2005年重庆高考理科数学真题及答案.doc

2005年重庆高考理科数学真题及答案

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
2． （ ）
A． B．－ C． D．－
3．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是 （ ）
A． B． C．D．（－2，2
4．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．－
5．若x，y是正数，则的最小值是 （ ）
A．3 B． C．4 D．
6．已知、均为锐角，若的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：
①存在平面，使得、都垂直于；
②存在平面，使得、都平行于；
③内有不共线的三点到的距离相等；
④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，
其中，可以判定与平行的条件有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ）
A． B．
C． D．2
10．如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱
AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使
AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为
三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱
锥O—BCD的体积等于 （ ）

A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
11．集合R| ，则= .
12．曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= .
13．已知、均为锐角，且= .
14．= .
15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .
16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形
④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形
三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分13分）
若函数的最大值为2，试确定常数a的值.

18．（本小题满分13分）
在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：
（Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.

19．（本小题满分13分）
已知，讨论函数的极值点的个数.

20．（本小题满分13分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.

21．（本小题满分12分）
已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

22．（本小题满分12分）
数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数
e=2.71828….

参考答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.
1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C
二、填空题：每小题4分，满分24分.
11． 12． 13．1 14．－3 15． 16．②③⑤
三、解答题：满分76分.
17．（本小题13分）

18．（本小题13分）
解法一
（Ⅰ），即该顾客中奖的概率为.
（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

0
10
20
50
60
P

故有分布列：

从而期望
解法二：
（Ⅰ）
（Ⅱ）的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16（元）.
19．（本小题13分）

（1）当

x

x1

+
0
－
0
+

为极大值

为极小值

即此时有两个极值点.
（2）当有两个相同的实根
于是
无极值.
（3）

答（20）图1
为增函数，此时无极值. 因此当无极值点.
20．（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）因AB⊥面BB1C1C，故AB⊥BE.
又EB1⊥EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB.
由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是异面直线
AB与EB1的公垂线，
在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，
作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·
在△BEB1中，由面积关系得.
（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去.
因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内，
又已知AE⊥EB1
故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角.
因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故
解法二：

（Ⅰ）
而BB1C1C得AB⊥EB1从而=0.

设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在Rt△BEB1中，EO=BB1=OB1=1，
因为在△OB1C1中，B1C1=1，∠OB1C1=，故△OB1C1是正三角形，
所以OC1=OB1=1，
又因∠OC1E=∠B1C1C－∠B1C1O=故△OC1E是正三角形，
所以C1E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1，
即异面直线AB与EB1的距离是1.
（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，
BE=1，得tanAEB=.
又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C，
故二面角A—EB1—A1的平面角，故

解法三：

（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.
由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，
在三棱柱ABC—A1B1C1中有
B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），

设

又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，
则，故异面直线AB、EB1的距离为1.
（II）由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量
的夹角.

21．（本小题12分）
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为
（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

即 ①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
②

解此不等式得
③
由①、②、③得

故k的取值范围为
22．（本小题12分）
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.
（2）假设当时不等式成立，即
那么. 这就是说，当时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到求和可得

即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证成立，故

令
取对数并利用已知不等式得

上式从2到n求和得

因
故成立.