才干应用；n-k8时,t分布较为稳定 普通经验认为普通经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才干说满足模型预计基本要求。模型良好性质只有在大样本下才干得到理论模型良好性质只有在大样本下才干得到理论上证实上证实第36页第36页 六、多元线性回归模型参数预计实例六、多元线性回归模型参数预计实例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居民人中国居民人均消费均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1)预计区间：1979第37页第37页Eviews软件预计结果 第38页第38页3.3 3.3 多元线性回归模型统计检查多元线性回归模型统计检查 一、一、拟合优度检查拟合优度检查 二、二、方程明显性检查方程明显性检查(F(F检查检查)三、三、变量明显性检查（变量明显性检查（t t检查）检查）四、四、参数置信区间参数置信区间 第39页第39页一、拟合优度检查一、拟合优度检查1、可决系数与调整可决系数、可决系数与调整可决系数则 总离差平方和分解总离差平方和分解第40页第40页由于:=0因此有：注意：注意：一个有趣现象一个有趣现象第41页第41页 可决系数可决系数该统计量越靠近于1，模型拟合优度越高。问题：问题：在应用过程中发觉，假如在模型中增长一个解释变量，R2往往增大（Why?)这就给人一个错觉一个错觉：要使得模型拟合得好，要使得模型拟合得好，只要增长解释变量即可只要增长解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增长解释变量个数引起R2增大与拟合好坏无关，R2需调整需调整。第42页第42页 调整可决系数调整可决系数（adjusted coefficient of determination）在样本容量一定情况下，增长解释变量必定使得自由度减少，因此调整思绪是:将残差平方和将残差平方和与总离差平方和分别除以各自自由度，以剔除变与总离差平方和分别除以各自自由度，以剔除变量个数对拟合优度影响量个数对拟合优度影响:其中：n-k-1为残差平方和自由度，n-1为总体平方和自由度。第43页第43页第44页第44页*2、赤池信息准则和施瓦茨准则、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同多元回归模型拟合优度，惯用标准还有:赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）施瓦茨准则施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）这两准则均要求这两准则均要求仅当所增长解释变量能够减仅当所增长解释变量能够减少少AICAIC值或值或ACAC值时才在原模型中增长该解释变量值时才在原模型中增长该解释变量。第45页第45页 Eviews预计结果显示：中国居民消费一元例中：AIC=6.68 AC=6.83 中国居民消费二元例中：AIC=7.09 AC=7.19从这点看，能够说前期人均居民消费CONSP(-1)应包括在模型中。第46页第46页二、方程明显性检查二、方程明显性检查(F(F检查检查)方程明显性检查，旨在对模型中被解释变量方程明显性检查，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间线性关系与解释变量之间线性关系在总体上在总体上是否明显成立是否明显成立作出推断。作出推断。1、方程明显性、方程明显性F检查检查 即检查模型 Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2,n中参数j是否明显不为0。第47页第47页 可提出下列原假设与备择假设：H0：0=1=2=k=0 H1：j不全为0 F F检查思想检查思想来自于总离差平方和分解式：TSS=ESS+RSS第48页第48页 假如这个比值较大，则X联合体对Y解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上也许不存在线性关系。因此因此,可通过该比值大小对总体线性关系进可通过该比值大小对总体线性关系进行推断行推断。依据数理统计学中知识，在原假设H0成立条件下，统计量 第49页第49页服从自由度为(k,n-k-1)F分布。给定明显性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)来回绝或接受原假设H0，以鉴定原方程总体上总体上线性关系是否明显成立。第50页第50页对于中国居民人均消费支出例子：一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3给定明显性水平=0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32 二元例：F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1)，即二个模型线性关系在95%水平下明显成立。第51页第51页 2、关于拟合优度检查与方程明显性检查关于拟合优度检查与方程明显性检查关系讨论关系讨论 由可推出：与或第52页第52页第53页第53页 在在中国居民人均收入中国居民人均收入消费消费一元模型一元模型中，中，在在中国居民人均收入中国居民人均收入消费消费二元模型二元模型中中，第54页第54页三、变量明显性检查（三、变量明显性检查（t t检查）检查）方程总体线性总体线性关系明显 每个解释变量每个解释变量对被解释变量影响都是明显。