2010四川高考数学(理科)试题及参考答案.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）

第Ⅰ卷
一、选择题：
（1）是虚数单位，计算
（A）－1 （B）1 （C） （D）
（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是

（A） （B） （C） （D）
（3）
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
（4）函数的图像关于直线对称的充要条件是
（A） （B） （C） （D）
（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

（A）
（B）
（C）
（D）
（12）设，则的最小值是
（A）2 （B）4 （C） （D）5

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）的展开式中的第四项是___．
（14）直线与圆相交于A、B两点，则________．
（15）如图，二面角的大小是60°，线段．
，与所成的角为30°．则与平面所成
的角的正弦值是_________．
（16）设S为复数集C的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：
①集合 （为整数，为虚数单位）为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．
其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
（18）（本小题满分12分）
已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点．
（Ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式；
②由推导两角和的正弦公式．
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求．
（20）（本小题满分12分）
已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍．设点的轨迹为，过点的直线交于两点，直线分别交于点
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知数列满足，且对任意都有

（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设证明：是等差数列；
（Ⅲ）设，求数列的前项和．
（22）（本小题满分14分）
设（且），是的反函数．
（Ⅰ）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；
（Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由．

参考答案

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。
1—6：ADCACC
1—12：BBDCAB
二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。
（13） （14） （15） （16）①②
三、解答题
（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是…………（6分）

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3。

0
1
2
3
P

…………（12分）
（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。
∥
=
因为点M是棱的中点，点O是的中点，
∥
=
所以 OK
∥
=
所以MO AK

。……（4分）
（Ⅱ）取

，
从而，

故二面角……………………（9分）
Ⅲ）易知，

…………（12分）
解法二
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（Ⅰ）因为点M是棱
所以

………………（4分）
（Ⅱ）设平面

即

故二面角………………（9分）
（Ⅲ）易知，

即
取
点M到平面OBC的距离

………………（12分）
（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。
解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系内作单位圆O，并作出角
交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角的始边为OP2，终边交⊙O于点P4。
则

展开并整理，得
…………（4分）
②由①易得，

…………（6分）
（Ⅱ）由题意，设、C的对边分别为b、c，则

…………（12分）
（20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力。
解：（Ⅰ）设

化简得………………（4分）
（Ⅱ）①当直线BC与轴不生直时，设BC的方程为
与双曲线方程

因为

因此

②当直线BC与轴垂直时，其方程为
AB的方程为
同理可得
综上，
故以线段MN为直径的圆过点F。………………（12分）
（21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意，令
再令………………（2分）
（Ⅱ）

所以，数列………………（5分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知
则

另由已知（令可得，

那么，

于是，
当
当
两边同乘可得

上述两式相减即得

=
=
所以
综上所述，
（22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意，得
故
由得

列表如下：

2
（2，5）
5
（5，6）
6

＋
0
－

5

极大值

25

所以
所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分）
（Ⅱ）

（Ⅲ）

综上，总有……………………………………（14分）