2014年广东高考（理科）数学试题及答案.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A. B. C. D.
2．已知复数Z满足，则Z=
A. B. 　 C. D.
3．若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则
A.8 B.7 C.6 D.5
4．若实数k满足，则曲线与曲线的
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等
5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是
A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
小学
初中
30
高中
10
年级
50
O
近视率/%

小学生
3500名
初中生
4500名
高中生
2000名

A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10

7．若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是
A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定
8．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为
A.60 B.90 C.120 D.130
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式的解集为 。
10．曲线在点处的切线方程为 。
11．从0,1,2,3,4,5,67,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
12．在中，角所对应的边分别为，已知，则 。
13．若等比数列的各项均为正数，且，则 。
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_________.
C
E
A
B
F
D
15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形中，
点在上且，与交于点，则

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数，且，
（1）求的值；
（2）若，，求。

17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25,30 ] 3 0.12
(30,35 ] 5 0.20
(35,40 ] 8 0.32
(40,45 ] n1 f 1
(45,50 ] n2 f 2
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。

A
B
C
D
E
F
P
18．（本小题满分13分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.
（1）证明：
（2）求二面角的余弦值。

19．（本小题满分14分）设数列的前和为,满足，且，
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式。

20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

21．（本小题满分14分） 设函数，其中，
（1）求函数的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数在D上的单调性；
（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科） 答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合则（B）
A． 　 B. 　 C. 　 D.
2.已知复数Z满足则Z=（A）
A． 　 　B. 　　 　C. 　　 D.
3.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为m和n，则（C）
A．8 　 B.7 　　　 　C.6 　　　　 　 D.5
4.若实数k满足则曲线与曲线的（D）
A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 　 D.焦距相等
5.已知向量则下列向量中与成夹角的是（B）
A．（-1,1,0） 　B. （1,-1,0）　 C. （0,-1,1）　 D. （-1,0,1）
6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（A）

A、200,20　　　 　B、100,20　　 C、200,10　　 D、100,10
7、若空间中四条两两不同的直线满足，则下列结论一定正确的是（D）
A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定

8.设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（D）
A．60 B90 C.120 D.130
８.解：A中元素为有序数组，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为，所以共有个不同数组；
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式的解集为 。
10．曲线在点处的切线方程为。
11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为。
11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，
12．在中，角所对应的边分别为，已知，则 2 。
13．若等比数列的各项均为正数，且，
则 50 。
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为 (1,1) .
15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝ 9 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、（12分）已知函数，且，
（1）求的值；
（2）若，，求。
16.解：（1），
，；
（2），
，
，，又，
，
．
17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］
的概率。
17. 解：（1），；
（2）样本频率分布直方图为
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则，
，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．
18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D－AF－E的余弦值。
18.（１）平面，
，又，，
平面，
，又，
平面，即；
（２）设，则中，，又，
A
B
C
D
E
F
P
x
y
z
，，由（１）知
，，
，又，
，，同理，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，
，，，
设是平面的法向量，则，又，
所以，令，得，，
由（１）知平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，可知为锐角，
，即所求．
19. （14分）设数列的前和为,满足，且。
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
19.解：，，又，
，，又，
，，
综上知，，；
（２）由（１）猜想，下面用数学归纳法证明．
①当时，结论显然成立；
②假设当（）时，，
则，又，
，解得，
，即当时，结论成立；
由①②知，．
20. （14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
20.解：（１）可知，又，，，
椭圆C的标准方程为；
（２）设两切线为，
①当轴或轴时，对应轴或轴，可知；
②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
，

所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，
所以点P的轨迹方程为（），
因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．
21.（本题14分）设函数，其中，
（1）求函数的定义域D；（用区间表示）
（2）讨论在区间D上的单调性；
（3）若，求D上满足条件的的集合。
21.解：（１）可知，
，
或，
或，
或，
或或，
所以函数的定义域D为
；
（２），
由得，即，
或，结合定义域知或，
所以函数的单调递增区间为，，
同理递减区间为，；
（３）由得，
，
，
，
或或或，
，，，
，，
结合函数的单调性知的解集为
．

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