2010年湖南高考理科数学试题及答案.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的来源:Z#xx#k.Com1已知集合，则A B C D2下列命题中的假命题是A， B，来源:Z&xx&k.ComC， D，3极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是A圆、直线 B直线、圆来源:学+科+网C圆、圆 D直线、直线4在中，则等于A B C8 D165等于 A B C D6在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c若，则来源:学_Aab Bab Ca=b Da与b的大小关系不能确定7在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.158用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为 A B2 C D1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g10如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为 11在区间上随机取一个数，则的概率为 12图2是求的值的程序框图，则正整数 13图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 14过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为若梯形的面积为，则 15若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最大值；（）求函数的零点的集合.17（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.来源:学.科.网（）求直方图中的值.（）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望.18（本小题满分12分）如图5所示，在正方体中，E是棱的中点.（）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论. 19（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间20.（本小题满分13分）已知函数对任意的，恒有.（）证明：当时，；（）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.21（本小题满分13分）数列中，是函数的极小值点.（）当时，求通项； （）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.2010年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2010湖南）已知集合M=1，2，3，N=2，3，4，则（）AMNBNMCMN=2，3DMN=1，4【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可【解答】解：MN=1，2，32，3，4=2，3故选C【点评】本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题2（5分）（2010湖南）下列命题中是假命题的是（）AxR，2x10BxN，（x1）20CxR，lgx1DxR，tanx=2【考点】四种命题的真假关系菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，逐一判断即可【解答】解：B中，x=1时不成立，故选B答案：B【点评】本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题3（5分）（2010湖南）极坐标p=cos和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A直线、直线B直线、圆C圆、圆D圆、直线【考点】参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】将极坐标方程和参数方程化为一般方程，然后进行选择【解答】解：极坐标p=cos，x=pcos，y=psin，消去和p，x2+y2=x，x2+y2=x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，x+y1=0，为直线的方程，故选D【点评】此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题4（5分）（2010湖南）在RtABC中，C=90，AC=4，则等于（）A16B8C8D16【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算【解答】解：C=90，=0，=（）=42=16故选D【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质5（5分）（2010湖南）dx等于（）A2ln2B2ln2Cln2Dln2【考点】定积分菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可【解答】解：（lnx）=lnx|24=ln4ln2=ln2故选D【点评】本题考查定积分的基本运算，关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题6（5分）（2010湖南）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则（）AabBabCa=bDa与b的大小关系不能确定【考点】余弦定理；不等式的基本性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由余弦定理可知c2=a2+b22abcosC，进而求得ab=，根据0判断出ab【解答】解：C=120，c=a，由余弦定理可知c2=a2+b22abcosC，a2b2=ab，ab=，a0，b0，ab=，ab故选A【点评】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题7（5分）（2010湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A10B11C12D15【考点】排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加【解答】解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故选B【点评】本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果8（5分）（2010湖南）用mina，b表示a，b两数中的最小值若函数f（x）=min|x|，|x+t|的图象关于直线x=对称，则t的值为（）A2B2C1D1【考点】函数的图象与图象变化菁优网版权所有【专题】作图题；压轴题；新定义；数形结合法【分析】由题设，函数是一个非常规的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，及直线x=，观察图象得出结论【解答】解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象，函数f（x）=min|x|，|x+t|的图象为两个图象中较低的一个，分析可得其图象关于直线x=对称，要使函数f（x）=min|x|，|x+t|的图象关于直线x=对称，则t的值为t=1故应选D【点评】本题的考点是函数的图象与图象的变化，通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力，属中档题二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9（5分）（2010湖南）已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是171.8或148.2g【考点】黄金分割法0.618法菁优网版权所有【专题】阅读型【分析】