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2007年辽宁高考理科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
3．角为（ ）
A．0 B． C． D．
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
5．若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数在点处连续，则 ．
14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= ．
15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4

中
0.4

差
0.2

设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润与产量的函数关系式；
（II）当产量确定时，求期望；
（III）试问产量取何值时，取得最大值．

20．（本小题满分14分）
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

21．（本小题满分12分）
已知数列，与函数，，满足条件：
，.
（I）若，，，存在，求的取值范围；
（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．

22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）证明：当时，在上是增函数
（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数 ，当时，在闭区间上是减函数；
（III）证明：．

参考答案
一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
1．C　　2．A　　3．C　　4．D　　5．B　　6．B
7．C　　8．A　　9．D　 10．D　 11．A　 12．B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。
13．1
14．72
15．4n
16．2

三、解答题
17．（本小题满分12分）
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）解：
分组
[500，900］
[900，1100）
[1100，1300）
[1300，1500）
[1500，1700）
[1700，1900）
[1900，）
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
0.048
0.121
0.208
0.223
0.193
0.165
0.042
……4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500小时的频率为0.6.……8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得
。
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分

18．（本小题满分12分）
本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。
（Ⅰ）证明：连结CD，
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱。
∴CC1⊥平面ABC，
∴CD为C1D在平面ABC内的射影，
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。
∴AB⊥CD，
∴AB⊥C1D，
∵A1B1∥AB，
∴A1B1⊥C1D。
（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点。
∴DE∥AC。
又∵AF∥CE，CE⊥AC，
∴AF⊥DE。
∵MA⊥平面ABC，
∴AF为MF在平面ABC内的射影。
∴MF⊥DE，
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF＝,
∴AM=
作AC⊥MF，垂足为G。
∵MF⊥DE,AF⊥DE,
∴DE⊥平面AMF,
∴平面MDE⊥平面AMF.
∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=,
∴AG=,即A到平面MDE的距离为。
∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。
解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF，
∵D、E分别为AB、CB的中点，
DE∥AC,
又∵AF∥CE,CE⊥AC,
∴AF⊥DE,
∵MA⊥平面ABC,
∴AF为MF在平面ABC内的射影，
∴MF⊥DE,
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF=BC=,
∴AM=.……8分
设C到平面MDE的距离为h。
∵,
∴,
,
,
，
∴h=，即C到平面MDE的距离为。……12分
19．（本小题满分12分）
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力。满分12分。
（Ⅰ）解：
由-1≤≤1，得-3≤≤1。
可知函数的值域为［-3,1］
（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周其为w，又由w＞0，得，即得w=2。
于是有，再由，解得
。
所以的单调增区间为［］

20．（本小题满分12分）
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（Ⅰ）解：由题设得，即

易知{Cn}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，通项公式为
Cn=2n+1
（Ⅱ）解：由题设得，令，则
。
易知{d}是首项，公比为的等比数列，通项公式为
d＝……8分

由于解得
a＝。……10分
求和得
。……12分

21．（本小题满分14分）
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。
（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知
，
解得，
所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。
设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为

解法二：设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知

又因为，可得，即
。
由，可知x1＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，
设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为
。……4分
（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则
……8分
在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得

所以由此可得

故的最大值为，最小值为—8。
22．（本小题满分12分）
本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力以及综合运用基本关系解决问题的能力。满分12分。
解（I）由题设得
得：
即有：

由上式得，即又，故得：

（II）解：由题设知，对任意的m∈[-26，6]恒有

则有

解得：