2006年江苏高考数学真题及答案.doc

2006年江苏高考数学真题及答案

一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1． 已知，函数为奇函数，则
（A）0 （B）1 （C） （D）
2．圆的切线方程中有一个是
（A） （B） （C） （D）
3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
5．的展开式中含的正整数指数幂的项数是
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
6．已知两点，点P为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为
（A） （B） （C） （D）
7．若A、B、C为三个集合，，则一定有
（A） (B) (C) (D)
8．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是
（A） （B）

A
B
C
D
（C） （D）
9．两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放入棱长为1
的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一面平行，且
各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）无穷多个
10．右图中有一信号源和五个接收器。接收器与信号源在一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每级的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
（A） （B） （C） （D）

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．在中，已知，则AC=
12．设变量满足约束条件，则的最大值为
13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
14．
15．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前和的公式是
16．不等式的解集为

三．解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或深处步骤。
17．（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）
已知三点
⑴求以为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
O1
O
⑵设点关于直线的对称点分别为求以为焦点且过点的双曲线的标准方程。
18．（本小题满分14分）
请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）
在正中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB
B
P
C
F
B
A
B
A1
E
P
F
C
图1
图2
=1：2（如图1），将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
⑴求证：平面BEP；
⑵求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
⑶求二面角的大小（用反三角函数值表示）。

20．（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）
设为实数，记函数的最大值为
⑴设，求的取值范围，并把表示成的函数；
⑵求；
⑶试求满足的所有实数
21．（本小题满分14分）
设数列、、满足：

证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且

2006年江苏高考数学真题参考答案

YCY
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．已知，函数，为奇函数，则（A）
A．0 B．1 C．-1 D．
2．圆的切线方程中有一个是（C）
A． B． C． D．
3．某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为、、10、11、9。已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（D）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（C）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
5．的展开式中含的正整数指数幂的项数是（B）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足+则动点的轨迹方程为（B）
A． B． C． D．
7．若A、B、C为三个集合，则一定有（A）
A． B． C． D．
8．设、、是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（C）
A． B．
C． D．
9．两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，
C
D
A
B
可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面
ABCD与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正
方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（D）
图1
A．1个 B．2个
信号源
C．3个 D．无穷多个
10．右图中有一个信号源和5个接收器，接收器与
信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，
否则就不能收到信号。若将图中左端的六个接线点

随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个
接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到
信号的概率是（D）
A． B． C． D．
YCY
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．在△ABC中，已知BC=12，A=60o，B=45o，则AC= 。 .
12．设变量、满足约束条件，则的最大值为 18 。
13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有1260种不同的方法（用数字作答）。
14．＝　2　。
15．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　。
16．不等式的解集为　　。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）
已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
[考点分析：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力]
[解]（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（II）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
， ∴，
，故所求双曲线的标准方程为-。

O
O1
18．（本小题满分14分）
请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六
棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右
图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离
为多少时，帐篷的体积最大？
[考点分析：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力]
[解]设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）
故底面正六边形的面积为：=，（单位：）
帐篷的体积为：
（单位：）
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）
图1
图2
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）

[解]不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。
又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。
（II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，
∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。
图3
Q
M
（III）在图3中，过F作FM于M，连结QM、QF。
∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，
又PQ=BP=1，∴PF=PQ……①
∵A1E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A1F=A1Q，
∴△A1FP△A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ……②
由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，故∠QMP=∠FMP=90o，且MF=MQ，
∴∠FMQ为二面角B－A1P－F的一个平面角。
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=，
∵MQ⊥A1P，∴MQ=，∴MF=。
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得QF=，
在△FMQ中，，
∴二面角B－A1P－F的的大小为。
[注]此题还可以用向量法来解。（略）
20．（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）
　　　设a为实数，记函数的最大值为g(a)。
　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
（Ⅲ）试求满足的所有实数a
[考点分析：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力]
[解]（I）∵，
∴要使有意义，必须且，即
∵，且……① ∴的取值范围是。
由①得：，∴，。
（II）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，。
综上所述，有=。
（III）当时，；
当时，，，∴，
，故当时，；
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：或。
21．（本小题满分14分）
　　　设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），
　　　证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）

[考点分析：本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力]
[证明]必要性：设数列是公差为的等差数列，则：
==-=0，
∴（n=1,2,3,…）成立；
又=6（常数）（n=1,2,3,…）
∴数列为等差数列。
充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,…），
∵……① ∴……②
①－②得：=
∵
∴……③ 从而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1,2,3,…），
由此，不妨设（n=1,2,3,…），则（常数）
故……⑥
从而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常数）（n=1,2,3,…），
∴数列为等差数列。
综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）。