由题知试验范围为100，200，区间长度为100，故可利用0.618法：110+（210110）0.618或210（210110）0.618选取试点进行计算【解答】解：根据0.618法，第一次试点加入量为110+（210110）0.618=171.8或210（210110）0.618=148.2故答案为：171.8或148.2【点评】本题考查优先法的0.618法，属容易题，解答的关键是对黄金分割法0.618法的了解10（5分）（2010湖南）如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知PA=2，点P到O的切线长PT=4，则弦AB的长为6【考点】与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】计算题【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式，再根据线段的关系可求得AB的长度即可【解答】解：根据切割线定理PT2=PAPB，PB=8，AB=PBPA=82=6故填：6【点评】本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题11（5分）（2010湖南）在区间1，2上随机取一个数x，则|x|1的概率为【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题利用几何概型求概率先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间1，2的长度求比值即得【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度|x|1得1x1，|x|1的概率为：P（|x|1）=故答案为：【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型12（5分）（2010湖南）如图是求12+22+32+1002的值的程序框图，则正整数n=100【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+1002的值，共需要循环100次，由于循环变量的初值已知，故不难确定循环变量的终值【解答】解：由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+1002的值，共需要循环100次，最后一次执行循环体的作用是累加1002故循环变量的终值应为100故答案为：100【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误13（5分）（2010湖南）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=4cm【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：4【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题14（5分）（2010湖南）过抛物线x2=2py（p0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C若梯形ABCD的面积为，则P=2【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2x1），由题意可知y10，y20由，消去y得x22pxp2=0，由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=p2所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2x1）=（x1+x2+p）（x2x1）=3p=3p2所以3p2=12，又p0，所以p=2故答案为2【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算能力，属中档题15（5分）（2010湖南）若数列an满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列（an）+例如，若数列an是1，2，3，n，则数列（an）+是0，1，2，n1已知对任意的nN+，an=n2，则（a5）+=2，（an）+）+=n2【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】根据题意，若am5，而an=n2，知m=1，2，（a5）+=2，由题设条件可知（a1）+）+=1，（a2）+）+=4，（a3）+）+=9，（a4）+）+=16，于是猜想：（an）+）+=n2【解答】解：am5，而an=n2，m=1，2，（a5）+=2（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，（a1）+）+=1，（a2）+）+=4，（a3）+）+=9，（a4）+）+=16，猜想：（an）+）+=n2答案：2，n2【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题仔细解答三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）（2010湖南）已知函数f（x）=sin2x2sin2x（）求函数f（x）的最大值；（）求函数f（x）的零点的集合【考点】三角函数的最值；集合的含义；函数的零点菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案（）令f（x）=0可得到2sin xcos x=2sin2x，进而可得到sin x=0或tan x=，即可求出对应的x的取值集合，得到答案【解答】解：（）f（x）=sin2x2sin2x=sin2x+cos2x1=2sin（2x+）1故函数f（x）的最大值等于21=1（）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin2x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x=由sin x=0可知x=k；由tan x=可知x=k+故函数f（x）的零点的集合为x|x=k或x=k，kZ【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质三角函数是高考的重点，每年必考，要强化复习17（12分）（2010湖南）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（）求直方图中x的值（）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列和数学期望（1）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案（2）由频率分布直方图中月均用水量各组的频率，我们易得XB（3，0.1）然后将数据代入后，可分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望【解答】解：（）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12（）由题意知，XB（3，0.1）因此P（X=0）=C300.93=0.729，P（X=1）=C310.10.92=0.243，P（X=2）=C320.120.9=0.027，P（X=3）=C330.13=0.001故随机变量X的分布列为： X 01 2 3 