2007年海南高考文科数学真题及答案.doc

2007年海南高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知命题 R，，则
（A）R, （B）R,
（C）R, （D）R,

（3）函数在区间的简图是

（A） （B）

（C） （D）
（4）已知平面向量则向量=
（A） （B）
（C） （D）
开始
k≤50?
k=1

S=S+2k
输出S
否
是
S=0
k=k+1
结束
（5）如果执行右面的程序框图，
那么输出的
（A）2 450
（B）2 500
（C）2 550
（D）2 652

（6）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则ad等于
（A）3 （B）2 （C）1 （D）

（7）已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
20
20
正视图
20
10
俯视图
10
侧视图
20

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）若，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
（A） （B） （C） （D）
（11）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，，. 则球的体积与三棱锥体积之比是
（A） （B） （C） （D）
（12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩

乙的成绩

丙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 .
（14）设函数为偶函数，则 .
（15）是虚数单位， . (用的形式表示)
（16）已知是等差数列，，其前5项和，则其公差 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.

（18）（本小题满分12分）
如图，A，B，C，D为空间四点. 在△ABC中，AB=2，AC=BC=. 等边三角形ADB以AB为轴转动.
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
D
A
B
C
（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.

（19）（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值.

（20）（本小题满分12分）
设有关于的一元二次方程.
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，b是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（21）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为Q，过点且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
A
B
M
C
O
P
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点.
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为.
（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.

参考答案和评分参考

评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.

一．选择题
（1）A （2）C （3）A （4）D （5）C （6）B
（7）C （8）B （9）C （10）D （11）D （12）B
二．填空题
（13）3 （14） （15） （16）
三．解答题
（17）解：
在△BCD中，
. ……2分
由正弦定理得
……5分
所以
……8分
在Rt△ABC中，

……12分

（18）解：
D
A
B
C
E
（Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE. ……2分
由已知可得DE=，EC=1.
在Rt△DEC中，
……6分
（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
……8分
证明：
（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ……9分
（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE. 又因AC=BC，所以AB⊥CE.
又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD. ……12分
（19）解：
的定义域为.
（Ⅰ）. ……3分
当时，；当时，；当时，.从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少.
……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为. ……9分
又

所以在区间的最大值为. ……12分

（20）解：
设事件A为“方程有实根”.
当，时，方程有实根的充要条件为.
（Ⅰ）基本事件共有12个：
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2) .
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
. ……6分
（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为
.
构成事件A的区域为
.
所以所求的概率为
. ……12分
（21）解：
（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为. 过且斜率为k的直线方程为
，
代入圆方程得
，
整理得 . ① ……3分
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于

解得，即k的取值范围为. ……6分
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
. ②
又 . ③ ……8分
而.
所以与共线等价于
，
将②③代入上式，解得. ……11分
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k. ……12分
A
B
M
C
O
P
（22）
（Ⅰ）证明：连结OP，OM.
因为AP与⊙O相切于点P，所以
OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以
OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆. ……6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以
∠OAM=∠OPM.
由（Ⅰ）得OP⊥AP.
由圆心O在的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°.
所以∠OAM＋∠APM=90°. ……10分
（23）解：
以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
（Ⅰ），由得
，
所以.
即为⊙O1的直角坐标方程.
同理为⊙O2的直角坐标方程. ……6分
（Ⅱ）由
解得
即⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和. 过交点的直线的直角坐标方程为.
……10分