因此，必须对每个解释变量进行明显性检查，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检查是由对变量这一检查是由对变量 t 检查完毕。检查完毕。第55页第55页 1、t统计量统计量 由于 以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上第i个元素，于是参数预计量方差为：其中2为随机误差项方差，在实际计算时，用它预计量代替:第56页第56页因此，可结构下列t统计量 第57页第57页 2、t检查检查 设计原假设与备择假设：H1：i0 给定明显性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)来回绝或接受原假设H0，从而鉴定相应解释变量鉴定相应解释变量是否应包括在模型中。是否应包括在模型中。H0：i=0 （i=1,2k）第58页第58页注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检查与检查与F F检查一致检查一致 一方面，t检查与F检查都是对相同原假设H0：1=0 进行检查;另一方面，两个统计量之间有如下关系：第59页第59页在中中国国居居民民人人均均收收入入-消消费费支支出出二二元元模模型型例中，由应用软件计算出参数t值：给定明显性水平=0.05，查得相应临界值：t0.025(19)=2.093。可见，计计算算所所有有t值值都都不不小小于于该该临临界界值值，因此回绝原假设。即:包包括括常常数数项项在在内内3个个解解释释变变量量都都在在95%水水平平下下明显，都通过了变量明显性检查。明显，都通过了变量明显性检查。第60页第60页四、参数置信区间四、参数置信区间 参参数数置置信信区区间间用来考察：在在一一次次抽抽样样中中所所预预计参数值离参数真实值有多计参数值离参数真实值有多“近近”。在变量明显性检查中已经知道：在变量明显性检查中已经知道：第61页第61页容易推出容易推出：在(1-)置信水平下i置信区间是 其中，t/2为明显性水平为、自由度为n-k-1临界值。在中国居民人均收入消费支出中国居民人均收入消费支出二元模型二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093第62页第62页计算得参数置信区间：0：(44.284,197.116)1：(0.0937,0.3489)2：(0.0951,0.8080)从回归计算中已得到：第63页第63页如何才干缩小置信区间？如何才干缩小置信区间？增大样本容量增大样本容量n n，由于在同样样本容量下，n越大，t分布表中临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数预计量原则差减小；提升模型拟合优度提升模型拟合优度，由于样本参数预计量原则差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。第64页第64页提升样本观测值分散度提升样本观测值分散度,普通情况下，样本观测值越分散，(XX)-1分母|XX|值越大，致使区间缩小。第65页第65页3.4 3.4 多元线性回归模型预测多元线性回归模型预测 一、一、E(Y0)置信区间置信区间 二、二、Y0置信区间置信区间第66页第66页对于模型 给 定 样 本 以 外 解 释 变 量 观 测 值X0=(1,X10,X20,Xk0)，能够得到被解释变量预测值：它能够是总体均值E(Y0)或个值Y0预测。但严格地说，这只是被解释变量预测值预计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值置信区为了进行科学预测，还需求出预测值置信区间，包括间，包括E(Y0)和和Y0置信区间置信区间。第67页第67页一、一、E(Y0)置信区间置信区间易知 第68页第68页容易证实 于是，得到(1-)置信水平下E(Y0)置信区间置信区间：其中，t/2为(1-)置信水平下临界值临界值。第69页第69页二、二、Y0置信区间置信区间假如已经知道实际预测值Y0，那么预测误差为：容易证实 第70页第70页e0服从正态分布，即 结构t统计量 可得给定(1-)置信水平下Y0置信区间置信区间：第71页第71页 中国居民人均收入-消费支出二元模型例中：人均GDP：4033.1元，于是人均居民消费预测值人均居民消费预测值为=120.7+0.22134033.1+0.45151690.8=1776.8（元）实测值实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：相对误差：-0.31%预测置信区间预测置信区间：第72页第72页于是E(E(）95%置信区间为:或 （1741.8，1811.7）第73页第73页或 （1711.1,1842.4）同样，易得95%置信区间为第74页第74页3.5 3.5 回归模型其它函数形式回归模型其它函数形式 一、一、模型类型与变换模型类型与变换 二、二、非线性回归实例非线性回归实例第75页第75页说说 明明在实际经济活动中，经济变量关系是复杂，直接表现为线性关系情况并不多见。如著名恩格尔曲线恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数幂函数曲线曲线形式、宏观经济学中菲利普斯曲线菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线双曲线形式等。