苏教版高中数学必修4第三章-三角恒等变换教案.doc

些公式进行简单的恒等变换。
2． 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

知识结构  
tan（α+β）=
tan（α-β）=  
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α- sin2α
=2cos2α-1=1-2 sin2α
tan2α=

学习要求
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
3.1两角和与差的三角函数
第1课时
【学习导航】
学习要求
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；
2、应用公式，求三角函数值.
3．培养探索和创新的能力和意识.
【自学评价】
1．探究
反例：

问题：的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线

2．探究：在坐标系中a、b角构造a+b角
3．探究：作单位圆，构造全等三角形
4．探究：写出4个点的坐标
，
，
，
5．计算，
=                      
=                      
6．探究  由=导出公式
学习札记
展开并整理得                            
所以                                    
可记为
7．探究  特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意a、b都适用
③公式记号
8．探究  cos(a-b)的公式
以-b代b得：                        
公式记号
【精典范例】
例1 计算① cos105°   ②cos15°  
③coscos-sinsin
【解】

 例2已知sina=，cosb=求cos(a-b)的值.
【解】

例3已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且<α<,0<β<,
求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】

例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）

在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,

【追踪训练】：
学习札记
1．sina-sinb=-，cosa-cosb=aÎ(0, ),bÎ(0, ),求cos(a-b)的值。

2．求cos75°的值

3．计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°

4 计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°

5．已知锐角a,b满足cosa=  cos(a+b)=求cosb.

6．已知cos(a-b)=,求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值.

【选修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.

例6
且，
求的值.
练习：
1．满足的一组的值是     （     ）
A.   B.  
C. D.  

学习札记
2．若，则的值为   （   ）
 A.  0    B.  1   C.     D.  —1
3．已知cosα= ,α∈（，2π），则cos（α－）=         。
4．化简：
=     &nbsp;         。
5．利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）

【师生互动】

第2课时
【学习要求】
1． 掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。
2． 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
3． 掌握诱导公式

重点难点  
重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式
难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1． 两角和的正弦公式的推导
sin(a+b)=cos[-(a+b)]
=cos[(-a)-b]
=cos(-a)cosb+sin(-a)sinb
=sinacosb+cosasinb
即：

以-b代b得：

2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同。
【精典范例】
学习札记
例1求值

【解】

例2 ：已知，求的值.

例3已知sin(a+b)=,sin(a-b)= 求的值.
【解】

例4（1）已知，
求tanα: tanβ的值.
【解】

思维点拔：
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【追踪训练一】：
1. 在△ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为（　 　）
（A）        （B）    
（C）   （D）
2.已知，，，，求sin(a + b)的值.

3.已知sina sinb = ，求cosa + cosb的范围.

学习札记
4.已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，求的值.

4． 已知sina+sinb=
①  cosa+cosb=  ②  求cos(a-b)
【解】

【选修延伸】
例5化简.
【解】

思维点拔：
我们得到一组有用的公式：
⑴ sinα±cosα
＝sin＝cos．
(2) sinα±cosα
＝2sin＝2cos．
(3) asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
【追踪训练二】：
1．化简

2．求证：cosx+sinx=cos(x) .

3. 求证：cosa+sina＝2sin(+a).

学习札记

4. 已知，求函数的值域.

5.求的值.

【师生互动】
第3课时
【学习导航】
5． 掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
6． 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
3．能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
 教学重点：
学习重点  
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
学习难点  
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和与差的正、余弦公式

            &nbsp;  

2．tan(a+b)公式的推导
∵cos (a+b)¹0
tan(a+b)=
当cosacosb¹0时, 分子分母同时除以cosacosb得：

以-b代b得：                
其中都不等于
7． 注意：
听课随笔
1°必须在定义域范围内使用上述公式tana，tanb，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式.
2°注意公式的结构，尤其是符号.
4．请大家自行推导出cot(a±b)的公式—用cota，cotb表示
当sinasinb¹0时,cot(a+b)=          
同理，得：cot(a-b)=                
【精典范例】
例1已知tana=，tanb=-2  求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0°<a<90°,  90°最小值。

思维点拔：
无论是化简、求值还是证明都要注意：角度的特点、函数名称的特点；其中切弦互化是常用手段；三角变换公式要灵活应用，注意角的范围对解题的影响，同时要掌握有关解题技巧：化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换。
【追踪训练】：
1． 在△ABC中，ÐC>90°，则tanAtanB与1的关系适合  （   ）
A  tanAtanB>1    B  tanAtanB>1    
C  tanAtanB =1    D 不确定
2．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝，sinβ＋cosβ＝b，则（  ）
A ab＜1   B a＞b  
C a＜b  Ｄ ab＞2
3．
＋        
4．设a，bÎ(,)，tana、tanb是一元二次方程的两个根，求 a + b.

5．已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根,求sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）的值。

6．已知α、β为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，求Cosβ的值。

听课随笔
7．已知sin(45° - a) = ，且45° < a < 90°，求sina .