P0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望为EX=30.1=0.3【点评】根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容频率分布直方图是新高考的重要考点，同时（2）中概随机变量的分布列、数学期望的计算也是高考的热点对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图，对于概率要多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤18（12分）（2010湖南）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点（）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EMAD，而AD平面ABB1A1，则EM面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在RtBEM中，求出此角的正弦值即可（）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EGA1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FGC1CB1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F平面A1BE【解答】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD又在正方体ABCDA1B1C1D1中AD平面ABB1A1，所以EM面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，于是在RtBEM中，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为（）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力19（13分）（2010湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间【考点】轨迹方程；两条平行直线间的距离菁优网版权所有【专题】综合题【分析】（）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x2时，当x2时，由此能得到考查区域边界曲线的方程；（）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解【解答】解：（）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x2时，由题意知当x2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上此时短半轴长因而其方程为故考察区域边界曲线（如图）的方程为和（）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得，由1003m24165（m24）=0，解得m=8或m=8从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为，l与l1之间的距离为又直线l2到C1和C2的最短距离，而d3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，得，所以n4故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和数形结合的合理运用20（13分）（2010湖南）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，cR），对任意的xR，恒有f（x）f（x）（）证明：当x0时，f（x）（x+c）2；（）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）f（b）M（c2b2）恒成立，求M的最小值【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（）f（x）f（x）转化为x2+（b2）x+cb0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）2作差整理成关于b和c的表达式即可（）对c|b|分c|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可【解答】解：（）易知f（x）=2x+b由题设，对任意的xR，2x+bx2+bx+c，即x2+（b2）x+cb0恒成立，所以（b2）24（cb）0，从而于是c1，且，因此2cb=c+（cb）0故当x0时，有（x+c）2f（x）=（2cb）x+c（c1）0即当x0时，f（x）（x+c）2（）由（）得，c|b|当c|b|时，有M=，令t=则1t1，=2，而函数g（t）=2（1t1）的值域（，）因此，当c|b|时M的取值集合为，+）当c=|b|时，由（）知，b=2，c=2此时f（c）f（b）=8或0，c2b2=0，从而恒成立综上所述，M的最小值为【点评】本题是对二次函数的恒成立问题和导函数的求法的综合考查二次函数的恒成立问题一般分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于021（13分）（2010湖南）数列an（nN*）中，a1=a，an+1是函数的极小值点（）当a=0时，求通项an；（）是否存在a，使数列an是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】数列与函数的综合菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（I）当a=0时，a1=0，则3a112由fn（x）=x2（3an+n2）x+3n2an=（x3an）（xn2）=0，得x1=3an，x2=n2由函数的单调性知fn（x）在x=n2取得极小值所以a2=12=1因为3a2=322，则，a3=22=4，因为3a3=1233，则a4=3a3=34，又因为3a4=3642，则a5=3a4=324，由此猜测：当n3时，an=43n3然后用数学归纳法证明：当n3时，3ann2（）存在a，使数列an是等比数列事实上，若对任意的n，都有3ann2，则an+1=3an要使3ann2，只需对一切nN*都成立当x2时，y0，从而函数在这2，+）上单调递减，故当n2时，数列bn单调递减，即数列bn中最大项为于是当a时，必有由此能导出存在a，使数列an是等比数列，且a的取值范围为【解答】解：（I）当a=0时，a1=0，则3a112由题设知fn（x）=x2（3an+n2）x+3n2an=（x3an）（xn2）令fn（x）=0，得x1=3an，x2=n2若3ann2，则当x3an时，fn（x）0，fn（x）单调递增；当3anxn2时，fn（x）0，fn（x）单调递减；当xn2时，fn（x）0，fn（x）单调递增故fn（x）在x=n2取得极小值所以a2=12=1因为3a2=322，则，a3=22=4因为3a3=1232，则a4=3a3=34，又因为3a4=3642，则a5=3a4=324，由此猜测：当n3时，an=43n3下面先用数学归纳法证明：当n3时，3ann2事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立假设当n=k（k3）时，3akk2成立，则由（2）知，ak+1=3akk2，从而3ak+1（k+1）23k2（k+1）2=2k（k2）+2k10，所以3ak+1（k+1）2故当n3时，3ann2成立于是，当n3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=43n3综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=43n3（n3）（）存在a，使数列an是等比数列事实上，若对任意的n，都有3ann2，则an+1=3an即数列an是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a3n3而要使3ann2，即a3nn2对一切nN*都成立，只需对一切nN*都成立记，则，令，则因此，当x2时，y0，从而函数在这2，+）上单调递减，故当n2时，数列bn单调递减，即数列bn中最大项为于是当a时，必有这说明，当时，数列an是等比数列当a=时，可得，而3a2=4=22，由（3）知，f2（x）无极值，不合题意，当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，数列an不是等比数列当时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，数列an不是等比数列综上所述，存在a，使数列an是等比数列，且a的取值范围为【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用18