但是，大部分非线性关系又能够通过一些简朴数学处理，使之化为数学上线性关系，从而能够利用线性回归模型理论办法。第76页第76页一、模型类型与变换一、模型类型与变换 1 1、倒数模型、多项式模型与变量直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量直接置换法 比如，比如，描述税收与税率关系拉弗曲线拉弗曲线：抛物线 s=a+b r+c r2 c0 s：税收；r：税率设X1=r，X2=r2，则原方程变换为 s=a+b X1+c X2 ck。假如出现n2F(n2,n1-k-1)，则回绝原假设，认为预测期发生了结构改变。第115页第115页 例例3.6.2 中国城乡居民食品人均消费需求邹氏检查。1、参数稳定性检查、参数稳定性检查19811994：RSS1=0.003240 1995：(9.96)(7.14)(-5.13)(1.81)第116页第116页1981:(14.83)(27.26)(-3.24)(-11.17)给定=5%，查表得临界值F0.05(4,13)=3.18第117页第117页 结论结论：F F值值 临界值，回绝参数稳定原假设，临界值，回绝参数稳定原假设，表明中国城乡居民食品人均消费需求在表明中国城乡居民食品人均消费需求在19941994年前年前后发生了明显改变。后发生了明显改变。2、邹氏预测邹氏预测检查检查给定=5%，查表得临界值F0.05(7,10)=3.18 结论结论：F值值临界值，回绝参数稳定原假设临界值，回绝参数稳定原假设 第118页第118页*四、非线性约束四、非线性约束 也可对模型参数施加非线性约束非线性约束,如对模型 施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型受约束回归模型:第119页第119页 该模型必须采用非线性最小二乘法非线性最小二乘法（nonlinear least squares）进行预计。非线性约束检查非线性约束检查是建立在最大似然原理最大似然原理基础上,有最大似然比检查最大似然比检查、沃尔德检查沃尔德检查与拉拉格朗日乘数检查格朗日乘数检查.第120页第120页1、最大似然比检查、最大似然比检查(likelihood ratio test,LR)预计预计:无约束回归模型与受约束回归模型，办法办法:最大似然法，检查检查:两个似然函数值差别是否“足够”大。记L(,2)为一似然函数:无约束回归无约束回归:Max:受约束回归受约束回归:Max:约束：g()=0第121页第121页或求极值：g():以各约束条件为元素列向量,：以相应拉格朗日乘数为元素行向量 受约束受约束函数值不会超出函数值不会超出无约束无约束函数值函数值，但假如约束条件为真约束条件为真，则两个函数值就非常“靠近靠近”。由此，定义似然比似然比（likelihood ratio）:第122页第122页 假如假如比值很小，阐明阐明两似然函数值差距较大，则应回绝回绝约束条件为真假设；假如假如比值靠近于，阐明阐明两似然函数值很靠近，应接受接受约束条件为真假设。详细检查详细检查时，由于大样本下：h是约束条件个数。因此：通过通过LR统计量统计量 2 2分布分布特性来进行判断。特性来进行判断。第123页第123页 在中国城乡居民人均食品消费需求例中国城乡居民人均食品消费需求例中，对零零阶齐次性阶齐次性检查：LR=-2(38.57-38.73)=0.32 给出=5%、查得临界值临界值 2 20.05(1)(1)3.84，LR 2 20.05(1),不回绝原约束假设，结论结论:中国城乡居民对食品人均消费需求函数中国城乡居民对食品人均消费需求函数满足零阶齐次性条件满足零阶齐次性条件。第124页第124页、沃尔德检查、沃尔德检查（Wald test,W）沃尔德检查中，只须预计无约束模型。如对 在所有古典假设都成立条件下，容易证实 第125页第125页因此，在1+2=1约束条件下:记可建立沃尔德统计量沃尔德统计量:第126页第126页 假如有h个约束条件，可得到h个统计量z1,z2,zh 约束条件为真时，可建立大样本大样本下服从自由度为h渐近 2 分布统计量:其中，Z为以zi为元素列向量，C是Z方差-协方差矩阵。因此，W从总体上测量了无约束回归从总体上测量了无约束回归不满足约束条件程度。不满足约束条件程度。对对非线性约束非线性约束，沃尔德统，沃尔德统计量计量W算法描述要复杂得多。算法描述要复杂得多。第127页第127页3、拉格朗日乘数检查、拉格朗日乘数检查 拉格朗日乘数检查则只需预计受约束受约束模型.受约束回归是求最大似然法极值问题:是拉格朗日乘数行向量，衡量各约束条件对最大似然函数值影响程度。第128页第128页 假如某一约束为真，则该约束条件对最大似然函数值影响很小，于是，相应拉格朗日乘数值应靠近于零。因此，拉格朗日乘数检查就是检查一些拉格朗日乘数值是否“足够大”，假如“足够大”，则回绝约束条件为真假设。第129页第129页 拉格朗日统计量LM本身是一个关于拉格朗日乘数复杂函数，在各约束条件为真情况下，服从一自由度恰为约束条件个数渐近2分布。同样地，假如为线性约束，LM服从一准确2分布：(*)第130页第130页n为样本容量，R2为下列被称为辅助回归辅助回归（auxiliary regression）可决系数:假如约束是非线性，辅助回归方程预计比较复杂，但仍可按（*）式计算LM统计量值。最后，普通地有最后，普通地有:LMLRW第131页第131页