8试求函数
的最大值和最小值。若呢？

3.2 二倍角的三角函数
第1课时
【学习导航】
 知识网络
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.
2.二倍角公式不只限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式.尤其是“倍角”的意义是相对的.
3.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式.
4.公式成立的条件是              

学习要求
  1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
重点难点  
重点：1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
【自学评价】
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

学习札记

2.二倍角公式的推导
在公式，，中，当时，得到相应的一组公式：
               ；
             ；
；
注意： 1°在中 2°在因为，所以公式可以变形为

或  
公式，，，统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式.
【精典范例】
一、 倍角公式的简单运用
例1不查表．求下列各式的值
（１）   （２）
（３）
（４）
【解】

例2若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值
【解】

例3用表示
【解】

点评：
1、加深对“二倍角”的理解，即角的变换；
2、进一步体会“化归思想”（三倍角化归为两角和与二倍角）。
例4已知，求的值。
【解】

点评：进一步体会角的变换的妙处。
学习札记
二、
之间的关系
例5已知，，求，，，的值。
【解】

三、倍角公式的进一步运用
例6求证：

【解】

例7求的值。
【解】

进一步探讨的值。

思维点拔：
要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
【追踪训练】：
1.若270°＜α＜360°，则等于 (   )
A.sin      B.cos  
C.－sin   Ｄ.－cos
2.求值：
(1)sin22°30’cos22°30’=          
(2)      
(3)      
(4)      
3.求值
(1)sin10°sin30°sin50°sin70°
(2) cos200cos400cos600cos800

学习札记
4.已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值.

5.已知，，
且，求的值。

6.已知求的值．

7.已知求的值．

【师生互动】

第2课时
【学习导航】
 知识网络
1．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
2．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

这两个形式今后常用。
学习要求
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力
重点难点  
重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数
难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【自学评价】
1．有关公式：
（1）；
（2）；
（3）。
说明：
1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；则将（1）（2）相除即得。
2、如果知道cosα的值和α角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得；
3、这三个公式的开方形式称为半角公式，不要求记忆，但推导方法要掌握。
4、。
说明：1、用正切的半角公式显然行不同（带正负号），回到基本关系式，并向右边看齐；
学习札记
2、这种形式的正切半角公式不需考虑符号，要简单。
【精典范例】
例1化简：
【解】

例2求证：[sinq(1+sinq)+cosq(1+cosq)]×[sinq(1-sinq)+cosq(1-cosq)] = sin2q
【证明】

【思维点拨】
关于“升幂”“降次”的应用:在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。
例3求函数的值域。
【解】

例4求证：
的值是与a无关的定值。
【证】

例5 化简：
     【解】

例6 求证：

【证明】

学习札记
例7利用三角公式化简：

【解】

【追踪训练】
1． 若≤α≤，则
等于(   )

2．的值等于(    )
Ａ。sin2       Ｂ。－cos2  
Ｃ。 cos2   Ｄ。－cos2
3．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为(   )

4．的值等于    。
5．已知sinｘ＝，则sin2（ｘ－）的值等于      。
6．已知

7．求值tan70°cos10°（tan20°－1）。

8．求值：
cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°

9．求的值。

10．已知
学习札记
，求sin4a的值。

【师生互动】

3．3  几个三角恒等式
【学习导航】
知识网络
几组三角恒等式：
1．二倍角公式:
 ；
 ；
 ；

2．倍角降幂公式

3．半角公式

4．积化和差公式

5．和差化积公式
听课随笔

6．万能公式

7．派生公式：
(1)  (sinα±cosα)2＝1±sin2α．
(2) 1＋cosα＝2cos2，
(3 )1－cosα＝2sin2，
(4)  asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
（5）
学习要求
1.掌握推导积化和差、和差化积公式、半角公式和万能公式的方法，知道它们的互化关系
2.注意半角公式的推导与正确使用.
学习重点
几组三角恒等式的应用
学习难点
灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【自学评价】
1．积化和差公式的推导  
因为和是我们所学习过的知识，因此我们考虑
；
.
两式相加得
即；
2．和差化积公式的推导
在上式中若令a + b = q，a - b = φ，则，  代入得：

∴  
3．万能公式的推导
1°
2°
3°
【精典范例】
例1已知，求3cos 2q 4sin 2q 的值.

例2已知，化简.

例3已知，，tana =，tanb =，求2a + b .

听课随笔
例4已知sina - cosa = ，，求和tana的值.

例5已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值.

例6已知A、B、C是三角形的内角，.
（1）问任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论。
（2）求y 的最大值。

思维点拔：
1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构.
2、化简
（1）化简目标：项数尽量少、次数尽量低、尽量不含分母和根号.
（2）化简基本方法：异角化同角；异名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代换.
3、求值
（1）求值问题的基本类型：给角求值；给值求值；给值求角；给式求值.
（2）技巧与方法：切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换
4、证明
（1）证明基本方法：化繁为简法、左右归一法、变更命题法.
（2）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系.
【追踪训练】：
1.如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于(  )

2.设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于(   )

3.已知tan76°≈4，则tan7°的值约为(   )

4.tan－cot的值等于        
5.已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝      .
6.已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝        
听课随笔
7.设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan.

8.已知cos2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值.

9.求证

复习课2
【学习导航】
（一）两角和与差公式

（二）倍角公式  
      2cos2α=1+cos2α  2sin2α=1-cos2α

注意：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
注： （1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用逆用”，“变形使用”；
（3）掌握“角的演变”规律，
（4）将公式和其它知识衔接起来使用。
重点难点
重点：几组三角恒等式的应用
难点：灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【精典范例】
例1   已知                
求证：

例2 已知求的取值范围
 分析  难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，从而求出的取值范围.

例3 求函数的值域.

例4 已知
且、、均为钝角，求角的值.

分析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则或
【选修延伸】
例5 已知
求的值.

例6 已知，
求的值.

例7 已知
求的值.

例8  求值：（1）     （2）

【追踪训练】
1．等于      （   ）
A．    B． C．    D．
2．已知，且
，则的值等于 （   ）
A．   B．   C．   D．
3．求值：=         .

4．求证：（1）      

（2）

（3）

第三章  三角恒等变换
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